1.2.1 “ 任意角的三角函数” （第一课时）
的教学设计 北师大实验中学 刘丹 一、 指导思想与理论依据
1. 概念的形成 建构主义学习观认为：学生的数学学习过程是学生利用已有数学认知结构中的相关知识（包括从书本上学习的和从日常生活经验中获得的）与新知识进行相互作用，主动地建构信息的数学意义的过程．维果茨基的“最近发展区”理论提出教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能． “任意角的三角函数”概念学习于已有的“锐角三角函数”概念属于上位学习，新的定义按照学生已有知识无法自行产生，需要在教师的引导下，通过自主探究建构新概念，理解“锐角三角函数”和“任意角三角函数”概念的联系和区别，这样既符合学生的实际情况，也体现了最近发展区的理念． 2. 锐角三角函数知识负迁移的影响 学习定势是指在学习活动中，先前的活动经验往往会成为后面活动的准备状态，如果没有理清新知识与原有活动经验之间的关系就套用旧法，此时学习定势很可能会消极的影响． 初中学习的锐角三角函数强调锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，构造直角三角形解决三角函数问题的方法在学生头脑中根深蒂固，这对任意角三角函数概念的学习可能会产生负迁移． 结合以上分析，在任意角三角函数概念的教学设计中要注意以下问题：一是重视概念的生成过程：二是合理利用锐角三角函数，防止负迁移． 二、教学背景分析
三角函数是描述周期现象的重要数学模型．“任意角的三角函数”是三角函数的核心概念，它既是“锐角三角函数”的上位概念，又是“函数”的下位概念．它是在学生初中数学已经学习过“锐角三角函数”，高中进一步学习“用集合与对应的语言刻画函数”，并且刚刚“了解任意角的概念
和弧度制，能进行弧度与角度的互化”的基础上来进行学习的内容． 授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生对锐角三角函数比较熟悉，并已掌握“函数”和“任意角”的相关知识．但初中强调锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，这对学生学习新概念可能会产生负迁移．帮助学生从“长度比”过渡到“坐标比”是本节课的重点和难点． 本节课以“启发式”教学为主，通过创设情境，引导学生自主探究，让学生参与到概念的形成全过程．在教学过程中，通过设计认知冲突，激发学生兴趣．通过“创设情境——自主探究——规律探索——提升认识——总结反思”让学生对“任意角的正弦”概念的理解层层推进． 教学技术手段上，利用几何画板创设“摩天轮”的问题情境，让学生感受新定义的必要性、探索新概念，加深对概念的理解． 三 ． 教学目标设计
知识与技能目标：理解任意角的正弦定义；会利用定义进行简单应用；初步体会正弦函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 过程与方法目标：经历探究任意角的正弦定义的过程，感悟数形结合的数学思想． 情感态度与价值观目标：感受数学来源于生活，应用于生活，提高学习数学的兴趣． 教学重点：理解任意角的正弦的定义； 教学难点：“任意角的正弦”概念的建构过程． 四、教学过程 与教学资源设计
本节课的教学过程按以下五个环节展开：
创设情境 引出概念 自主探究 建构概念 规律探索 理解概念 提升认识 强化概念 总结反思 固化概念
教学环节 教师行为 学生行为 设计意图
创设情境引出概念 展示视频——旋转的摩天轮
感受到座舱距离地面的高度 h 与旋转角 之间存在对应关系 数学来源于生活，应用于生活．摩天轮的旋转让学生直观感受到座舱距离地面的高度 h 与旋转角 之间存在对应关系，并引出后续研究——用含 的式子表示 h． 问题情境 摩天轮的半径 r，它的中心 O 离地面的高度为h 0 ．摩天轮按逆时针方向匀速转动．初始时座舱 P 位于与 O 在同一水平线的 A 处，当点 P 逆时针旋转角 时，点 P 离地面的距离为 h． （1）若 h 0 =25 米，r=20 米， ＝30°，h=_________米； （2）若 ＝70°，h=__________；（用 r和 h 0 表示）
（3）若 0 90 ，h=________;（用、r和 h 0 表示）
（4）当 为任意角时，还能用含 的式子表示 h吗？
共同解决问题(1)(2)(3),复习锐角的正弦定义，并思考为任意角的情况，得到0sin h h r 的猜想，意识到有必要定义任意角 的正弦．
通过 4 个逐步深入的问题，复习应用锐角的正弦，并经历了从特殊到一般的思考过程，引出了本节课的课题——任意角的三角函数
问题探究 1 问题 1：如何定义任意角的正弦？ 巡视了解学生讨论情况，提示学生从某些特殊角（如°）入手，回到问题情境中检验猜想的合理性， 深入探究：
以分组合作的方式探究问题 1，并回到问题情境中检验猜想的合理性.
