徐任杰，宫 琳，2，*，朱明仁，谢 剑，俞景嘉
（1.北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081；
2.北京理工大学长三角研究院（嘉兴），浙江 嘉兴 314019）
随着信息技术的飞速发展，现代战争环境日益复杂，战场态势瞬息万变，这就需要指挥人员在短时间内对作战方案进行快速推荐，找出与当前任务需求最为相关的作战方案作为参考案例，尽可能地减少决策反应时间，以便更好地在作战部署上进行优化配置。作战方案推荐是指综合作战任务描述、作战能力属性、情况判断及作战方案等数据，充分利用当前所能收集的信息对作战方案进行快速优选及推荐。作为OODA（observation orientation decision action）环的一个关键步骤，体系对抗下作战方案推荐的好坏直接影响最终战争成败。由于作战方案本身的复杂性和不确定性，如何依据当前任务需求的特征和信息对作战方案进行科学合理的推荐成为了一个难点。
经过长期的发展，作战方案推荐方法和理论在不断完善。文献［3］综合概述了现有的作战方案评估优选方法，对其归纳的方法进行了总结和对比，展望了作战方案推荐研究领域的进一步发展方向。由于作战方案一般具有多种作战能力属性，多属性决策方法在作战方案推荐问题上应用较多。文献［6］提出了一种潜在权重自适应分配的作战方案评估模型，并利用贝叶斯分析方法的后验机制给出新作战方案的推荐结果。文献［7］综合考虑影响完成作战任务的重要因素，建立了综合逼近理想解排序法（technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS）和灰色关联分析法的作战方案优选推荐模型。文献［8］提出了一种基于运筹分析和作战模拟仿真结合的综合优选推荐方法。文献［9］提出了一种改进的TOPSIS方法对作战方案进行优选推荐，解决了传统TOPSIS方法中的逆序问题。文献［10］给出了基于经典物元模型的作战方案评估框架，形成4种组合量化评估的检验模式对作战方案进行优选。文献［11］提出了改进的新型距离测度，实现了基于综合感知价值的多个备选作战方案的推荐。文献［12］基于情境感知和偏好学习提出了一种作战方案智能推荐方法，可较好地推荐相似情况的历史处置案例。当前也存在其他的作战方案推荐方法，包括模糊综合评价法、情景分析法、证据推理、仿真法和前景理论，这些也都是用于作战方案推荐的常用方法。
但现有的作战方案推荐存在以下问题：①没有考虑作战需求表征与作战方案评价存在不确定性信息。由于作战环境的复杂性和人员思维的主观性，不能简单地用点值描述推荐过程中的数据信息，而是需要一个范围，也就是存在不确定性信息。②没有对作战方案数据进行有效重用。实际作战中留给指挥人员的决策时间窗口很短，来不及临时制定作战方案，因此需要充分利用平时积累的作战方案数据。③仅考虑作战方案与任务需求的相关性而未考虑作战方案的多样性。为防止敌方的针对性打击，争夺和保持信息优势，指挥人员需要的是与当前任务需求最为相关、且多样性强的作战方案子集作为参考案例，避免结果同质化及防止落入局部最优，以提供开阔的决策视野。
为解决以上问题，本文提出了一种不确定信息下考虑相关性与多样性的作战方案推荐方法。首先将粗糙集理论融入最优最劣法（best worst method，BWM）中对各作战能力属性进行赋权；
其次给出了不确定信息下作战方案与任务需求之间的相关性、作战方案之间的多样性计算模型；
然后提出了权衡相关性和多样性的行列式点过程（determinantal point process，DPP）模型，在此基础上，给出了贪婪最大后验概率（maximum a posterior，MAP）推断算法和贪婪Tradeoff推断算法以获得作战方案最优推荐子集；
最后通过案例分析验证了所提模型和方法的适用性和可行性。
作战能力属性权重可反映属性的相对重要性，是有效计算相关性和多样性的前提条件。本文通过BWM得到军事专家小组对作战方案属性权重判断，由于作战环境的复杂特征和军事专家固有的主观思想会引起信息不确定性，因此融入粗糙集理论将专家判断给出的点值范围化，然后按照重要性程度对属性进行权重配置。此时权重计算避免极值影响，结果更加客观可靠。
1.1 粗糙集理论
