代重阳,陈智军,王春涛,徐 君,钟雪燕
(1.南京航空航天大学 自动化学院,南京 211106;
2.中国空气动力研究与发展中心 结冰与防除冰重点实验室,绵阳 621000;
3.南京铁道职业技术学院,南京 210031)
飞机结冰会对飞机的气动特性、操稳特性和起降特性产生严重影响[1],因此结冰探测对于保障飞机安全飞行极为重要[2]。超声导波凭借其可异面检测、探测距离远和装置体积小等优势,成为飞机结冰无损检测技术中的佼佼者。目前采用超声导波进行结冰探测的研究主要针对的仍然是铝板结构[3-5],而“一代材料,一代飞机”,飞机机体材料已经从以铝合金为主跨入了以复合材料为主的新阶段[6],飞机结构复合材料化是世界航空装备发展的趋势[7]。碳纤维增强复合材料(CFRP)具有比强度与比模量高、抗疲劳与耐腐蚀性能好和可设计性强等优点,在航空领域得到广泛应用[8]。飞机机体表面传播的超声导波属于板波,根据偏振方向的不同可分为兰姆波和水平剪切波。水平剪切(SH)波不存在沿板厚方向的位移,所以在飞机结冰探测中采用SH波可以消除水和防冰液等液体造成的干扰[9]。
超声导波在波导结构中传播时具有多模态和频散的特点,文章利用数值计算技术,着重研究了SH波在覆冰CFRP板中的传播特性,为在此基础上进行的飞机结冰探测提供理论依据。采用计算速度更快的转移矩阵法建立了波导结构模型,绘制了相速度与群速度频散曲线,分析了结冰对CFRP板中SH波传播特性的影响。
CFRP板是一种典型的各向异性材料,其对载荷的响应与各向同性的铝板不同,导波传播特性也更为复杂[10]。单层CFRP板由基体中加入单向碳纤维组成(见图1,图中坐标轴x1为超声导波的传播方向,x2为水平剪切方向,x3为板厚方向,xf为碳纤维方向)。由于单向碳纤维填充排列的随机性,单层CFRP板可视作正交各向异性材料,即垂直于xf的任何方向上的材料性质几乎相同。
图1 单层CFRP板结构示意
描述单层CFRP板的性能时,常采用的工程常数有拉伸弹性模量E1、E2、E3,剪切弹性模量G12、G23、G31,纵向泊松比υ12、υ21、υ13、υ31,横向泊松比υ23、υ32,其中,E1、E2、G12、υ12和υ23是可由试验测得的5个独立量,在此基础上可以分别计算出υ21和G23,又由于正交各向异性材料具有对称性,可得E3=E2、G31=G12、υ13=υ12、υ32=υ23、υ31=υ21。
采用Einstein求和约定的应变-应力关系
εij=Sijklσkl
(1)
式中:εij与σkl分别为应变与应力矩阵:Sijkl为柔度矩阵,下标变量i、j、k、l的取值范围均为1,2,3。
结合工程常数可以得到
(2)
式中:ε1,ε2,ε3为正应变;
ε4,ε5,ε6为剪应变;
σ1,σ2,σ3为正应力;
σ4,σ5,σ6为剪应力。
由刚度矩阵与柔度矩阵的关系,可知单层CFRP板的材料刚度矩阵C为
C=S-1=
(3)
式(3)所示的形式仅为碳纤维方向xf与坐标系x1方向重合时的情况。但在实际应用中,总是将多个单层CFRP板通过有规律的铺层形成层合板结构[11],此时材料刚度矩阵将不满足式(3)所示0°铺层情况下的形式。在应力和应变分析中加入偏轴角度θ,可以推导出由0°铺层到θ铺层的材料刚度矩阵变换方法,即
Copqr=βmiβnjβokβplCijkl(o,p,q,r,i,j,k,l=1,2,3)
(4)
式中:Copqr为θ铺层的材料刚度矩阵;
Cijkl为0°铺层的材料刚度矩阵;
β为转换矩阵。
(5)
CFRP板引入的材料各向异性问题大大增加了波导建模的复杂度,文章将材料的各向异性体现在刚度矩阵中,并提出了由CFRP板的独立工程常数获取材料刚度矩阵(任意角度铺层)的方法。
从整体分析的角度出发,飞机机体表面结冰后形成了“复合材料板+冰层”的双层结构波导。由第1部分可知,若对复合材料板进行逐层分析,则建立起的波导模型更加准确。因此,文章建立的波导模型基于层状结构,组成部分中既存在正交各向异性的单层CFRP板,又包含各向同性的冰层。目前,针对层状结构的建模方法主要有有限元分析法、全局矩阵法和转移矩阵法等,其中有限元分析法在传播距离较长时网格划分的数量和全局矩阵法在层数较多时特征方程组系数矩阵的阶数都极为庞大,所以文章提出采用转移矩阵法建立层状波导模型。鉴于0°和90°铺层方式的广泛应用,着重研究了SH波在该波导中的建模方法。
