某些经典不等式的积分形式及其应用 摘要 在初等数学中有许多重要的不等式,它们在数学分析中有许多积分形式的推广,本文主要介绍均值不等式、不等式、不等式、不等式、不等式和不等式,这些不等式之间也有一定的联系,利用不等式可以推导出均值不等式的推广形式,利用均值不等式可以证明不等式,不等式可以看成是不等式的推广,而在不等式的基础上我们又可以证明 不等式.本文主要总结和研究了这些经典不等式的积分形式和推广,从易到难.这些不等式在数学分析中有着广泛的运用,当我们研究积分不等式的时候，可以与生活知识结合起来. 关键词 均值不等式 不等式 不等式 不等式 不等式 不等式 Abstract There are many important inequalities in elementary mathematics，and they have many generalizations of integral forms in mathematical analysis. This paper mainly introduces mean inequality，Cauchy Schwarz inequality，Jensen inequality，Young inequality，Hölder inequality and Minkowski inequality，which are also related to each other. The generalization of mean inequality can be deduced by Jensen inequality In the form of mean inequality，we can prove Young inequality，Hölder inequality can be regarded as the generalization of Cauchy inequality， and on the basis of Hölder inequality，we can prove Minkowski inequality. This paper mainly summarizes and studies the integral forms and generalizations of these classical inequalities， from easy to difficult. These inequalities are widely used in mathematical analysis. When we study integral inequality, we can combine it with life knowledge. Key words Mean inequality Cauchy Schwarz inequality Jensen inequality Young inequality Hölder inequality Minkowski inequality 目 录 摘要 2 Abstract 2 1. 均值不等式 5 1.1均值不等式的概念 5 1.2均值不等式的积分形式 5 1.3均值不等式的应用 7 2. Cauchy—Schwarz不等式 10 2.1 Cauchy—Schwarz不等式的基本形式 11 2.2 Cauchy—Schwarz不等式的应用 13 3.Jensn不等式 16 3.1 Jensen不等式的基本形式 17 3.2 Jensen不等式的应用 18 4.Young不等式 18 4.1 Young不等式基本形式 18 4.2 Young不等式的推广 19 5.Hölder不等式 19 5.1 Hölder不等式的基本形式 19 5.1.1离散的Hölder不等式 20 5.1.2 Hölder不等式的积分形式 21 5.1.3 Hölder不等式的级数形式 22 5.2 Hölder不等式的应用——Minkowski不等式 22 参考文献 24 致谢 24 引言 积分不等式在数学分析中是十分重要的一部分，求解积分不等式并探究其应用，是数学学习与研究中的热门话题，因此，推广不等式和探索应用等问题，值得我们关注.对于一个大学生而言，证明不等式具有一定难度，尤其在应用不等式来解决问题上更是有很大的挑战性.而在一元函数积分学中会遇到许多不等式。不等式的应用在分析中有着重要的地位，当然，本文只是介绍一些简单的性质定理，更多的结论研究和推广还需要我们的不停探索，我们对不等式的不同形式和应用的研究仍然是永不停止的. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项.其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同，即对于两个正数称为的算术中项，称为的几何中项，而今我们分别称之为的算术平均数和几何平均数，并把这两者相结合的不等式(当且仅当时取“”)叫作基本不等式[1]. 1. 均值不等式 1.1均值不等式的概念 均值不等式包含的范围很广，例如高中时学习的基本不等式. 众所周知的在高中时，基本不等式是考查的重中之重，但是均值不等式的意义不仅在于学科，我们利用基本不等式的便利计算，可以解决一部分最值问题，比较大小问题和证明不等式等等. 高中时学习的是二元均值不等式，即：当时，，当且仅当时，算术平均与几何平均相等. 由二元均值不等式推导出三元均值不等式，即：，. 以此可以推断出元均值不等式，对于个不等的正数，. 1.2均值不等式的积分形式 定义 设函数，及，在上有定义，且下面所出现的积分有意义，记 则它的加权（次幂）算数平均为 若，记 它们分别称为的加权算数平均，加权（次幂）算数平均和加权几何平均，其中称为权函数. 若用取代，则，称为的标准化【2】. 注 由上述定义，明显可以看出：
