丁 杰，丁 丹，胡博仁
（1.航天工程大学研究生院，北京 101416；
2.航天工程大学 电子与光学工程系，北京 101416）
正交频分复用（OFDM）由于其抗干扰、高频带利用率等优点，在无线通信领域得到广泛应用。但由于OFDM技术为多载波通信技术，当多个子载波相位相近时，信号的叠加会产生较大的瞬时功率峰值，即产生较大的峰值功率与平均功率比值。高峰均比（PAPR）会对放大器的数模转换器和模数转换器的线性动态范围产生很高的要求，如果系统的线性动态范围不能满足信号的变化，就会造成信号的非线性失真，增加信号传输的误码率，严重影响通信系统的性能。因此，如何高效降低峰均比是研究OFDM通信的重要部分之一。
OFDM系统降低信号峰均比的方法主要包括限幅类技术、概率类技术、编码类技术。其中，概率类技术中最典型的是选择性映射（SLM）技术和部分传输序列（PTS）技术，基本原理为通过线性干扰降低峰值出现的概率，而PTS技术由于更好的抑制PAPR性能而得到大量研究。为了平衡抑制效果和实现复杂度，国内外大量文献提出了针对PTS技术的改进算法，如预设门限法，使用低复杂度相位因子优化PTS算法，联合削波改进，使用改进粒子群算法寻找最优加权系数等。其中最经典的降低复杂度算法为迭代翻转部分传输序列法（IPTS），该算法将原PTS指数级别的复杂度降低至乘法级别，但减小计算量带来的是抑制效果的大打折扣。文献[10]和文献[11]分别从对相位因子进行WHT优化和对输入数据进行WHT编码，这两种不同的角度提出了IPTS联合沃尔什哈达玛变换（WHT）的改进方法，与原有的IPTS算法相比抑制PAPR性能有所提升，但和原PTS算法相比仍然有不可忽略的差距。
本文在PTS技术和IPTS技术的基础上，提出了计算量介于二者之间的次优分层迭代PTS算法，并利用沃尔什哈达玛矩阵互相关为0的特性，提出WHT联合次优分层迭代PTS算法矩阵的改进方法。使得改进算法在大幅度降低计算量的前提下，仍然能拥有和原算法非常接近的性能。文中给出次优分层迭代PTS算法的算法描述，改进算法流程图和框图；
并对提出算法使用Matlab进行仿真，对其复杂度和抑制PAPR性能做出详细的分析。
OFDM系统是一个多载波相位系统，由多个相互正交的子载波叠加而成，原始的频域信号为：
式中为子载波的数量，经过逆傅里叶变换后得到时域信号：
峰均比PAPR的定义为峰值平均功率比，用公式表示为：
互补累积概率分布函数（CCDF）用于表示PAPR超过某个值的概率，即：
式中PAPR为门限值。
1.1 PTS算法抑制峰均比原理
图1 传统PTS算法原理框图
1.2 迭代PTS算法（IPTS）
由上一节可知，要得到最优的相位因子加权排列值，必须穷举出所有子块与相位因子的排列组合，这让PTS算法的计算量随着相位因子和子块数量的增加呈指数级增长。文献[9]提出了迭代PTS方法（IPTS），该方法不需要穷举所有的排列组合，只需要较少的迭代搜索就能找到一组优化系数，算法描述如下：
1）令相位因子个数为，即b(=1,2,…,)；
子块数为个，即x(=1,2,…,)；
2）改变第一个子块，即所有加权系数，得到"=b(=1,2,…,)，分别计算所有"的PAPR值，找出最小的PAPR值所对应的相位因子，并固定该系数为的加权系数；
3）按照该方法寻找下一个子块对应的最优相位因子，直到所有个子块的加权系数取值都被确定。
可以看出，上述IPTS只需要*次迭代搜索，对比传统的PTS需要W次迭代搜索，大大降低了系统的复杂度。但是，在迭代搜索过程中，IPTS算法的相位因子仅仅被计算一次，若当前的加权系数和之间的加权系数组合能够产生更小的PAPR值，IPTS算法将找不到这组更优的相位因子。通过理论分析可知，这种简化的算法会对系统降低PAPR性能产生损失。
