必刷题《期末专项训练 （二）勾股定理 》刷专项 点 考点 1. 与勾股定理的有关计算 1.[2019 广东东莞期末]若一个直角三角形的两边长为 12，13，则第三边长为（
）A.5 B.17 C.5 或 17 D.5 或 313
2.[2020 黑龙江佳木斯期末]如图，矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧，交数轴的正半轴于 M，则点 M表示的数为（
）
A.2 B. 5 -1 C. 10 1
D. 5
3.[2020 广西南宁期末，中]如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知 S 1 +S 2 =12，且 AC+BC=10，则 AB 的长为（
）
A.2 13
B.2 19
C.2 31
D.2 37
4.[2019 安徽亳州涡阳期末]如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F，若 AB=6，BC=4 6 ，则CF 的长为_______.
5.[2019 四川成都模拟，中]如图，在△ABC 中，已知 AB=AC=4，BC=6，P 是BC 边上的一动点（P 不与点 B，C 重合），连接 AP，∠B=∠APE，边 PE 与 AC交于点 D，当△APD 为等腰三角形时，PB 的长为_______.
6.[2020 河北唐山期末，中]如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”. （1）如图，在△ABC 中，AB=AC=2 5 ，BC=4，求证：△ABC 是“美丽三角形”； （2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4 3 ，若△ABC 是“美丽三角形”，求 BC的长.
点 考点 2. 勾股定理的逆定理 7.[2020 江西赣州大余期末]下列各组数中，不能构成直角三角形的是（
）
A.9，12，15 B.12，18，22 C.8，15，17 D.5，12，13
8.[2020 江苏丹阳月考，中]如图，在△ABC 中，AC=3，AB=4， BC=5，P 为 BC上一动点，PG⊥ AC 于点 G，PH⊥AB 于点 H，M 是 GH 的中点，P 在运动过程中 PM 的最小值为（
）
A.2.4 B.1.4 C.1.3 D.1.2 9.[2019 北京门头沟区期末，中]如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别是BC，AC 上的点，且 DE=3，AD=4，AE=5.若∠BAD=73°，∠C=35°，求∠AED的度数.
点 考点 3. 利用勾股定理解决实际问题 10．[2020 安徽准北月考]某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是 2.0 米，高分别为 2.8 米，3.1 米，3.4 米， 3.7 米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（
）
（参考数据：
2 1.41， 3 1.73， 5 2.24）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.[2020 湖北黄冈黄州区校级模拟，中]如图，小明（视为一点）站在一个高为10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90°到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN 是（
）
A.2 米 B.2.2 米 C.2.5 米 D.2.7 米 12.[2020 浙江温州一模，中]如图为折叠书架侧面示意图，AB 为面板架，CD 为支撑架，EF 为锁定杆，F 可在 CD 上可移动.已知 BC=CE=8cm.如图（1），将面板 AB 竖直固定时（AB⊥BD），点 F 恰为 CD 的中点.如图（2），当 CF=17cm 时，EF⊥AB，则支撑架 CD 的长度为____cm.
13.[2020 山西吕梁期末]我市某中学有一块四边形的空地 ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA= 4m，CD=13m，BC=12m. （1）求出空地 ABCD 的面积. （2）若每种植 1m 2 草皮需要 200 元，问总共需投入多少元？
14.[2020 浙江湖州吴兴区期末，中]如图，一轮船以 40km/h 的速度由西向东航行，在途中点 C 处接到台风警报，台风中心点 B 正以 20km/h 的速度由南向北移动.已知距台风中心 200km 的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得 BC=500km，BA=300km.（假定轮船不改变航向）. （1）经过 11h，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？ （2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
15.[中]（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理. （2）应用：如图（2），已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，分别以 AC，BC 为直径作半圆，半圆的面积分别记为 S 1 ，S 2 ，则 S 1 +S 2 =____（请直接写出结果）. （3）拓展：如图（3），MN 表示一条铁路，A，B 是两个城市，它们到铁路所在直线 MN 的垂直距离分别为 AC=40 千米，BD=60 千米，且 CD=80 千米.现要在CD 之间建一个中转站 O，求 O 应建在离 C 点多少千米处，才能使它到 A，B 两个城市的距离相等.