粗糙集理论是解决复杂决策问题的有效工具，可以较好地利用下限和上限来表征决策问题的不确定性和模糊性，相比于区间理论和模糊理论，其优势在于无需效用函数、隶属函数等先验信息知识，完全利用已有的客观数据进行分析，具有较强的实用性。
存在＝（，，…，S），共有个类，对于任意的S∈，∈，是论域，确定值S的下近似限和上近似限为
利用以上公式得到确定值S的粗糙数表达形式为
式中：S和S 分别代表粗糙数RN（S）的上限和下限，其差值越小，说明不确定性越小，反之则越大。
1.2 融入粗糙集理论的BWM
传统的BWM是利用精确数值来表示专家的认知，但综合专家判断时易受到极值的影响，且忽视了不确定信息，将粗糙集理论融入BWM中可灵活解决此问题，具体过程如下。
确定最优属性和最劣属性。存在个作战方案能力属性，通过个专家确定最优属性c 和最劣属性c ，采用1～9的评价标度，1表示两个属性同等重要，9表示该指标与其他属性相比极其重要。
确定最优、最劣属性相比于其他属性的比较向量。通过最优、最劣属性与其他属性相对重要度的两两比较，构建整合的比较向量为
式中：表示第个专家，1≤≤；
表示第个属性，1≤≤。
构造粗糙比较向量。将比较向量粗糙化得到的粗糙序列表示为
粗糙序列的平均值表示为
计算作战能力属性的权重。构建多目标规划模型得出最优属性权重配置，得到的权重应该满足：
方案相关性反映了作战方案满足任务需求的程度，方案多样性反映了作战方案之间存在的差异。为防止敌方的针对性打击，争夺和保持信息优势，指挥人员需要的是与当前任务需求最为相关、且多样性强的作战方案子集。因此，本文给出不确定信息作战方案相关性、多样性计算模型，具体如下。
给定作战方案集为＝｛，，…，P｝，任务需求为P ，作战能力属性集合为＝｛，，…，s，…，s｝。
首先构造判断矩阵并转换为粗判断矩阵：
式中：是方案的个数；
为能力属性的个数；
1≤≤，1≤≤。
然后对判断矩阵进行粗化和平均化，得到粗判断矩阵：
对粗判断矩阵归一化，得到作战方案能力属性的权值向量。为避免量纲的影响，对粗判断矩阵进行归一化，且1≤≤，1≤≤。
2.1 相关性计算
在计算作战方案与任务需求之间的相关性前，首先需要计算其作战能力属性的相关性，然后综合所有的作战能力属性得到作战方案与任务需求之间的相关性。作战方案与任务需求之间的相关性表示作战方案满足任务需求的程度，本文对已有的任务需求满足度函数进行改进，提出了不确定信息下的任务满足需求度函数来计算作战方案与任务需求之间的相关性，给出的相关性计算模型具体如下。
计算作战方案P 与任务需求P 在作战能力属性s 上的相关性：
计算作战方案P 与任务需求P 之间的相关性。考虑权重对每个作战能力属性的影响程度，作战方案P 和任务需求P 的相关性表示为
2.2 多样性计算
传统的作战方案推荐只考虑作战方案与任务需求之间的相关性。为防止敌方的针对性打击，争夺和保持信息优势，所推荐的作战方案应存在一定的差异，即多样性。一方面避免推荐方案同质化，另一方面防止推荐结果落入局部最优，进而为指挥人员提供更加开阔的决策视野。作战方案的相似度表示作战方案之间的相似程度，是作战方案之间多样性的前提条件，本文综合考虑绝对相似度和位形相似度，给出的多样性计算模型具体步骤如下。
计算不同作战方案能力属性之间的绝对相似度。作战方案P 和作战方案P 在作战能力属性s 下的绝对相似度为
计算作战方案之间的相似度。综合绝对相似度和位形相似度，考虑权重对每个作战能力属性的影响程度，作战方案P 和作战方案P 的相似度表示为
式中：w 表示作战能力属性权重；
s表示第个作战能力属性；
表示作战能力属性的个数；
（AS （P ，P ）＋CS （P ，P ））／2表示作战方案P 和作战方案P 在作战能力属性s 下的相似度。
计算作战方案之间的多样性。作战方案集合之间的成对相似度可以使用一个实对称矩阵进行描述，其元素K表示作战方案P 和作战方案P 之间的相似度，即
由于绝对相似度计算函数与位形相似度计算函数均为广义学生氏核函数，因此其所诱导的相似度矩阵为半正定矩阵。任何半正定矩阵可以作为一组特征向量的格拉姆矩阵存在，即作战方案相似度矩阵可被分解为
式中：＝［，，…，p ］，p 表示作战方案P 的特征向量。
3.1 DPP过程建模
