张 峰
（北京理工大学 信息与电子学院，北京 100081）
集合的势与基数是关于集合非常重要的概念，在数学专业课程代数、分析、拓扑中都有一定程度的介绍［1］。在抽象的数学中，研究的对象都是从集合的概念出发进行描述的。集合分为有限集和无限集，对于有限集而言，很多性质是人们所熟知、容易想象的，无限集则具有很多与人们直观感觉相悖的性质。无限集和有限集是从集合的容量上对集合进行区分，而集合的势与基数就是在集合容量上对集合进行描述刻画，其重要性不言而喻。
集合的势与基数是传统数学专业学生必备的知识，属于集合论的内容。鉴于集合论在数学领域的基础性［2-3］，以及集合论对于培养学生数学修养的重要性［4］，笔者面向全校开设了“集合论”公选课程，授课对象主要为信息与电子学院、机械与车辆学院、宇航学院、自动化学院、计算机学院等工科专业的学生。如何使工科专业学生夯实集合论数学基础、提高数学素质是笔者长期思考的问题。张景中院士认为，为成功地进行数学教育改革，要根据教育规律，对教材施以数学上的再创造［5-6］。在“集合论”课程中，集合的势与基数是最后一个部分，也是学生普遍反映较难的一个部分。为了便于学生理解和掌握这部分内容，笔者对课堂教学进行了相关的教学设计，具体实施过程如下。
（一）集合的等势
首先，引入集合等势的概念：对于集合A和集合B，如果存在一个从集合A到集合B的双射，则称集合A与集合B是等势的，记为A≈B。在引入等势这个概念之后，笔者首先以有限集为例进行说明。比如，三把椅子的集合与三张桌子的集合是等势的，可以使得一把椅子对应一张桌子；
再比如，规定教室里每个学生只能坐一个座位，如果没有座位空着，也没有学生站着，那么教室里的学生之集合与教室里的座位之集合是等势的，这说明教室里的学生数与教室里的座位数一样多。在这里任课教师需要强调，相对于第一个例子中等势的集合的元素数目3是给出的，第二个例子中并没有给出等势的集合的元素数目。集合之间的等势是两个集合本身在集合容量上的比较，并非一定要引入其他的集合来完成这种比较。
有了前面关于有限集之间的等势的铺垫，就可以引入无限集的集合等势的例子了。比如，自然数集与偶数集之间是等势的。这里，教师提示学生偶数集是自然数集的真子集，并说明从这个角度上看，“整体并不总是大于部分的”；
然后让学生找出其他的一些集合与其真子集等势的例子。此时，一些学生会试着找出等势的集合例子，教师在课堂上对学生给出的一些例子进行分析、判断；
再提示学生这些能与自身的真子集等势的集合都具有何种特点，此时，通过再审视这些例子，个别学生会发现上述例子中所涉及的都是无限集。教师在课堂上讲解，目前还没有给出有限集和无限集的严格数学定义，并且，不同的无限集之间还可能在集合容量上存在不同，关于这些问题，目前暂时放下。
接着，说明集合的等势具有如下符合直观的性质：A≈A；
如果A≈B，则有B≈A；
如果A≈B，并且B≈C，则有A≈C。这些性质说明集合间的等势具有反身性、对称性、传递性。通过这些等势性质的介绍，也回顾了映射复合的概念。下面是一个两个无限集之间一定不等势的重要例子：N≉R。在证明这个命题之前，授课教师可以先证明R≈（0,1），然后利用前面已说明的集合等势的传递性，只需要再证明N≉（0,1）即可。在该命题的具体证明中，采用了十进制无限小数的唯一表示方法，假设（0,1）与自然数集等势，那么（0,1）之间的所有元素就可以排成一个数列，接着采用了对角线方法去构造一个形式上在（0,1）之间但是并不在已排成数列之内的某个小数，以构成假设上的矛盾。通过这个例子，可以向学生展示集合论创始人Cantor所使用的对角线方法，更为重要的是，作为经常使用的数集的例子，自然数集和实数集虽然都是直观上的无限集，然而两个数集之间一定是不会等势的，这说明无限集之间并不总是等势的。此刻，授课教师需要在课堂上向学生强调，事实上，如果各个无限集之间都是等势的话，那么等势这个概念的建立就没有太多意义了，也正是各个无限集之间并不总是等势的，无限集与无限集之间就可以加以区分，呈现出层次万千的“无限世界”。
