段永红, 王文霞
(1.太原学院数学系, 太原 030032；
2.太原师范学院数学系, 山西 晋中 030619)
分数阶微分方程的边值问题无论是在数学领域还是在力学、电子学等众多工程技术领域都已经获得了广泛深入的研究，研究成果非常丰富，见文献[1-5]及其参考文献.积分边值问题是流体力学、工程学等诸多领域的数学模型，因此分数阶微分方程的积分边值问题近年来受到极大的关注，获得了很多有价值的研究成果，见文献[6-8]及其参考文献.其中，文献[8]利用Krasnoselskii不动点定理研究了如下分数阶积分边值问题的正解的存在性：
另一方面，带有偏差量的微分方程在物理、力学、工程学与经济学等诸多领域有重要的应用，也是微分方程理论中重要的研究领域.近年来，许多专家学者对带有偏差量的任意分数阶微分方程的正解问题进行了研究，成果不断涌现.比如文献[9]研究了带有时滞量的边值问题正解的存在性，文献[10-12]研究了带有超前量的两点边值问题或积分边值问题正解或多重正解的存在性，这些文献使用的主要工具为Guo-Krasnoselskii不动点定理，Leray-Schauld非线性抉择，不动点指数理论以及Legget-Williams不动点定理.文献[13]研究了如下带有偏差量的Caputo型任意分数阶微分方程积分边值问题：
其中，f：[0，1]×R×R→R，g：[0，1]×R→R，τ：[0，1]→[0，1]皆为连续函数，λ≥0.使用单调迭代技术及上下解方法获得了上述问题存在极值解的充分条件.据笔者所知，这类带有偏差量的任意分数阶非线性微分方程唯一正解的存在性研究尚不多见．
基于上述原因，并受文献[7，10-13]的启迪，本文研究如下任意分数阶非线性微分方程积分边值问题(BVP)唯一正解的存在性：
(1)
定义1[1-2]设p>0，函数x：(0，+∞)→R的p阶Riemann-Liouville型积分定义为
只要上式右端在(0，+∞)上有定义；
连续函数x：(0，+∞)→R的p阶Riemann-Liouville型导数定义为
只要上式右端在(0，+∞)上有定义，n-1 考虑如下分数阶线性边值问题， (2) 其中，y，z∈C[0，1]． 引理1BVP(2)有唯一解 其中， G(t，s)=G1(t，s)+G2(t，s)， c2tα-2+…+cn+1tα-n-1， 其中，ci∈，i=1，2，…，n+1.由边界条件x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0可知ci=0，i=3，4，…，n+1.于是， 进而有 故 (3) 将上式两边从0到η积分可得 将其代入(3)式， 证毕． 容易证明如下结论成立． 引理2引理1中定义的函数G(t，s)，G1(t，s)，G2(t，s)具有如下性质: 1)G1(t，s)，G2(t，s)及G(t，s)在[0，1]×[0，1]上都是非负连续函数； 给定e>0(i.e，e∈P，e≠θ)，令 Pe= {x∈E|∃l1=l1(x)>0，l2=l2(x)>0 s.t. l1e≤x≤l2e}. (4) 引理3[15]设P是E中的正规锥，δ∈(0，1).A：P×P→P是混合单调算子且满足 A(rx，r-1y)≥rA(x，y)，r∈(0，1)，x，y∈P． B：P→P是增算子且满足 B(rx)≥rδB(x)，r∈(0，1)，x∈P． 若下列条件成立， 1)存在u0∈Pe使得A(u0，u0)∈Pe及Bu0∈Pe； 2)存在ε0>0使得A(x，y)≤ε0Bx，∀x，y∈P． 则A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且对任意的x0，y0∈Pe，令 xn=A(xn-1，yn-1)+Bxn-1， yn=A(yn-1，xn-1)+Byn-1，n=1，2，…， 那么有xn→x*，yn→x*(n→+∞). 引理4[15]设P是E中的正规锥，δ∈(0，1).A：P×P→P是混合单调算子且满足 A(rx，r-1y)≥rδA(x，y)，r∈(0，1)，x，y∈P． B：P→P是增算子且满足 B(rx)≥rB(x)，r∈(0，1)，x∈P． 若下列条件成立: 1)存在u0∈Pe使得A(u0，u0)∈Pe及Bu0∈Pe； 2)存在ε0>0使得A(x，y)≥ε0Bx，∀x，y∈P． 则A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且对任意的x0，y0∈Pe，令 xn=A(xn-1，yn-1)+Bxn-1， yn=A(yn-1，xn-1)+Byn-1，n=1，2，…， 那么有xn→x*，yn→x*(n→+∞). P={x∈X|x(t)≥0，t∈[0，1]}， 为X中的正规锥． 