DPP是一种概率建模的方法，可以有效解决作战方案推荐中的相关性与多样性权衡问题，相比于其他模型，DPP建模简单，仅输入一个半正定矩阵即可进行方案推荐，从而快速获得作战方案的推荐结果。本文提出了权衡相关性和多样性的DPP模型，具体如下：
对于作战方案集＝｛，，…，P｝和任务需求P ，存在相关性向量，其中
综合作战方案与任务需求之间的相关性及作战方案之间的多样性，构造新的矩阵，其中
由于矩阵是半正定的，因此矩阵＝diag（）··diag（）是半正定的。为对数据建模，将矩阵作为核矩阵，通过L-ensembles的形式构建DPP模型：从作战方案集＝｛，，…，P｝中进行子集采样，其概率形式表示为
式中：是作战方案集中的一个子集；
（）表示采样到子集的概率；
L ＝［L ］为由索引的的一个子矩阵；
det（L ）表示矩阵L 的行列式；
是与大小相同的单位矩阵。
为更直观观察det（L ）的物理意义，对det（L ）取对数，表示为
根据以上内容，可将作战方案推荐问题转化为优化问题，给出的标准优化模型如下。
目标函数：
决策变量：⊆
约束条件：｜｜＝
式中：表示要求的推荐方案数目，由指挥人员灵活确定。
3.2 模型求解
在采用DPP建模后，作战方案推荐问题就转化成为了一个MAP推断问题，也就是合理选择作战方案的子集，使子集与任务需求之间的相关性及子集内部之间的多样性最大化。不同于DPP的概率计算或采样计算，DPP的MAP推断是非确定多项式问题，不存在可寻找精确MAP解的多项式时间算法。为了解决此问题，本文基于最大边际增益的贪婪算法对其求解，该算法的基本思想是在每一次迭代过程中向子集中添加项，直至达到要求的推荐作战方案数目。给出项的计算公式如下：
参考式（25）进行推荐子集选取的方法，本文给出贪婪MAP推断算法具体流程图，如图1所示。
图1 贪婪MAP推断算法流程图Fig.1 Flow chart of greedy MAP inference algorithm
3.3 模型拓展
为了对推荐作战方案子集的相关性和多样性进行更加灵活的调整，本文引入权重系数对式（24）进行调整，则标准优化模型如下。
①目标函数：
②决策变量：⊆
③约束条件：｜｜＝
式中：表示要求的推荐方案数目；
表示权重系数，0≤≤1；
当＝0时，表示只考虑推荐子集的内部之间多样性而不考虑与任务需求之间的相关性，当＝1时相反。
此时式（25）可调整为
参考式（27）进行推荐子集选取的方法，本文给出贪婪Trade-off推断算法具体流程图，如图2所示。
图2 贪婪Trade-off推断算法流程图Fig.2 Flow chart of greedy Trade-off inference algorithm
为完成某使命任务，红方根据已知的任务需求，利用平时积累的作战预案，从50个历史作战方案中推荐出与当前任务需求最为相关、且多样性强的作战方案子集作为参考案例，从而更好地在作战部署上进行优化配置。此次使命任务从侦察能力、信息处理能力、信息传输能力、辅助决策能力、突发应变能力、作战适宜性、打击精度和机动速度8个作战能力属性对作战方案进行推荐判断。
4.1 作战能力属性权重计算
在确定作战方案包含的作战能力属性后，邀请5名专家对作战能力属性进行主观判断打分，然后利用融入粗糙集理论的BWM方法计算各个作战能力属性权重。
5名专家根据自身偏好对8个作战能力属性进行打分，评分分制为1～9，5名专家均认为信息传输能力是最优标准，作战适宜性是最劣标准，构建整合的比较向量为
得到的粗糙比较向量和作战能力属性权重结果如表1所示。
表1 作战能力属性权重计算结果Table 1 Combat capability attribute weight calculation results
4.2 方案相关性和多样性计算
将50个作战方案对应的作战能力属性数据粗糙化，已知任务需求向量P ＝（［5.639，6.387］，［4.029，6.434］，［5.842，7.868］，［4.182，6.755］，［4.471，7.881］，［4.358，6.574］，［4.308，7.075］，［5.939，6.267］），其中任务需求的内涵是多方面的，这里仅考虑各个作战能力属性的组合，下限是指完成任务所需的最小的作战能力属性值，上限是指成本资源因素限制的作战能力属性值。
根据式（11）～式（16），计算50个作战方案与任务需求P 之间的相关性及作战方案之间的相似度，如表2所示。