1.3 Hadamard矩阵
Hadamard矩阵也称为矩阵，由+1，-1构成，每一行或列都是相互正交的。
二阶Hadamard方阵的构成如下：
高阶Hadamard矩阵的阶数一般都是2的幂次方，根据二阶Hadamard矩阵可以推导出高阶的Hadamard矩阵，递推关系如下：
且在Hadamard矩阵中，任意交换两行或两列，或者改变任意一行或一列中的某个元素的符号都不会破坏矩阵的正交性。
由上一部分内容可知，PTS算法可以有效地降低系统PAPR值，但庞大的计算量对信息传输的效率产生不可忽视的影响；
IPTS算法虽减小了计算量，却损失了降低PAPR的性能。本文在IPTS的基础上，提出一种改进的次优分层迭代PTS算法，其计算量介于IPTS和PTS之间，对PAPR的抑制效果尽可能贴近原PTS算法，达到对于系统性能和复杂度的折中。并将该算法与WHT联合，利用WHT互相关为0的特性，进一步提升PAPR抑制效果。
2.1 次优分层迭代PTS算法
次优分层迭代PTS算法是将个子块分为层，通过计算每一层最小的PAPR值得到一个子块的最优加权系数，再将该加权系数代入下一层进行计算。经过次计算量逐层递减的循环迭代，可以得到一组优化的相位因子。算法描述如下：
1）令相位因子个数为，即b(=1,2,…,)；
子块数为个，即x(=1,2,…,)；
2）改变所有个子块，即x(=1,2,…,)的所有加权系数，得到：
分别计算所有*个的PAPR值，找出最小的PAPR值所对应的相位因子和子块，并固定该相位因子是的加权系数，即：
3）改变除以外，所有其他-1个子块的加权系数，同时代入已经找到的最小相位因子，得到：
分别计算所有(-1)×个的PAPR值，找出最小的PAPR值所对应的相位因子和子块并固定，代入下一层循环迭代运算；
4）重复上述计算，直到第层，改变-+1个子块的加权系数，同时代入已经找到的个最优相位因子对应的子块，计算最小PAPR值，直到最后一层，也就是第层，次优分层迭代PTS算法结束，得到一组优化的加权系数。
举例说明，令=8,=4。在第一层优化中，每个子块分别对应4个相位因子，可以计算出32个PAPR值，在这32个PAPR值的集合中找出最小值，并固定其对应的相位因子和子块。假设第10个PAPR值最小，那么对应的则是子块3，相位2，即=，=。那么，在第一层优化中找出了第3个子块对应的优化系数为第2个相位。进入第二层优化，第1，2，4，…，8子块可以计算28个PAPR的值，备选信号可表示为：
找出这28个备选信号中的最小PAPR值，固定其对应的加权系数和子块。假设第20个PAPR值最小，则对应子块为6，相位是4，即=，=。那么，在第二层优化中找出了第6个子块对应的优化系数为第四个相位。如此循环迭代，直到8个子块的加权系数都找到，算法结束。
2.2 WHT联合次优分层迭代PTS算法
由本文1.3节可知，Hadamard矩阵的每一行或列都是相互正交的，具有非常优秀的互相关特性，而信号之间的相关性大小与PAPR值的大小为正比的关系，相关性越强则PAPR值越大，相关性越小则抑制PAPR性能越好。因此，减小备选信号之间的互相关性，可以更有效地抑制PAPR值。所以联合算法对相位因子进行WHT优化以降低互相关性，再进行次优分层迭代。对于联合次优分层迭代PTS和WHT的具体处理方式如图2所示。
图2 WHT联合次优分层迭代PTS算法原理框图
子载波数量为的输入信号分割成个子块，用个阶Hadamard矩阵的每行作为加权系数对个相位因子进行扰码，再用个优化后的相位因子作为加权系数进行次优分层迭代。同时将个相位因子对应的行Hadamard矩阵的行序号作为辅助信息发送给接收端，以减少信号传输所需要的辅助信息比特数，提高频带利用率。接收端根据发送的序号通过查表的方式找到对应行序号的加权系数，恢复原信号。算法的流程图如图3所示。