为了方便，记 以及 h(t)=h1(t)+h2(t)，t∈[0，1]， 并定义Pe如(4)式． (H1)f(t，x，y)关于第二个变量不减，关于第三个变量不增，且对任意的r∈(0，1)有 f(t，rx，r-1y)≥rf(t，x，y)， x∈[0，+∞)，t∈[0，1]； (H2)g(t，x)关于第二个变量不减，且对任意的r∈(0，1)存在δ∈(0，1)使得 g(t，rx)≥rδg(t，x)， x∈[0，+∞)，t∈[0，1]； (H3)存在ε>0使得g(t，x)≥εf(t，x，0)，t∈[0，1]，x∈[0，+∞)． 则BVP(1)有唯一正解x*，进而，对任意的x0，y0∈P，令 (5) (6) n=1，2，…，有 (7) 证明定义算子A和B如下： y(τ(s)))ds，t∈[0，1]，x∈P， t∈[0，1]，x∈P． 根据引理1，x是BVP(1)在P中的解当且仅当x是算子方程A(x，x)+Bx=x在P中的解.由函数f(t，x，y)，g(t，x)和τ(t)的非负连续性以及引理2可知：A：P×P→P，B：P→P． 由条件(H1)和(H2)易知：A：P×P→P是混合单调算子，B：P→P是增算子，且对任意的r∈(0，1)，x，y∈P有 此即A(rx，r-1y)≥rA(x，y)，B(rx)≥rδBx. 下面证明引理3中的条件 1)及条件 2)成立.通过计算可得 进而有 于是根据引理2以及f(t，x，y)关于x，y的单调性有 A(e，e)(t)= A(e，e)(t)= 注意到f(t，0，1)≠0，故有A(e，e)∈Pe.类似可得 取ε0=βε.根据f和g的单调性以及条件(H3)和引理2，对任意的x，y∈P有 此即Bx≥ε0A(x，y)，∀x，y∈P.因此引理3中的条件 2)成立． 既然引理3的所有条件都满足，根据引理3可知A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且对任意的x0，y0∈Pe，令 xn=A(xn-1，yn-1)+B(xn-1)， yn=A(yn-1，xn-1)+B(yn-1)，n=1，2，…， 有xn→x*，yn→x*(n→+∞). 再注意到对任意的x∈P有A(x，x)+Bx∈Pe，故x*为BVP(1)的唯一正解，且做迭代列(5)及(6)，则有(7)式成立.证毕． 定理2设g(t，0)≠0，且下列条件成立： (H4)f(t，x，y)关于第二个变量不减，关于第三个变量不增，且对任意的r∈(0，1)存在δ∈(0，1)使得 f(t，rx，r-1y)≥rδf(t，x，y)， x，y∈[0，+∞)，t∈[0，1]； (H5)g(t，x)关于第二个变量不减，且对任意的r∈(0，1)有 g(t，rx)≥rg(t，x)，x∈[0，+∞)，t∈[0，1]； (H6) 存在ε′>0使得ε′g(t，x)≤λ，t∈[0，1]，x≥0. 则BVP(1)有唯一正解x*，进而，对任意的x0，y0∈P，令 有 证明定义算子C和T如下：对任意的x，y∈P， 显然x是BVP(1)在P中的解当且仅当x是算子方程C(x，x)+Tx=x在P中的解． 类似于定理1可证A：P×P→P是混合单调算子，且B：P→P是增算子，且有 C(rx，r-1y)≥rσC(x，y)， T(rx)≥rTx，r∈(0，1)，x，y∈P， 此外，根据算子C的定义可得 t∈[0，1]， 注意到g(t，0)≠0和(H6)可知λ>0，故有C(e，e)∈Pe.类似可证Te∈Pe. 最后，根据条件(H6)，对任意的x，y∈P有 此即ε′Tx≤C(x，y)，∀x，y∈P. 综上可知引理4中所有条件皆成立.根据引理4以及 C(x，x)(t)+T(x)≥Bx(t)≥ (h1(t)+h2(t))λ>0，t∈[0，1]， 可知本结论成立.证毕． 考虑如下分数阶边值问题 (8) 此外显然有f∈C([0，1]×[0，+∞)×[0，+∞)，[0，+∞))关于第二个变量不减，关于第三个变量不增； 这就证明了条件(H1)和(H2)成立． 取ε=7，于是对任意的t∈[0，1]，x∈[0，+∞)有 此即条件(H3)成立. 综上可知定理1的所有条件皆成立，这样根据定理1可知：BVP(8)有唯一正解x*，进而，对任意的x0，y0∈P，令 n=1，2，…，有
g∈C([0，1]×[0，+∞)，[0，+∞))关于第二个变量不减.又对任意的r∈(0，1)有