（二）集合的优势
集合的等势是建立集合之间在容量上的相等，而集合容量之间的比较，除了相等的概念之外，还有大小之分，前面的自然数集和实数集之间的不等势需要进一步细化它们之间的大小关系。从而自然地引入了集合之间的优势关系：对于集合A和集合B，如果存在一个从集合A到集合B的单射，那么称集合B优势于集合A，或者等价地，集合A劣势于集合B，记为A≤B。此时，任课教师需要向学生强调：首先，如果集合A到集合B之间存在一个单射，那么说明集合A到集合B的子集之间一定存在一个双射，这仅需要取这个单射的值域即可，这就说明了集合A劣势于集合B，等价于集合A与集合B的一个子集等势；
其次，在等势的定义中，采用了双射进行集合之间等势的描述，现在又采用了单射进行了集合之间优势或者劣势的描述。此时向学生提问，从映射的性质来说已用到的映射的种类，目前还有哪类没有用到。学生会回答还有一个满射没有用到，进而再提问，这个满射在集合的势的概念中怎么用，因为现在已经有等势和优势的定义了。接着画出一个有限集合之间存在单射的例子，又画出了一个有限集合之间存在满射的例子，并说明在直观上，集合A到集合B存在一个单射的话，确实集合B的元素数目比集合A的元素数目多；
集合A到集合B存在一个满射的话，由于映射满足单值性，可能集合A的多个元素对应集合B的一个元素，这就说明集合A的元素数目比集合B的元素数目多。所以，下面很自然地引入满射在集合优势定义中的等价性命题：A≤B，当且仅当存在集合B到集合A的满射。笔者在集合的优势概念方面的引入，首先在直观上借助于有限集进行说明，然后在对一般的集合上的优势的命题，进行严格的逻辑上的演绎证明，这样的处理方法会使得具有工科专业背景的学生更容易接受和理解。
此外，在集合优势的表示方面，单射和满射的等价性命题的证明过程中，笔者采用了对待满射，利用映射的等值去建立等价关系，进而在等价类中选取代表元，从而从集合B到集合A的满射中，构造出了一个集合A到集合B的单射。这里借助于此命题的证明方法，自然地引入了选择公理的概念。对于利用映射的等值关系建立的等价类，可能这些等价类有无限多个，这时将面对从无限多个非空集合中同时选取一个元素出来的问题。此时，笔者先拿出有限的情况进行课上提示，对于有限多个非空集合，如果需要从这有限多个集合中的每个集合选取一个元素出来，是可以实施的，所以可以完成这个选择操作。对于无限的情况，此时，因为有无限多个集合，所以不可以按照有限集的情形一个一个地去选取，只能提供一种规则，如果按照这种规则是可以实施的话，就也视为可以完成选取操作。然后以罗素的形象比方为例进行说明：如果现在有无限多双鞋子，那么从这无限多双鞋中的每一双当中选择一只鞋的话，这是可以完成的，因为可以把选择规则定为选取每一双鞋的左脚穿的鞋；
与之形成对比的是，如果现在有无限多双袜子，那么上述操作就不可以完成了，因为每双袜子不区分左右脚。可见，当对无限多个集合进行选择时，并不总是可以完成选取操作的，这需要选择公理的保证。通过这种在证明单射和满射在表示集合之间优势关系等价性的命题中，嵌入选择公理的简单说明，就可以对选择公理进行初步的介绍。这种方法在课时数有限而不能对选择公理进行专门讲解的情况下，可以考虑采用。
由于前面已有命题表示，不是所有的无限集之间都是等势的，自然会有学生会对是否存在一个优势于其他无限集的无限集这个问题产生疑问。此时，有了上面优势的概念，可紧接着引入了如下命题：对于任意的集合A，其幂集P（A）一定优势于集合A自身。通过该命题的证明，解答了学生对于是否存在“最优势”集合的这个疑问。这样，对于任何集合而言，总是可以通过取其幂集的方法，找到一个在集合容量上比原集合还要大的集合。