通过“提出猜想 ——检验猜想 ——改进猜想”的探究过程，让学生意识到要将0sin h h r 和0| | h h PM 两种形式统一，必须在有些情况下定义| |sin =PMr ，有些h 0rBOAP
自主探究建构概念 （1）能否用线段 PM 的长度表示 h？ （2）如果想把0sin h h r 和0| | h h PM 两种形式统一起来，应该如何定义 sin ？
根据讨论改进猜想，得到| |sin =PMr 或| |sin =PMr的结论 情况下定义| |sin =PMr．由此自然的提出下一个问题 ——什么量可以替代 | | PM ，同时满足符号要求？”． 问题 2：用什么量来替代 | | PM ？ 利用几何画板动态的展示点 P 的旋转过程，引导学生发现 sin 表达式中 | | PM 前的符号取决于角 终边所在位置．总结学生的探究结果，并指出教材中正是用yr来定义任意角 的正弦
尝试建立坐标系进行探究，得到sin =yr 的结论 通过几何画板的动态展示，学生意识到可以通过建立坐标系来刻画 | | PM ，突破了思维的障碍，并在探究的过程中体会数形结合的数学思想 形成概念 师生共同完善定义，教师予以板书． 在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任取一点 P （除了原点）的坐标为( , ) x y ，它与原点的距离为2 2 2 2( | | | | 0) r r x y x y
定义:比值yr叫做 的正弦，记作 sin ，即sinyr
加深认识 引导学生共同探讨新定义的合理性，从两
表述新定义，初步形成“任意角的正弦”概念．
基于之前学习弧 通过总结表述新定义，学生初步形成“任意角的正弦”概念，感受到借助平面直角坐标系，“角”与“比值”建立起对应关系，形与数结合起来． 通过对定义合理性的思考与简要说明，加sin =|PM|rsin = |PM|rM MBOHAPPyxM OAP(x,y)
个方面达成共识 1．角 的正弦值与点 P 在角 终边上的位置无关； 2．当角 是锐角时，新定义与初中所学的锐角的正弦定义是吻合的． 度制定义的经验，探讨并理解新定义的合理性.
深学生对新概念的理解，完成了从“长度比”到“坐标比”的过渡，突破本节课的难点
规律探索理解概念
问题探究 2 问题 3：根据任意角的正弦定义，你能得到任意角正弦的哪些性质？ 巡视了解学生的讨论情况，汇总学生的结果，引导学生总结出正弦值的符号规律． （1）
sinyr 对于第一、二象限角为正，对于第三、四象限角为负； （2）
终边落在 x 轴上时， sin =0； 终边落在 y 轴正半轴时， sin =1； 终边落在 y 轴负半轴时 sin =－1．
根据定义探索任意角正弦的性质．交流结果，并从中总结出正弦值的符号规律
开放式的设问给学生以探究的空间．借助坐标系，学生可能会得到如“终边相同的角的正弦值相等”、“任意角 的正弦值不大于，不小于－”等结论．在探究的过程中学生进一步理解概念，再次感悟数形结合的数学思想． 简单应用 例 1、（1）已知角 的终边经过点 ( 4,3) P ，求 的正弦值； （2）求 sin210º． 例 2、填空：
sin290 ___0， sin530 ___0. (用“＜”、“＝”、“＞”填空)
请学生回答问题，板书解题过程，引导学生总结解决问题的一般方法．
独立完成例题，总结解题方法
以例题的形式，帮助学生巩固对新概念的理解，总结解决问题的方法，达到强化重点，落实双基的效果．
提升认识强化概念 问题探究 3 问题 4：对于任意给定的一个角 ，是否有唯一确定的 sin 与它对应？这说明了什么问题？ 引导学生认识到任意角的正弦定义给出了角的集合与实数集之间的一种对应关系，初步感受到三角函数是“比值”关于“角”的函数
思考问题 4，认识到对于给定的角 ，都有唯一确定的正弦值与之对应，初步了解正弦函数是以角 为自变量，比值为函数值的函数． 问题 4 引导学生认识到任意角的正弦定义给出了角的集合与实数集之间的一种对应关系，这种对应体现了三角函数的函数本质，实现了学生对概念理解的螺旋式上升．
总结反思固化概念 总结反思 知识和技能 任意角的正弦定义 正弦值的符号规律
思想和方法 数形结合 从特殊到一般 作业 1．阅读材料——“三角函数发展史拾趣”； 2．请你类比正弦的研究方法，定义并研究任意角的余弦．
课后思考 思考题：请你阅读“有向线段”的介绍并思考：在引入部分的问题中，如果摩天轮的半径是 1，你能否用某些有向线段的数量来表示角 的正弦值．
回忆学习过程，梳理知识，体会思想方法．
培养学生的总结反思意识，通过对学习过程的回顾，梳理知识，体会思想方法．
为学有余力的学生提供思考和提升的素材．思考题既是对本节课学习的提升，同时为后续的进一步研究做好铺垫． 五、学习效果评价设计
本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，回答问题等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．将任意角的余弦的类比学习留给学生课后完成，可以让学生自我评估对新概念以及研究方法的掌握情况，教师还将通过作业反馈进一步评估学生的学习效果．此外，本节课最后的思考题可以检查学生对概念的认识是否深入，能否灵活的运用概念解决较复杂的问题．
六、教学设计特色说明与教学反思
本节课在教学实施中有以下特点：
1．重视概念的形成过程 为了避免知识的负迁移，本节课的设计并未采用从“锐角的正弦定义推广到任意角的正弦定义”这一思路，而是引导学生通过“提出问题——分析问题——解决问题”，参与到概念形成的全过程．通过逐步深入的问题探究，学生实现对原有认知结构的部分改组，顺利完成从“长度比”到“坐标比”的过渡，突破了难点；通过对概念的再分析和有针对性的练习，学生对概念的认识得到了螺旋式上升，掌握了解决问题的基本方法，落实了重点．我还给学生提供了阅读材料，让学生了解概念的发展历史，深化对概念的认识． 2．重视学生的自主探究 本节课通过开放性的设问，给学生提供了充分的自主探究空间．通过问题的螺旋式探究，学生经历了概念发生发展的全过程，深化了对概念的理解．在探究过程中，学生更好的感悟了数形结合的数学思想，体会了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方法，提高了探究的能力． 此外，为了突出概念的形成过程，帮助学生突破难点，本节课仅对任意角的正弦定义进行了探究和应用．我把对任意角余弦的类比研究留给学生课后完成，并将在下一节课引导学生对三角函数作进一步研究，这也正是对概念理解螺旋上升的一个过程吧．