表2 相关性和相似度计算结果Table 2 Relativity and similarity calculation results
表2中，前50行表示作战方案～之间的相似度矩阵，最后一行表示作战方案与任务需求之间的相关性。其热力图可视化如图3所示。
图3 相关性和相似度热力图Fig.3 Relativity and similarity thermodynamic diagram
作战方案与任务需求之间的相关性在0.546～0.933之间；
作战方案之间的相似度在0.361～0.781之间，取某个作战方案子集，其多样性按照式（19）计算。
4.3 作战方案推荐
为了验证DPP模型推荐作战方案的适用性，提出相关性分数和多样性分数的概念来衡量推荐子集与任务需求的相关性程度、内部之间的多样性程度，具体如下：
式（28）表示相关性分数，反映了推荐子集与任务需求之间相关性的下限；
式（29）表示多样性分数，反映了推荐子集内部之间成对相似度的上限。两个指标越大，说明推荐子集越满足相关性和多样性要求。
在DPP模型的基础上，利用上述所给出的贪婪MAP推断算法从50个作战方案中选取2～20个进行推荐，相关性分数和多样性分数如图4中红线所示。
图4 相关性和多样性分数Fig.4 Relativity and diversity scores
为了证明方法的有效性，将贪婪MAP推断算法与其他方法进行对比分析。图4中的蓝线表示一种贪婪相关算法，其基本思想是每次迭代中，从剩余的作战方案中选择与任务需求相关性最大的一个加入推荐子集，直到达到推荐数量要求。从图4中可知：随着推荐作战方案的增多，贪婪相关算法为追求相关性而导致推荐子集迅速同质化，贪婪MAP推断算法给出的推荐作战方案子集的整体相关性虽然略低于贪婪相关算法，但保留了与任务需求最为相关的若干个作战方案（理论上至少存在1个），保持了多样性方面的优势，证明了贪婪MAP推断算法对相关性和多样性有着较好的权衡能力，可为指挥人员提供更好的决策视野。
接着利用上述所给出的贪婪Trade-off推断算法进行相关性和多样性的权衡效果分析，在推荐子集的数量设置为10时，该案例的计算结果如图5所示。
图5 贪婪Trade-off推断算法Fig.5 Greedy Trade-off inference algorithm
贪婪Trade-off推断算法通过对参数调整来对相关性和多样性进行权衡，从图5中可知：当较小时，贪婪Trade-off推断算法倾向于寻找多样性的推荐子集而非相关性，当较大时情况相反。在本案例中，当较小时，贪婪Trade-off推断算法得到的推荐子集多样性比贪婪MAP推断算法更好，但推荐子集与任务需求之间的相关性较低，直至＝0.7时，两种方法性能表现相近；
当＝1.0时，贪婪Trade-off推断算法与贪婪相关算法表现相近。因此，当指挥人员想要获得比贪婪MAP推断算法更高的相关性，且比贪婪相关算法更高的多样性推荐子集时，可将调整到0.7～1.0之间。
案例表明：贪婪MAP推断算法所给出的作战方案推荐子集能在保持相关性的条件下提高子集内部的多样性；
贪婪Trade-off推断算法为相关性与多样性之间的权衡提供了更加灵活的选择。此外，由于的取值对贪婪Tradeoff推断算法的表现性能影响较大，当指挥人员起初不确定对相关性和多样性的偏好倾向时，可将贪婪MAP推断算法作为一个较好的初始探索点。
从相关性与多样性两个视角出发，考虑不确定信息影响的情况下提出了一种作战方案推荐新方法。具体有以下贡献：
（1）将粗糙集理论融入作战方案相关性、多样性计算全过程，有效解决作战方案表征与评价过程中的不确定性问题。给出了不确定信息下作战方案相关性、多样性计算模型，计算过程完全依赖原始数据，结果更加客观有效。
（2）将DPP模型引入作战方案推荐过程中，有效解决作战方案推荐子集与作战任务需求相关性、内部方案多样性的权衡问题。给出了相关性与多样性权衡的贪婪MAP推断算法和贪婪Trade-off推断算法，为推荐问题的求解提供了快速灵活的有效手段。
不过，本文方法仍然有不足之处：所推荐的作战方案只是作为参考案例，并不是最终的作战方案，下一步将结合实际作战情况进行修改、再设计，以最大程度满足实际任务需求。
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