李潇怡 李 芳 王忠辉
（山东工商学院统计学院,山东 烟台 264005）
在经济全球化背景下，汇率对经济体间的交易越来越重要。长期看来，汇率的变动受到多方面因素的影响，有货币互换、资产特性、汇率制度等因素，而且不同国家不同时间的主导因素和影响程度又有区别。然而，中国目前实行以市场供求为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度。市场供求因素在汇率形成中发挥决定性作用，价格机制的发挥使得短期内汇率的波动影响因素与长期因素有所不同。同时短期内汇率对经济发展具有重要影响，国际贸易和进出口、资本流动、国内市场价格以及居民对金融资产的选择都受到汇率的影响。自从2017年8月，美国前总统特朗普签署备忘录指示美国贸易代表办公室（USTR）对中国开展“301调查”以来，美元兑人民币汇率持续下跌。2019年突发的新冠肺炎疫情，又一次出现下跌情况，但与上一次波动变化完全不同。在短期内，找到在不同消息冲击下对汇率具有良好拟合、预测效果的模型，将有效指导企业的经济投资决策，降低生产经营的不确定性。
程鲁敏[1]（2013）、郭菊喜[2]（2015）、曹俊秋等[3]（2016）对汇率预测研究多使用GARCH（1，1）模型，发现拟合曲线几乎完全跟得上实际汇率走势，主要论证了GARCH 模型对预测汇率数据具有可行性。越来越多学者关注汇率数据出现的非线性特征和杠杆效应，杨露露[4]（2019）、鲁媛媛[5]（2022）、孙颖[6]（2022）还提出其他GARCH族模型，有GARCH-M模型、EGARCH模型、GARCH模型与神经网络ELMAN混合模型、GKREGARCH模型以及非参数GARCH模型，这些衍生模型都有助于对汇率变化进行更深入的研究。
目前，GARCH族模型成为研究金融数据使用最广泛的回归模型。它不仅具有传统金融数据计量模型的估计结果，还对数据的波动性进行了深入的建模分析，使它具有及时反映市场时变的优势，并且能够有效捕捉金融波动的集聚效应和异方差效应，特别适用于汇率数据的分析和预测。本文将继续选择GARCH模型，参考不同的数据分布类型，选取拟合精度更好的汇率拟合模型。
1.1 移动均值模型ARIMA
20世纪70年代初，博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）提出了ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model）时间序列预测方法，即自回归差分滑动平均模型。在ARIMA（p，d，q）中，AR是自回归项，p为自回归项阶数；
MA为移动平均项，q为移动平均项阶数，d为对时间序列使用差分方法使其平稳的差分阶数。ARIMA模型是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后期值以及随机误差项的现值和滞后期值进行回归所建立的模型。模型的最大特点是可以从时间序列的过去值和现在值来预测未来值。ARIMA模型的实质就是差分运算和ARMA模型的组合。ARMA模型的基本形式：
1.2 波动模型GARCH模型族
ARCH模型，全称自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model）是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的模型。ARCH模型由ENGLE[7]（1982）提出，并由BOLLERSLEV[8]（1986）不断发展成为GARCH（Generalized ARCH）族。通常对数据的波动性描述用方差来刻画。对于有波动性的时间序列，不同的时间包含的历史信息量不同，所以相应的条件方差也不同。ARCH模型的本质就是将历史波动信息作为条件，表现随时间变化而变化的条件方差。
ARCH建模的主要思想是时刻t的平方误差依赖于t-1时刻的平方误差的大小，即依赖于。已知历史数据的情况下，假设零均值、纯随机残差序列具有异方差性，即，异方差等价于残差平方的均值，使用残差平方序列的自相关系数，可以考察异方差函数的自相关性，考察的结果有以下两种。