1）
= （时）
2）
若α，β为常数，则 3）
， 定理：设，所证的积分有意义，则 即 ，（，包括的情况）
证 ， （因）
. 但 ， 且 ， 故 ， 时，即，证明过程里“”中的等号，当且仅当常数时成立. 证毕. 1.3均值不等式的应用 例题 现在给出这样一道题目：已知（有限数或或）.则 （1）
（2）
若，则 证明 （1）（i）当是有限数时：对任意的，由于，所以存在正整数N，使得时，有，对于以上固定的正整数N，我们知道 . 于是，对于以上的，存在正整数，使得时，有 . 于是，当时，有 = 这说明. （ii）当a时，对任意的，由可知存在，使得时，有，固定，由于 ， 所以存在，使得时，有 ， 于是当时，有 由此可得. （iii）当时，可知，从而由（ii）可知，于是. （2）方法一 由于，所以可以取自然对数 ， （i）当时，此时有.从而由（1）可知 ， 由此证得. （ii）当时，可知，从而由（1）可知 ， 从而. （iii）当时，可知，从而由（1）可知 ， 因此. 方法二 由平均值不等式有 当时，由于，所以 由（1）可知， 从而，于是由迫敛性可以得出 当时或时，只需将写成或0，同样利用（1）可得相应的结果. 注1 虽然命题中可以为和，但是却不能为，例如为以下数列 1， -1，2，-2，3，-3，...，n，-n，... 显然有. 但是我们会发现，，于是 这说明是发散的，并且不会有. 平均值定理在数学分析中很重要，它的使用很广泛，在求数列极限的时候可以减少使用语言即可求出数列的极限，接下来我们再来看这一道例题. 例题 利用平均值不等式来证明 证明 由于，我们记，那么当时，有 从而 （）
于是，那么. 2. Cauchy—Schwarz不等式 2.1 不等式的基本形式 在积分不等式中，不等式是应用最广泛的不等式之一. 不等式除了在高等数学和微积分中有具体介绍外，同样在概率论和线性代数等方面有着重要的研究，但是它的几何意义以及表现形式都不相同，其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间中的以及维欧氏空间中的4种，是一个十分重要的不等式.此不等式十分灵活，利用好了不等式，能够帮助人们解决很多数学上的难题，例如证明不等式、求方差和协方差、求解方程的值和求函数的最值问题等.那么我们先来看看它的定理及推论. 定理【3】 设和在上可积，则 证明 （i）若与有一个不为零，不妨设前者大于零，此时构造一个函数，显然，展开就有 将上述看成是关于的一元二次不等式，则有判别式，即 . （ii）若，此时根据平均值不等式有 . 综合（i）、（ii）可知定理成立. 需要注意的是，当和均为连续函数时，可以知道Schwarz不等式取等号的充要条件为和线性相关（即存在不全为零的实数使得）. 推论1 若和在上非负可积，则 . 当和均为连续函数时，不等式取等号的充要条件不全为零的非负实数、使得. 推论2 若在上可积，则 当为连续函数时，不等式仅在为常值函数时取等号. 推论3 若在上可积，且，则 当为连续函数时，不等式仅在为正常值函数时取等号. 推广1 [4] 设二元函数，在平面区域内可积，则有 证明 由于，其中是任意实数，则有 因此上述关于的一元二次方程，且，其判别式，故 由此可得 推广2 设二元函数，在平面区域内非负可积，则有 推广3 设二元函数，在平面区域内非负可积，且在平面区域上可积函数，，则有 或 2.2 不等式的应用 设为上连续可微，且，，证明 （1）；
（2）. 证明 （1）、由分部积分公式结合可知 . （2）、由（1）结合Schwarz不等式可知 . 例题：设在上可积，且，证明 （选自谢惠民《数学分析习题课讲义》）
证明：
设 由对称性可知.令，， 则，故是凸函数，当时，对有.取，，，得 ， 从而 但是这和题目所要证明的不等式相比还是不够精确，为此，我们分析，由右端的平方启发，用算数平均值—几何平均值不等式，得 . 但是当时不能充分利用的凸性来估计.观察的特点，用替代得 . 再取，，，由的凸性得 . 由此，不等式得证. 例题 设在区间上连续，且，证明：
证明 由Cauchy—Schwarz不等式可得 ， 又由基本不等式得 ， 再由条件，有，则 . 即可得. 例题 设在区间上连续可导，且.求证：
；
等号当且仅当时成立，其中是常数. 证明 分部积分得 ， 因此根据Newton-Leibniz公式，得 ， 再根据Cauchy积分不等式，得 . 由此即得 ， 等号成立当且仅当.积分并由即. 例题 已知，在上连续，，为任意实数，求证：
. 证明：