图3 WHT联合次优分层迭代PTS算法流程图
3.1 复杂度分析
表1 运算量对比
为了更加直观地对比四种算法计算量的大小，取=512，=4，在2，4，8时四种方法加法和乘法的次数对比，如表2所示。并使用CCRR衡量计算量降低程度，其定义为：
表2 V=2，4，8时加法和乘法次数以及CCRR对比
可以看出，在=4，=2，4，8的条件下，次优分层迭代PTS相对于传统的PTS计算量降低程度随着子块数量的增加而增加，在始终保持比传统PTS计算量更低的情况下，当=8时降低程度达到99%以上；
联合WHT次优分层迭代PTS相对于传统的PTS计算量降低程度也是随着子块数量的增加而增加，在=2时，由于相位因子需进行Hadamard矩阵优化，计算量相对于传统PTS较高，但当=8时，计算量降低程度与IPTS和次优分层迭代PTS相差不大，也能达到99%以上。
3.2 仿真结果分析
本文在相位因子=4，b={1;-1;1;-1}，子载波数=512，调制方式为QPSK，OFDM符号数为5 000，分割方式为随机分割法，子块数量=2，4，8，16的条件下仿真了次优分层迭代PTS和联合WHT次优分层迭代PTS两种方法抑制峰均比的性能，如图4所示。可以看出，两种改进方法的PAPR都在随着的不断增大而降低。相比较之下，联合WHT的次优分层迭代法比次优分层迭代PTS法性能更优，例如在=4，CCDF在10处，次优分层迭代PTS法的PAPR值为7 dB，联合WHT次优分层迭代法的PAPR值为6.5 dB，性能提升0.5 dB。而原信号在CCDF为10时，PAPR=10 dB，联合WHT次优分层迭代法和次优分层迭代PTS法PAPR抑制性能分别提升了3.5 dB和3 dB。
图4 本文两种算法抑制PAPR性能对比
图5给出在同样条件下进行PTS，IPTS，次优分层迭代PTS和联合WHT次优分层迭代PTS抑制PAPR性能的对比。可以看出，除了在=2时，由于联合WHT次优分层迭代PTS法是四种方法计算量最大，故性能最优，和PTS算法相比有0.2 dB的提升。在其他三种情况下，本文提出的联合WHT次优分层迭代PTS法和PTS算法相比，性能损失在0.3 dB左右，和IPTS算法相比性能提升2 dB左右。
图5 V=2，4，8，16时四种算法抑制PAPR性能对比
为了可以更加直观地对比四种算法抑制PAPR性能，根据仿真结果统计出PAPR大于6 dB时，=2，4，8，16的情况下四种算法的CCDF值，如表3所示。
表3 PAPR大于6 dB时四种算法CCDF值对比
从表3可以清晰看出，四种算法在分割子块数的提升下，抑制PAPR性能都有明显增加。IPTS算法虽计算量最低，但在=16，PAPR大于6 dB的信号仍然有76.6%，而WHT联合次优分层迭代算法将这一比例降低至0.2%。尽管与PTS算法相比仍有些许差距，但相较于IPTS算法，抑制PAPR性能有明显提升。
本文在IPTS和Hadamard矩阵的基础上，提出了联合WHT次优分层迭代PTS算法，并在Matlab中对PTS算法、IPTS算法、次优分层迭代PTS算法以及联合WHT次优分层迭代PTS算法在子块数量不同的情况下，对其PAPR抑制性能进行仿真。实验结果表明，和原PTS算法相比，本文提出的算法计算量有显著下降，性能虽然略有损失但与PTS算法十分贴近。和降低计算量的程度相比，损失的性能在可接受范围内，适用于对峰均比的限制并不十分严格，以及要求计算量较小的环境中。本文算法对于OFDM通信中抑制峰均比领域具有重要参考价值。
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