参考答案 1. 答案：D 解析：当 12，13 为两条直角边长时，第三边长为2 212 13 = 313 ；当 13，12分别是斜边长和一条直角边长时，第三边长为2 213 12 =5.故选 D. 2. 答案：C 解析：由题意得 AC=2 2AB BC
=2 2= 10 AD DC
， 故 AM= 10 ，BM=AM-AB= 10 -3. 又∵点 B 表示的数为 2，∴点 M 表示的数为 10 -3+2= 10 -1.故选 C. 3. 答案：A 解析：由勾股定理，得 AC 2 +BC 2 =AB 2 . ∵S 1 +S 2 =12，∴212 2AC +212 2BC +12AC BC 212 2AB =12， ∴AC·BC=24， ∴AB= 2222 2 13 AC BC AC AC BC BC .故选 A. 4. 答案：2 解析：连接 EF. ∵E 是 AD 的中点，∴AE=ED. ∵△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG， ∴ED=EG. ∵在矩形 ABCD 中，∴∠A=∠D=90°. ∴∠EGB=90°， ∴∠EGF=90°. ∵ED=EG，EF=EF. ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF=FG. 设 DF=FG=x，则 BF=6+x，CF=6-x. 在 Rt△BCF 中，有 BC 2 +CF 2 =BF 2 ，即（4 6 ）
2 +（6-x）
2 =（6+x）
2 ，解得 x=4，∴CF=2. 5.答案：2 或103
解析：①当 AP=PD 时，△ABP≌△PCD，则 PC=AB=4，故 PB=2. ②当 AD=PD 时，∴∠PAD=∠APD. ∵∠B=∠APD=∠C，∴∠PAD=∠C， ∴PA=PC. 如图，过 P 作 PH⊥AC 于 H，过 A 作 AG⊥BC 于 G，
∴CG=3，∴AG=2 2 2 24 3 7 AC CG ， ∴CH=2. 设 PC=x， ∴S △ APC =12AG·PC=12AC·PH， ∴ 7 x=4PH，∴PH=74x . ∵PC 2 =PH 2 +CH 2 ，∴x 2 =274x +4， 解得 x=83（负值舍去），∴PC=83，∴ PB= 103. ③当 AD=AP 时，点 P 与点 B 重合，不合题意. 综上所述，PB 的长为 2 或 103. 6.答案：见解析 解析：（1）证明：如图（1），过点 A 作 AD⊥BC 于 D. ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=12BC=2， 由勾股定理得，AD=2 2AB BD
=4， ∴AD=BC，即△ABC 是“美丽三角形”.
图（1）
图（2）
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知不存在 AB 边上的中线等于 AB 这种可能.如图（2），有以下两种可能：①当 AC 边上的中线 BD 等于 AC时，BC= 2222= 4 3 - 2 3 BD CD =6； ②当 BC 边上的中线 AE 等于 BC 时， AC 2 =AE 2 -CE 2 ，即 BC 2 2214 32BC ，解得 BC=8. 综上所述，BC 的长是 6 或 8. 7.答案：B 解析：A 选项，9 2 +12 2 =15 2 ，能构成直角三角形；B 选项，12 2 +18 2 ≠22 2 ，不能构成直角三角形；C 选项，8 2 +15 2 =17 2 ，能构成直角三角形；D 选项，5 2 +12 2 =13²，能构成直角三角形.故选 B. 8.答案：D 解析：∵AC=3，AB=4，BC=5， ∴AC 2 +AB 2 =3 2 +4 2 =25，BC 2 =5 2 =25， ∴AC 2 +AB 2 =BC 2 . ∴∠A=90°. ∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°， ∴四边形 AGPH 是矩形. 如图，连接 AP，则 GH=AP=2PM. ∵当 AP⊥BC 时，AP 最短，此时12×3×4=12×5AP，即 AP=125. ∴PM 的最小值为 1.2.故选 D.