根据平面简谐波的假设有
ui=Aieik(x1+αx3-cpt)
(6)
式中:ui为位移矢量的分量;
Ai为振幅;
k为波数;
x1和x3为对应方向上的位置;
α为x3方向上的衰减系数;
cp为相速度;
t为时间。
由牛顿第二定律和应力-应变、应变-位移的关系可推导出每一层结构中的波动方程
(7)
式中:ρ为该层材料的密度。
将位移分量代入波动方程,可得到Christoffel方程
KA=0
(8)
式中:矩阵A为[A1A2A3]T;
矩阵K为3×3的系数矩阵。
各分量的具体表达式为
(9)
结合第1部分可知,冰层与0°/90°铺层CFRP板材料刚度矩阵中的非零项都分布在相同的位置处,所以式(9)中的K12、K21、K23和K32都为0。因此,可以将式(8)分解为
(10)
(11)
式(10)和(11)表明,在由特殊角度(0°和90°)铺层的CFRP板与各向同性的冰层所组成的波导介质中,偏振方向在x1-x3平面内的兰姆波和偏振方向在x2方向上的SH波是解耦的,这种解耦现象为单独研究SH波的传播特性创造了条件。同时也揭示了兰姆波和SH波的解耦不仅会发生在各向同性的介质中,也会发生在一些特殊的各向异性材料中。
由式(11)可知,当振幅A2具有非零解时,K22的值为零。K22是关于α的二次多项式,依据部分波理论,每一层结构可得到两个SH型部分波的解。在确定了α的值后,可将每一层结构中x2方向上的位移分量大小u2描述为两个部分波的线性组合
exp(ik(x1-cpt))
(12)
式中:αm为K22等于零的条件下得到的x3方向的衰减系数;
A2m为对应的振幅;
Bm为两个部分波对应的加权系数。
式(12)中的加权系数Bm需要结合边界条件进行确定,边界条件涉及位移场和应力场,将每一层结构中x3-x2平面内的应力分量σ4表示成部分波的解
(ik)exp(ik(x1-cpt))
(13)
在建立层状结构波导模型时,需要对声场分量进行构造,以便于后续矩阵计算时的消元。在忽略公共简谐项exp[ik(x1-cpt)]的前提下,用Γ矩阵来表述声场矢量,由式(12)和式(13)可以得到
(14)
将Γ矩阵进一步分解为三部分
Γ=XWB
(15)
式中:X为2×2的矩阵,是波数k和相速度cp的函数;
W也为2×2的矩阵,是波数k、相速度cp和x3方向上位置的函数;
B为2×1的矩阵,是加权系数Bm的函数。
通过转移矩阵法建立N层CFRP板+冰层结构波导模型的方法如图2所示[n为多层板中的任意一层,N为多层板中的最后一层;
上标“+”表示上表面,“-”表示下表面;
上标“(ice)”表示冰层]。
图2 转移矩阵法建立N层CFRP板+冰层结构波导模型示意
在该N+1层结构中建立N+1个局域坐标系,则每层结构底部的x3值为0,这将使得W矩阵成为单位矩阵,从而可简化声场分量为
Γ(n)-=X(n)B(n)
(16)
同时,在每层结构的顶部,声场分量又可以表述为
Γ(n)+=X(n)(W(n)|h(n))B(n)
(17)
式中:h(n)为每层结构的厚度。
由式(16)和式(17)可知,每一层上表面的声场可由下表面的声场表示,即
Γ(n)+=Ψ(n)Γ(n)-
(18)
式中:Ψ(n)矩阵为第n层的转移矩阵。
由于相邻两层结构的连接处,界面位移和应力满足连续性条件,故可以得到
Γ(n)+=Γ(n+1)-
(19)
将式(19)代入式(18)可进一步得到
Γ(n+1)-=Ψ(n)Γ(n)-
(20)
将式(20)所示的关系应用于N+1层结构内部的N个连接处,有
Γ(ice)+=Ψ(ice)Γ(n)+=Ψ(ice)Ψ(n)…Ψ(1)Γ(1)-=
(21)
式(21)体现了转移矩阵法的优势:总转移矩阵Ψ的阶数与层数无关,始终为2×2。
在此基础上,再将N+1层结构上、下表面处,界面应力满足自由边界条件考虑进来,得到
(22)
拆分出式(22)中的一部分,有
(23)
式(23)也称作SH波传播的特征方程。由于u2(1)-有非零解,当波数k和相速度cp满足Ψ21等于零时,就能得到频散曲线。
相比于计算繁琐的全局矩阵法[12],文章所采用的转移矩阵法可通过矩阵相乘的方式消除内部的连续性条件,只保留上、下表面的边界条件,特征方程的阶数与层状结构的层数无关,显著提高了计算速度。
