杨 丹, 叶晓峰, 余 标
(华东交通大学 理学院, 南昌 330013)
Bochner-Riesz算子定义为
其中t+=max{t,0}.其卷积形式可表示为
定义Bk={x∈n: |x|≤2k},k∈,Ak∶=BkBk-1,χk∶=χAk,其中χk表示特征函数.定义n)表示所有满足1 定义1[6]设p(·):→[1,∞)是一个可测函数.变指数Lebesgue空间Lp(·)(n)定义为 下面给出在变指数空间的局部连续条件: 定义2[10]令p(·)∈P(n), 若p(·)满足 则称p(·)∈LH(n). 注1当p(·)∈LH(n)时, 由文献[8]知p(·)∈B(n). 定义3[11]设α∈, 0 其范数为 定义4设β(·)∈P0(n), 变指数Lipschitz空间n)的范数定义[12]为 变指数Lipschitz空间的一个重要刻画[4]为: (1) 引理1[7]设p(·)∈P(n), 若f∈Lp(·)(n),g∈Lp′(·)(n), 则有 引理2[7]若p(·)∈P(n), 则存在C>0, 使得对包含于n的任意球体B, 下列不等式成立: 引理3[13]令p(·)∈B(n), 则存在C>0, 使得对包含于n的任意球体B及B的子集S, 有 其中γ1,γ2为常数, 且 0<γ1,γ2<1. (2) (3) 令f(x)={b(x)-bB}m/δχB, 显然m/δ>1, 且m/δ∈P(n), 根据式(1)变指数Lipschitz空间的性质, 有 利用引理3, 可得 综上可知式(2)成立. 下证式(3)成立.对∀j,i∈,j>i, 有 ‖(b-bBi)mχBj‖Lp(·)(n)≤C{‖(b-bBj)mχBj‖Lp(·)(n)+‖χBj‖Lp(·)(n)}. 利用文献[7]中结论及式(1), 可得 再联合式(2)可得式(3). 引理6[5]令β(·)∈P0(n)∩LH(n),p(·)∈B(n), 且若且则 下面对I,J,L三部分分别进行有界性估计: 1) 估计I.对∀k∈,j≤k-2, 令x∈Ak,y∈Bj, 则|x-y|≥|x|-|y|≥2k-1-2j≥2j, 故 首先估计I1.对I1取范数, 可得 利用引理5中式(2)可得 其次估计I2.将式(4)代入I2, 再对I2取范数, 可得 最后估计I3.类似I1的估计方法, 对I3先取范数, 再利用式(2)可得 将I1,I2,I3范数相加, 有 由文献[9]可推出: 再由引理4可得 ‖χBk‖Lq2(·)(n)≤C2-kβ(·)‖Iβ(·)(χBk)‖Lq2(·)(n)≤C2-kβ(·)‖χBk‖Lq1(·)(n). (6) 将式(6)代入式(5), 有 利用引理2和引理3可得 将式(7)代入I中, 有 若0 2) 估计J.由引理6可得 3) 估计L.对∀k∈,j≥k+2,x∈Ak,y∈Bk, 显然, |x-y|≥|y|-|x|≥C2k, 类似对I1,I2,I3的估计可得对L1,L2,L3的估计如下: 结合L1,L2,L3的范数可得 由文献[9]可推出 利用引理4可得 通过移项有 (9) 将式(9)代入式(8), 有 利用引理3可得 代入L中, 有 若0 若1 综上所述, 有 证毕.
若p(·)∈P(n), 则