自相关系数恒为零，pk=0，k=1，2，3…，说明异方差函数是纯随机的。此时，历史数据对未来异方差的估计没有任何作用。
或存在某个自相关系数不为零，即pk≠0，k≥1，这意味着在残差平方序列中，蕴含着某种相关信息，可以通过构造适当的模型，提取这些相关信息，以获得序列异方差波动特征。
那么为q阶ARCH模型，简记ARCH（q）形式如下：
然而，在实际操作中，往往需要高阶的ARCH模型才能充分刻画金融数据的波动率过程，特别是高频数据，但是高阶的ARCH模型意味着需要用有限的数据去估计更多的参数，又会产生参数精度降低的问题。在1985年，BOLLERSLEV为了修正这个问题，提出了广义自回归条件异方差GARCH模型结构：
GARCH模型对波动性的描述，为分析大量金融数据提供了行之有效的方法，也成为最常用、高效的拟合异方差序列的模型。此后，研究人员不断拓宽GARCH模型的使用范围和模型结构，构造出了多个GARCH模型的衍生模型，如EGARCH（Exponential GARCH）指数GARCH模型，放宽了GARCH模型参数非负的约束，同时引入参数来刻画杠杆效应；
TGARCH模型（Threshold ARCH）门限GARCH模型，进一步修正了EGARCH模型对正负扰动的反应对称问题。
2.1 数据选取
本文选取来自2015年1月至2022年9月工作日美元兑人民币汇率日度数据。
2.2 数据检验
2.2.1 描述性统计
如图1所示，汇率值在一些时间段波动明显，而在一些时间段却波动较小，表现出大的波动后跟着一个大的波动，小的波动后面跟着一个小的波动，体现出波动的集群效应。并且有上升趋势，是典型的非平稳时间序列。为了消除其趋势因素，采用差分的方法。记2015Y至2020Y的序列为a，记一阶差分后的序列为b。序列b的均值为0.0002151801接近于0，标准差为0.01745822，偏度为0.3353162，说明序列分布有右拖尾性，峰度为5.866074大于标准正态分布的峰值3，说明序列b具有尖峰厚尾的分布特征。正态性检验J-B统计量为2267.2，p值远远小于0.05，说明序列拒绝服从正态分布，如图2所示。
图1 2015年1月至2022年9月工作日美元兑人民币汇率日度数据变化趋势
图2 序列b的描述统计图
2.2.2 平稳性检验
平稳性检验使用ADF检验，ADF检验的假设条件为：
H0：一阶差分后序列是不平稳的 VS H1：一阶差分后序列是平稳的。
经过计算一阶差分后的a序列（b序列）的ADF统计检量为-10.6020，远远小于1%水平下的临界值-3.4330，且对应统计检验量的P值显著，说明b序列平稳性良好。
2.2.3 相关性检验
对序列进行L-B检验，取滞后期数为30，得到的自相关、偏自相关系数（见表1），说明这个序列均具有前后相关性。
3.1 建立均值方程
根据自相关、偏自相关系数结果（见表1），大部分函数值在正负0.04以内，显示序列b具有很弱的自相关性，因此在条件期望模型中不需要引入自相关性部分。序列b的均值近似为0，且通过统计检验，建立无截距项形式。借助R软件建立多个模型，按照AIC最小准则且估计参数尽量少的原则下，最后选择ARMA（1，0）模型，模型对应的AIC值为-9616.388。对序列a建立选择ARMA（1，1，0）模型。均值模型估计结果为:
表1 自相关ACF和偏自相关PACF系数结果
3.2 建立波动模型
3.2.1 ARCH效应检验
ARCH效应检验用来验证序列是否具有异方差性，且由特定的自相关关系造成的。常用的ARCH检验统计方法LM检验，即拉格朗日乘子检验。该检验的构造思想是：如果残差序列方差非齐，且具有集群效应，那么残差平方序列通常具有自相关性。
检验的假设条件为：H0：残差平方序列纯随机，备择假设为H1：残差平方序列自相关。当原假设成立，LM（q）检验统计量近似服从自由度q-1的卡方分布。当LM（q）检验统计量的P值小于显著性水平时，拒绝原假设，认为该序列方差非齐，可以用q阶自回归模型拟合残差平方序列中的自相关关系。