9.答案：见解析 解析：∵AB=AC，∠C=35°，∴∠B=∠C=35°. ∵DE=3，AD=4，AE=5， ∴DE 2 +AD 2 =3 2 +4 2 =25，AE 2 =5 2 =25， ∴DE 2 +AD 2 =AE²，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°. 又∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∠BAD=73°， ∴∠ADB=180°-73°-35°=72°. 又∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°， ∴∠EDC=180°-72°-90°=18°. ∴∠AED=∠EDC+∠C=18°+35°=53°. 10.答案：B 解析：∵车宽 2 米，∴可通过比较距厂门中线 1 米处的高度与车高来判断卡车能否通过. 如图，在 Rt△OCD 中，由勾股定理可得 CD=2 2 2 22 1 3 OC OD ≈1.73（米）， ∴CH=CD+DH≈1.73+l.6=3.33（米），∴能通过该工厂厂门的车辆数是 2.故选 B.
11.答案：A 解析：作 AE⊥OM 于 E，BF⊥OM 于 F，如图所示，则∠OEA=∠BFO=90°. 由题意得∠AOB=90°，∴∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°， ∴∠AOE=∠OBF. 在△AOE 和△OBF 中，OEA BFOAOE OBFOA OB ， ∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE=BF，AE=OF. ∴OE+OF=BF+AE=CD=17 米. ∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7（米）， OE+OF=2EO+EF=17 米，∴2OE=17-7=10（米）， ∴BF=OE=5 米，OF=12 米， ∴CM=CD-DM=CD-BF=17-5=12（米），OM=OF+FM=12+3=15（米）， 由勾股定理得 ON=OA=2 2 2 212 5 AE OE =13（米），
∴MN=OM-ON=15-13=2（米）.故选 A.
12.答案：
2 97
解析：如题图（2），∵EF⊥AB，CF=17cm，BC=CE=8cm， ∴EF=2 2CF CE =15cm.如图，过 F 作 FG⊥AB 于 G. ∵AB⊥BD. ∴FG∥BD. ∵点 F 恰为 CD 的中点. ∴CG=12BC=4cm. ∴EG=8+4=12（cm）. ∵EF=15cm，∴FG=2 2EF EG =9cm， ∴BD=2FG=18cm， ∴CD=2 2CB BD = 2 97 cm.故答案为 2 97 .
13.答案：见解析 解析：（1）如图，连接 BD.在 Rt△ABD 中，BD 2 =AB²+AD 2 =3 2 +4 2 =5 2 . 在△CBD 中，BD 2 +BC 2 =5 2 +12 2 =13 2= CD 2 ， 所以∠DBC=90°， 则 S 四边形 ABCD =S △ ABD +S △ DBC =3×4÷2+5×12÷2=36（m）
2 .
（2）总共需投入 36×200=7200（元）. 14.答案：见解析
解析：（1）∵CB=500km，AB=300km， ∴AC=2 2CB AB
=400km. 经过 11h，轮船与台风中心点 B 的距离为 2 2400 11 40 300 11 20 （ ）
（ ）
= 40 5 （km）. ∵ 40 5 <200， ∴此时，轮船受到台风影响. （2）设轮船航行时间为 th.由题意得（400-40t）
2 +（300-20t）
2 =200 2 ， 解得 t 1 =7，t 2 =15， 所以轮船受到台风影响时间为 15-7=8（h）， 答：轮船一共受到台风影响 8h. 15.答案：见解析 解析：（1）证明：由面积相等可得12（a+b）（a+b）=2× 12ab+12c 2 ， ∴（a+b）（a+b）=2ab+c 2 . ∴a 2 +2ab+b 2 =2ab+c²， ∴a 2 +b 2 =c 2 . （2）92
∵S 1 =18 AC 2 ，S 2 =18 BC 2 ， ∴S 1 +S 218 (AC 2
+BC 2 )= 18 AB 2 =92 . （3）设 CO=x 千米，则 OD=（80-x）千米. ∵O 到 A，B 两个城市的距离相等， ∴AO=BO，即 AO 2 =BO 2 ， 由勾股定理，得 40 2 +x 2 =60 2 +（80-x）
2 ， 解得 x=52.5. 即 O 应建在离 C 点 52.5 千米处.