国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案形考任务4 常微分方程学习活动4 第二章基本定理的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题 1. 方程的任一非零解不能与x轴相交． 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条件． 3. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在区间必是(-∞,+∞) ． 4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间． 5．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面． 6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　XOY平面． 7．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面． 8．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是---，（或不含x 轴的上半平面）． 9．方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面． 10．一个不可延展解的存在在区间一定开区间．二、计算题 1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？（1）
（2）
1．解（1) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一. （2) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一. 2．讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过的一切解． 2.解因为方程在整个平面上连续, 除轴外, 在整个平面上有界, 所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条件. 而后分离变量并积分可求出方程的通解为其中另外容易验证是方程的特解. 因此通过的解有无穷多个, 分别是: 3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．（1）
（2）
3．解（1) 因为在半平面上连续, 当时无界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程无奇解. （2) 因为在的区域上连续, 当时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是显然是方程的解, 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解由此可见对于轴上点存在通过该点的两个解: 及故是奇解. 三、证明题 1．试证明：对于任意的及满足条件的，方程的解在上存在． 2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义． 3．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为． 4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为． 5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有 <成立． 6．设是方程的非零解，其中在上连续．求证：当时，必有． 7．设在上连续可微，求证：对任意的，，方程满足初值条件的解必在上存在． 8．证明：一阶微分方程的任一解的存在区间必是． 1．证明首先和是方程在的解. 易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件. 现在考虑过初值 ()的解, 根据唯一性, 该解不能穿过直线和. 因此只有可能向左右两侧延展, 从而该初值解应在上存在. 2．证明不妨设过点分别作直线和 . 设过点的初值解为. 因为, 故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下, 之上. 下证曲线不能与直线相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾证明曲线不能与直线相交. 同理可证, 当时, 它也不能与相交. 故当时解曲线位于直线, 之间. 同理可证, 当时, 解曲线也位于直线, 之间. 由延展定理, 的存在区间为。

3．证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；
另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为． 4．证明由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解．对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；
另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为． 5．证明仅证方向，（反之亦然）．假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）．令=-，那么 =-< 0， =-> 0 由连续函数介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 这与解惟一矛盾 6．证明由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件．设是方程的一个非零解，假如它满足，，由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾． 7．证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．又是该方程的两个常数解．现取，，记过点的解为．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是． 8．证明方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解．对平面上任取的若则对应的是常数解其存在区间显然是若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．四、应用题 1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为1． 2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数． 1．解首先, 由解析几何知识可知, 满足的直线都是所求曲线. 设 (x, y) 为所求曲线上的点，(X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为 . 显然有此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 . 解出y, 得到克莱洛方程 , 通解为所以 , 即为所求曲线方程. 2．解设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为 . 显然有此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 , 即. 解出得故曲线的方程为消去即的曲线方程为 .