对ARMA（1，0）模型的残差序列进行ARCHLM检验，取滞后期数为12，得到的LM（q）值为219.25，对应的p值远小于0.05，相关系数为0的原假设被拒绝，说明残差序列存在条件异方差性。
3.2.2 建立GARCH族模型
首先建立GARCH模型。GARCH模型的定阶方法研究不多，一般用试错法尝试较低阶的GARCH模型。由于b序列均值近似为零，设定模型不存在截距项。由于其他阶数模型AIC信息量与GARCH（1，1）模型差距不大，但不如GARCH（1，1）简洁，故本文选用GARCH（1，1）模型，也符合一般的GARCH模型阶数设定。选定的GARCH（1，1）模型AIC值为-5.8377。
GARCH（1，1）条件异方差模型为：
ARCH项和GARCH项估计参数0.0711、0.9277都大于0，并且两者之和小于1，满足GARCH参数估计条件。并且两项系数估计值显著，反映了异方差性和波动聚集性的存在。
进一步尝试EGARCH（1，1）模型、TARCH（1，1）模型，并且对残差序列的分布假设分别为t分布、偏态t分布、ged分布和偏态ged分布，通过R软件建立八组模型，八组模型估计结果均显著，按照AIC信息准则，选取TGARCH（1，1）-sstd分布模型，AIC信息量为-5.9819，模型的参数结果如表2所示。
表2 序列b的TGARCH（1，1）-sstd分布估计结果
因此可以建立参数如下的条件异方差估计方程为:
其中虚拟变量dt-1满足的条件是：当εt-1＜0时，为1；
当εt-1＞0时，为0。γ不为0，说明序列具有杠杆效应。γ＞0，ARCH系数（α+β）依赖于历史误差项的符号为正，验证了坏消息将比好消息对条件方差产生更大的影响，说明序列存在杠杆效应，并且信息存在不对称性。在正干扰下（εt-1＞0），美元兑人民币数值上升的消息对波动率的影响系数为0.093，在负干扰下（εt-1＜0），美元兑人民币数值上升下降对波动率的影响系数为0.320。
残差序列{μt}估计为偏度为0.9406，自由度为3.9869的偏态t分布。
进一步对估计残差作加权ARCHLM检验，可发现检验统计量P值接近于1，接受原假设TGARCH模型的残差不具有ARCH效应，说明条件异方差现象得到有效消除。
根据方差模型，5个工作日的预测结果如图3所示。
图3 基于方差模型的5个工作日预测结果
ARIMA（1，1，0）-TGARCH（1，1）-SSTD模型能良好地刻画人民币汇率的波动特征及其规律。从短期来看，美元兑人民币汇率有上升趋势。汇率数据有明显的集聚性。由残差检验得到人民币汇率存在明显的波动集聚性，即存在ARCH效应，具有“尖峰厚尾、有偏分布”的分布特征，表现为汇率值在一些时间段波动明显，而在一些时间段波动较小，而且表现出大的波动后跟着一个大的波动，小的波动后面跟着一个小的波动。
在利用TGARCH和EGARCH的非对称研究中，TGARCH模型对一阶差分的美元兑人民币汇率序列的拟合效果比EGARCH模型的拟合效果更好，且都优于GARCH模型。对于残差序列有偏且比具有尖峰厚尾特点的偏态t分布的拟合效果模型最优。一阶差分的美元兑人民币汇率序列具有杠杆效应，反映了外汇市场对人民币汇率收益率的升值或贬值消息存在不同反应，外汇市场对美元贬值消息更敏感。人民币汇率的条件方差与前一期的条件方差成正比。
根据宏观经济理论可知，人民币汇率的走势对进口商品的国内价格和国内消费者购买外国商品的价格都有显著影响，同时对我国进出口贸易结构以及外商直接投资规模和投资结构都有较大影响。美元兑人民币汇率的下降，会使出口商品的价格上升，进口商品的价格下降，导致我国商品在国内外市场都失去竞争力，从而影响我国的进出口贸易。反之，则有利于我国的进出口贸易。
对于居民来说（尤其是留学人员），汇率数据的波动即时影响着生活、购物、出行等方方面面。美元兑人民币汇率的预测可以避免一些不必要的损失。需要注意的是，单一汇率数据的短期预测模型可以作为参考，尽量避免因汇率波动带来的损失，而不能作为个人投资者的追求短期投机利益的工具。
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