超声导波多模态和频散的特点可以很直观地体现在频散曲线上,因此通过建立“CFRP板+冰层”波导模型,结合绘制的频散曲线对SH波的传播特性进行分析。为了提高模型的实用价值,以IM7/977-3(被广泛应用于飞机机身蒙皮)CFRP材料为例,其ρ=1.608 g/cm3,E1=172 GPa,E2=9.8 GPa,G12=6.1 GPa,υ12=0.37,υ23=0.55[13]。
模型中的CFRP层合板为8层结构,每个单层板厚度为0.2 mm,采用一种典型的铺层方式,铺层代码为[(0/90)s]2。由两种不同铺层角度的8层CFRP板和冰层组成的层状结构如图3所示。
图3 8层CFRP板+冰层结构
飞行过程中,飞机表面形成的冰层主要有明冰、霜冰和混合冰,其力学参数如表1所示[14]。
表1 3类冰层的力学参数
3类冰层中,以明冰对飞行的危害最为严重,所以首先分析明冰对CFRP板中SH波传播特性的影响。CFRP板表面形成明冰前后对应的频散曲线如图4所示(f为频率,cg为群速度),其中表面明冰层厚度为1 mm。
图4 CFRP板表面有无冰层时SH波的频散曲线
由图4可知:① 在相同的频率和速度范围内,CFRP板表面结冰与否所对应的频散曲线数目是不同的;
② 在相速度频散曲线中,高阶SH模态导波的截止频率会受冰层的影响而显著减小;
③ 当CFRP板表面无冰时,其SH0模态导波的相速度与群速度都为常数,但结冰会改变这一现象,并且群速度的变化更为明显;
④ 结冰所引起的SH0模态导波变化主要发生在频率较高处,而在低频处仍表现为常数,不过该常数值的大小会发生微小改变。
对于冰层对CFRP板中SH波传播特性的影响,不仅可进行定性分析,也可进行定量研究。图5为CFRP板表面明冰层厚度分别为0.25,0.50,0.75 mm时的频散曲线。
图5 CFRP板表面冰层厚度不同时SH波的频散曲线
由图5可知:① 在明冰层厚度由0.25 mm开始均匀递增至0.75 mm的过程中,相同区间内频散曲线数目增加了1条;
② 以SH1模态导波为例,其相速度截止频率由464.1 kHz经424.7 kHz减小至384.7 kHz,即明冰层厚度每增加0.1 mm会引起约16 kHz的截止频率变化量;
③ SH0模态导波的相速度和群速度都会随着明冰层厚度的增加而减小,例如在频率为1.5 MHz处,3种明冰层厚度条件下的群速度相较于未结冰时分别减小了约17,55,92 m/s;
④ 在低频的50 kHz附近,SH0模态导波的速度都保持不变且相速度与群速度相等,但不同明冰层厚度对应的速度分别约为1.940,1.934,1.928 km/s。
除了冰层厚度,CFRP板表面冰层类型的差异也会引起传播特性的变化。当CFRP板表面冰层厚度都为0.25 mm时,冰层类型为明冰、霜冰和混合冰所对应的频散曲线如图6所示。
图6 CFRP板表面冰层类型不同时SH波的频散曲线
由图6可以看出,明冰与混合冰对SH波传播特性的影响较为接近,仅在SH0模态高频处以及高阶模态处具有明显差异,而霜冰的影响却与二者不同,尤其反映在高阶模态的相速度和SH0模态的群速度上,随着模态的增高,霜冰对应的相速度截止频率与明冰所对应截止频率的差距逐渐扩大;
对于SH0模态的群速度,霜冰产生的影响是一种截然不同的趋势,在0.5~1.5 MHz频率区间内,群速度剧烈减小。
这些反映在频散曲线上的差异可以指导基于SH波的结冰探测研究,合理利用这些传播特性的变化规律,能够准确地对有无冰层、冰层厚度和冰层类型进行探测。
针对以CFRP层合板为主的复合材料,提出了一种由工程常数获得任意角度铺层的单层CFRP板材料刚度矩阵的方法。将转移矩阵法应用于建立SH波在CFRP板+冰层介质中的传播模型,利用矩阵相乘的方式消除层状结构内部的连续性边界条件,使得计算时矩阵的阶数与层状结构的层数无关,显著提高了计算速度。以材料IM7/977-3、铺层方式为[(0/90)s]2的典型CFRP层合板作为示例,结合绘制的频散曲线,分析了有无结冰、冰层厚度和冰层类型对SH波传播特性的影响;
归纳了这些待测量引起频散曲线变化的规律,为基于SH波的航空复合材料结冰探测研究提供了理论基础。