刘玉忠, 宋宇宁
(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)
切换系统是由一系列连续时间的子系统和一个控制子系统之间切换的规则组成的混合动态系统,在控制领域得到广泛应用[1]。各种实际系统经常会遇到时滞现象,如化工系统、艾滋病流行、飞行器稳定、神经网络等。在数学模型中,系统的不确定性、时滞等是经常会遇到的问题,其也是导致系统不稳定和性能差的原因。近年来,带有不确定性的时滞系统的鲁棒镇定问题备受重视[2-7]。
然而在许多实际系统中,系统的状态不能直接测量时,状态反馈控制器就无法保证系统的稳定性,这时就需要观测器来估计系统的状态进而对系统进行控制。基于观测器的状态反馈控制器常被用来稳定系统或改善系统的性能。在H∞这一概念提出之后,基于状态观测器的时滞系统H∞控制问题得到广泛关注[8-11]。
考虑如下含有不确定性的一类时滞切换系统:
(1)
ΔAi(t)=EiΣT(t)Fi、ΔAdi(t)=EdiΔΣT(t)Fdi
其中:Ei,Fi,Edi,Fdi是适维已知常矩阵;Σ(t),ΔΣ(t)为具有不确定参数的矩阵且满足ΣT(t)Σ(t)≤I和ΔΣT(t)ΔΣ(t)≤I。
对于不确定时滞切换系统(1),当系统的状态不能直接获得时,就需要构造适当的状态观测器来估测系统的状态。本文构造如下非脆弱状态观测器:
(2)
(3)
定义1 对任意给定常数γ,带有不确定性的时变时滞切换系统(1)在考虑基于观测器存在加性摄动形式的非脆弱状态反馈增益情况下,可以得到非脆弱基于状态观测器的控制器存在形式,且满足给定常数γ。运用对应切换规则进行系统之间的切换,进而发现系统(1)是可以镇定的,如果存在形如(2)式的观测器和控制器及相应的切换规则σ(t),那么对于给定的性能指标,闭环系统响应满足以下2个条件:
1) 当外部扰动ω(t)=0时,构造对应切换规则σ(t),使得系统(1)是渐近稳定的;
2) 当系统(1)在t=0时刻的初始状态为0时,下述不等式对于所有非零的ω(t)∈L2[0,T], 0≤T<∞成立:
选取2016年5月—2018年5月到我院接受治疗的80例结直肠癌患者，所有患者均接受持续治疗，按随机数字表法将其分为A组和B组。A组收入结直肠癌患者40例，其中男性患者28例，女性患者为12例；
该组患者年龄最小为59岁，最大为72岁，平均年龄为（65.58±5.50）岁。B组收入结直肠癌患者40例，其中男性患者为25例，女性患者为15例；
该组患者年龄最小为60岁，最大为71岁，平均年龄为（65.55±5.51）岁。对比两组患者的年龄、性别等相关资料发现差异无统计学意义，P＞0.05，具有可比性。
‖z‖2≤γ‖ω(t)‖2
引理1 设x∈q,y∈p,D和E是适维的已知常数矩阵,如对任意适维矩阵F满足FTF≤I,则对任意ε>0有
2xTDEy≤εxTDDTx+ε-1yTEETy
成立。
定理对于系统(1)中基于观测器的状态反馈控制器,其中控制器参数矩阵如下所示:
(4)
对于给定的性能指标γ,给定常数εi>0(i=1,2,…,9),如果对于系统(1)存在对称正定矩阵Pc∈n×n,P0∈n×n和且的n个实数,则有如下矩阵不等式成立:
其中
取切换规则如下:
(11)
其中
证明 对闭环系统(3),设ω(t)≠0为对应切换规则在x(t0)=0上构成的切换序列。首先考虑系统内部稳定性,令ω(t)=0,构造Lyapunov泛函如下:
对V(x)沿着切换系统(3)轨迹的时间求导,并利用引理1和时滞导数上限可知式(7)～(10)是定义矩阵M1,M2,Q1,Q2,GGT,经整理后变为如下形式:
使得闭环系统渐进稳定。
其次考虑当ω(t)≠0时,在x(t0)=0初始条件下,对于∀T>0,构造性能指标泛函:
所以当矩阵Π′<0时,系统(1)在基于状态观测器反馈控制下渐进稳定且满足给定性能指标γ。若式(13)成立,如下形式的不等式也一定成立。
根据Schur补引理将上述矩阵不等式转化为等价于定理中的2个线性矩阵不等式(5)和式(6),且定理在无扰动输入情况下,Pc仍能满足,定理得证。
注: 定理中有2个待求的矩阵变量Pc和P0不能同时获得,需要利用迭代求解方法进行数值仿真求解线性矩阵不等式(LMI),方法是先计算式(5)中Pc的一些可行解,然后将Pc带入到式(6)中解得P0。
本文针对一类不确定性的时变时滞切换系统基于状态观测器的非脆弱H∞控制问题,利用凸组合技术和单李雅普诺夫函数方法构造合适的切换规则,利用不等式引理对求导后的李雅普诺夫泛函中的含不确定性的导数项和时滞导数项进行放缩,得到时滞无关矩阵不等式且不等式只与时滞导数上界有关,利用Schur补引理将得到的矩阵不等式分解为等价的2个线性矩阵不等式组,同时得到不确定时变时滞切换系统(1)满足非脆弱H∞控制的充分条件和基于观测器的非脆弱控制器的具体形式,并通过实例进行数值仿真,验证了定理的实用性和有效性。得到的非脆弱H∞控制器针对本文的系统定理有效。
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