在集合的优势方面，有一个非常重要的命题，称为Bernstein定理：对于集合A和集合B，如果A≤B，并且B≤A，则有A≈B。这个定理的证明比较长，讲解起来比较费时，在课时数只有32学时的情况下是否需要详细讲解其证明过程，是一个值得思考的问题。目前，笔者比较倾向于详细讲解其证明过程。这是基于如下的考虑：首先，该命题结论本身非常重要，为了证明两个集合之间的等势，需要找到它们之间的一个双射，而对于无限集的情形，很多时候很难找到两个无限集之间的一一对应关系，而找到它们之间的一个单射则容易得多，Bernstein定理将集合等势之间的双射问题转化为单射问题，从而显著降低了难度；
其次，该证明过程本身对学生掌握集合等势和优势的概念与使用方法特别有用，在该证明过程中，通过不断构造相互等势的集合形成了一个集合链，这种方法在其他构造集合间等势的地方也特别有效，比如，如果集合A⊂B⊂C，并且A≈C，那么利用A≈C可以得到存在映射f是集合C到集合A的双射，再将该双射限制于集合B上，从而构造出集合A1⊂A，且A1≈B，这说明集合B与集合A的一个子集等势，而显然集合A与集合B的子集A又等势，所以根据Bernstein定理可得A≈B≈C。
（三）集合的基数
前面的集合间等势和优势的概念给出了集合容量的一个比较。其中，涉及有限集和无限集的概念，但是目前还没有给出其准确数学定义。此时，结合集合的基数概念，正好可以引入无限集和有限集的概念。
笔者所讲授的“集合论”课程只有32学时，所以，课程是以朴素集合论的基本内容进行讲授的，因而自然数集，包括自然数的集合表示就没有介绍。故在给出有限集定义的时候，并不是按照集合A等势于某个自然数n进行的，而是先给出标准度量有限集的集合Mn={1,2,…,n}，通过集合A等势于某个Mn来完成定义的。自然地，不是有限集的集合就是无限集，从而给出无限集的定义。
接着对学生看起来是“显然的”结论——有限集不会与其真子集等势——进行逻辑推导。考虑到有限集是根据标准度量集合Mn={1,2,…,n}来定义的，所以在讲授时首先给出了Mn这个集合不会与其真子集等势的结论，然后顺理成章地给出任意有限集不会与其真子集等势的结论。继而提示学生，有限集与某个Mn等势是否意味着只存在着唯一的一个Mn与其等势。然后，提示学生根据自然数集所满足的三分性，从而得到仅存在唯一的Mn与有限集等势，进而可以把n作为有限集的所唯一对应的“计数”——称之为基数。至此，课程中首次引入了集合的基数这个重要的概念。回顾前面的无限集可以与其某个真子集等势的例子，再结合刚才已得到的有限集不会与其真子集等势的结论提示学生猜想：无限集一定会与其某个真子集等势，并完成该猜想的证明。有了这个命题，说明了一个集合可以和其某个真子集等势，当且仅当该集合是无限集。这样就可以把无限集定义为可以与其某个真子集等势的集合，而有限集自然就可以定义为不会与其任意真子集等势的集合。
基数部分最后的内容就是以两类常见的无限集——自然数集和实数集为例，引入无限集中的可列集和不可列集的概念，并给出了一些重要的性质，最后以实数集与自然数集的幂集等势来作为基数部分的结尾。
集合的势与基数这部分内容，无论是在公理集合论中，还是在朴素集合论中，都是相对较难的部分。特别是授课学时有限、学生主要来源于工科专业的情形下，如何有效讲解这部分内容，使得学生可以较为容易地接受这些概念，对纯粹数学产生兴趣，提高数学修养，是值得长期思考的问题。笔者通过“集合论”校公选课的教学设计与实践，取得了良好的课堂教学效果，为进一步将该课程建设为优秀课程打下了基础。
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