广东省广州市越秀区广州华侨外国语学校2020-2021学年八年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 A. 2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，5cm C. 2cm，5cm，10cm D. 8cm，4cm，4cm 【答案】A 【解析】 试题分析：根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得 A、2cm，3cm，4cm满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，能组成三角形，故本选项正确；
B、2cm +3cm =5cm，不能组成三角形，故本选项错误；
C、2cm +5cm＜10cm，不能够组成三角形，故本选项错误；
D、4cm +4cm =8cm，不能组成三角形，故本选项错误． 故选A． 2. 已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A. 72° B. 60° C. 50° D. 58° 【答案】D 【解析】 【分析】 相等的边所对的角是对应角，根据全等三角形对应角相等可得答案. 【详解】左边三角形中b所对的角=180°-50°-72°=58°， ∵相等的边所对的角是对应角，全等三角形对应角相等 ∴∠1=58° 故选D. 【点睛】本题考查全等三角形的性质，找准对应角是解题的关键. 3. 一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A. 108° B. 90° C. 72° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】 首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：180（n-2）=540， 解得：n=5， ∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°． 故选C． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°． 4. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( ) A. 35° B. 95° C. 85° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】 根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；
再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解. 【详解】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60° ∴∠ACD=2∠ACE=120° ∵∠ACD=∠B+∠A ∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85° 故选:C. 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 5. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形． 【详解】设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 所以这个三角形一定是直角三角形， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，由条件计算出角的大小是解题的关键． 6. 根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A. AB=3，BC=4，AC=8 B. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4 C. ∠C=90°，AB=6 D. AB=4，BC=3，∠A=30° 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一个三角形是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在. 【详解】A.因为AC，BC，AB的长不满足三角形三边关系，所以A选项不能确定一个三角形；
B. ∠A，∠B的公共边是AB，根据三角形全等的判定ASA可以确定一个三角形，故B选项能唯一确定一个三角形；
C. 只有一个角一条边，故C选项不能唯一确定一个三角形；
D. ∠A不是AB和BC边的夹角，故D选项不能唯一确定一个三角形， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形的确定问题，熟练掌握三角形的三边关系等相关问题是解决本题的关键. 7. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A S．S．S B. S．A．S C. A．S．A D. A．A．S 【答案】A 【解析】 【分析】 利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB． 【详解】解：易得OC=C＇，OD=O′D＇，CD=C′D＇， ∴△OCD≌△O′C′D′， ∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 8. 点P在的平分线上，点P到OA边的距离等于3，点Q是OB边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ）
A. PQ>3 B. PQ3 C. PQ<3 D. PQ3 【答案】B 【解析】 【分析】 过点P作PD⊥OA于D，PC⊥OB与C，由OP是角平分线，PD=PC=3，由PC是垂线段，可知PQ≥PC即可． 【详解】如图所示：
∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP， 过点P作PD⊥OA于D，PC⊥OB与C， ∵点P到OA边的距离等于3， ∴PD=3， ∴PC=PD=3， ∴PQ≥PC=3． 故选择：B． 【点睛】本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质． 9. 如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE,，，则的度数为（ ）
A. 95 B. 100 C. 105 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】 如图，若AC=BC，AD=BE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠ACD的度数为 【详解】解：在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SSS）
∴∠ACD=∠BCE，即∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, ∴∠ACB=∠DCE， ∵∠ACE=55°，∠BCD=155°， ∴∠DCE =， ∴∠ACD=55°+50°=105°， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 10. 如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
A. 3<AD<13 B. 1.5<AD<6.5 C. 2.5<AD<7.5 D. 10<AD<16 【答案】B 【解析】 分析】 延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论． 【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD． 在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE． ∵AB-BE＜AE＜AB+BE， ∴AB-AC＜2AD＜AB+AC． ∵AB=8，AC=5， ∴1.5＜AD＜6.5． 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若直角三角形中两个锐角的差为20°，则这两个锐角的度数分别是________． 【答案】 35°和55° 【解析】 【分析】 本题考查的是直角三角形的性质 根据直角三角形中两个锐角互余，且差为20º，即可得到结果． 【详解】设其中较小的一个锐角是，则另一个锐角是， ∵直角三角形的两个锐角互余， ∴，解得， ∴． ∴这两个锐角的度数分别为和 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】 分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可． 【详解】解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键． 13. 如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】 设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意得，=144°， 解得n=10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，若∠AEC=70°，则∠B= ． 【答案】40° 【解析】 试题分析：先根据三角形内角和定理求出∠EAC+∠ACE的度数，再根据AE、CE分别是∠DAC与∠ACF的角平分线得出∠DAC+∠ACF的度数，进而得出∠BAC+∠ACB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论 解：∵△ACE中，∠AEC=70°， ∴∠EAC+∠ACE=180°﹣70°=110°， ∵AE、CE分别是∠DAC与∠ACF的角平分线， ∴∠DAC+∠ACF=2（∠EAC+∠ACE）=220°， ∴∠BAC+∠ACB=360°﹣220°=140°， ∴∠B=180°﹣140°=40°． 故答案为40°． 考点：三角形内角和定理；
三角形的外角性质． 15. 已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝ 度 ． 【答案】120 【解析】 解：∵△OAD≌△OBC， ∴∠D=∠C=25°， ∴∠CAE=∠O+∠D=95°， ∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°． 16. 如图，在△ABC中，，AD平分，DEAB于E，有下列结论：①CD=ED；
②AC+BE=AB；
③；
④AD平分；
其中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，∠ADC=∠ADE，然后逐一分析判断即可得解． 【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE，∠ADC=∠ADE， ∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°， ∠B+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． 【答案】∠E＝10°. 【解析】 【分析】 已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠CFE＝∠ABE＝60°．又因∠D＝50°，根据三角形外角的性质即可求得∠E＝10°． 【详解】因为AB∥CD， 所以∠CFE＝∠ABE＝60°． 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°． 18. 如图，在△ABC中，． （1）尺规作图：作的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知，求的度数． 【答案】（1）见解析；
（2）∠B=30° 【解析】 【分析】 （1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于HF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D；
（2）先根据角平分线定义、三角形内角和、三角形外角性质得：∠B=∠ADC-∠BAD=30°． 【详解】解：（1）如图所示：AD即为所求；
（2）∵， ∴ ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=30°， ∵， ∴∠B=∠ADC-∠BAD=30°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，以及角平分线定义和三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的基本作图是关键． 19. 如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝CB．请你判断BE和DF的关系．并证明你的结论 【答案】BE∥DF，BE=DF，证明见解析． 【解析】 【分析】 根据已知条件和全等三角形的判定方法SAS，得到△ADF≌△CBE，得到对应角相等，根据内错角相等两直线平行，得到BEDF． 【详解】解：BEDF. 理由：∵ AE=CF， ∴AF=CE, 在△ADF与△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠DFA=∠BEC，BE=DF ∴BEDF（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考点：全等三角形的判定与性质，平行线的判定． 20. 如图，已知AD//BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分，． （1）求证：AEBE；
（2）求证：DE=CE． 【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】 【分析】 （1）由平行线和角平分线的性质，可得出∠AEB=90°，即可得结论；
（2）延长AE，BC交于M，继而证明△ABE≌△MBE，得出AE=ME后，证明△ADE≌△MCE，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°， 又∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴∠EAB=∠DAE=∠BAD，∠ABE=∠CBE=∠ABC ∴∠EAB+∠ABE=90°， ∴∠AEB=90° ∴AE⊥BE （2）如图，延长AE，BC交于M， ∵∠AEB=∠BEM=90°，BE=BE，∠ABE=∠CBE ∴△ABE≌△MBE（ASA）， ∴AE=ME， ∵AD∥BC ∴∠D=∠ECM，且AE=EM，∠AED=∠CEM ∴△ADE≌△MCE（AAS）， ∴CE=DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 21. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，． ①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90；
（2）①，理由见解析；
②当点D在射线BC.上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【解析】 【分析】 （1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】（1）；
（2）①． 理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点在射线上时，． 当点在射线的反向延长线上时，． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；
应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
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