对所求的不等式左边利用Cauchy—Schwarz不等式 ， 同理可得 ， 两式相加可得 . 例题 设在上有一阶连续导数且，试证：. 证明 因为， 又，所以， 因在上可导，所以在上连续， 由不等式得：， 即. 不等式是数学分析中的一个学习重点也是难点，虽然不等式的几个公式记忆起来并不困难，但应用是灵活多变，需要我们仔细分辨使用. 3.Jensn不等式 3.1 不等式的基本形式 不等式作为数学分析常用的不等式之一，由不等式可以推导出一系列的其他不等式，它能使不等式的证明简洁快速. 定理 若函数为上的可积函数，且，又是上的连续下凸函数，则有 若是上的连续上凸函数时，. 下面给出几条凸函数的性质：
（1）若函数在区间上有定义，在区间上称为凸函数，且，，则有 . （2）若函数在区间上有定义，在区间上称为凸函数，且，则有 . （3）若函数在区间上有定义，在区间上称为凸函数，且对，，则有 . 定理 若函数在区间上是凸函数，且，则有 对于严格凸函数，那么等式成立当且仅当. 3.2 不等式的应用 例题 设函数为上连续，且，证明. 分析 在证明这个题目时，我们可以采用的方式，利用导数来判断函数的凹凸性，然后再利用凸（凹）函数的性质来完成证明．在这道题目中，我们需要先构造这个凸函数，再利用不等式其性质来证明题目所要证明的问题． 证明 取，由于 即在取时，为凸函数，故 . 则 . 例题 设函数在区间上可积，试证明有不等式. 证明 先用不等式法证明不等式：对 , 有不等式 . 设为区间的等分，由上述不等式，有 . 令, 注意到函数和在区间上的可积性以及函数 和的连续性. 就有积分不等式 . 4.Young不等式 4.1 不等式基本形式[5] 不等式在数学分析中占有重要的一席之地，由不等式可以推广处许多不同的不等式，例如Hölder不等式、不等式、不等式等等，最早的不等式由数学家W.H.Young于1912年给出：
定理 设是单调递增函数，且在上连续，，，表示的反函数，则.其中等号当且仅当时成立. 而常用的Young不等式为：对任意的，，且，有，（我们称，且，这样的为共轭实数）等号成立的充分必要条件为：. 该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情况，如下图所示，这时，，，其中表示图形的面积. 证 我们证明 ① 因为递增，连续于上，故递增，连续于上.故①式有意义. 将等分，记分点为，相应的点为，（）构成上的一个分划：. 因为在上连续，故在上一致连续.故时，对于分划来讲，有 ， 故 ， ①式获证. 由①式可知，若，则中等号成立. 若，则由的连续性知，存在，使得，于是 时，只要把看作是的反函数，就可由的结论得到. 联系，，可知定理成立. 4.2 不等式的推广 将不等式的条件做出变形，我们可以得到下列推广形式【6】: （1）
当且时，讨论不等号的变化. 结论：当，，且时，对任意的，成立，且等号成立的条件为. （2）
扩展维数.即设，，且，讨论与的大小. 结论：设，，且，. （3）
当（是不为0的实数）时，讨论不等式的变化. 结论：当，，且时，对任意的，成立，当且仅当，且等号成立的充分必要条件为，. 例题 证明当时，不等式成立. 证明 令，则单调递增且连续， 因，应用不等式可得 . 例题 设，，，试证：. 证明 设，则单调递增且连续， 因，利用不等式可得 ， 且等号当且仅当即时成立.原式获证. 5.Hölder不等式 5.1 不等式的基本形式 不等式作为不等式的一般形式，在基础数学中，对于不等式的一般形式而言，它有着十分重要的作用，在数学分析、实变函数以及泛函分析的证明中都得以体现。
常见的不等式有两种形式，一种是离散的不等式，还有一种是积分形式的不等式，下面我将介绍两种不同形式的不等式及其应用. 5.1.1离散的不等式 设，，（=1，2，...，）.为实数：，则 当（从而）时 （1）
当（从而）时 （2）
其中等号成立的条件为：当且仅当和成比例（不全为零使（）时成立）[7]. 证 （1）当时，[这时] “≤”中等号成立的条件为：当且仅当时成立. （2）当时，注意到时可以得到，故 . 现在我们可以利用刚刚证明得到的式子（1），把，，，，分别看作（1）式中的，，与，则可以得到 . 我们在不等式两边同时开次根号，能够得到 也即 且不等式中的等号成立的条件为：当且仅当与成比例时，不等号成立. 5.1.2 不等式的积分形式 定理 设，，并使得所论的积分有意义，，1为共轭实数（即）
则 （1）当（从而）时，, （2）当（从而）时. 若连续，则其中的等号当且仅当与成比例（即不全为零，使得）时成立【8】. 5.1.3 不等式的级数形式 设，，且，则有 当且仅当时等号成立【9】. 下面我们应用定义来完成一道证明题: 试证明 . 分析 从形式上看很像不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式，将它变为上的积分，再用不等式就可以得到我们需要的结果. 证明 令， 于是等式左端可以化成 . 证毕. 例题 设函数在上连续可微，且，求. 证明 在Hölder不等式中取，则 故有. 5.2 Hölder不等式的应用——不等式 不等式[2]P387-388 对于任意实数，及（）有 当时， （1）
当时， （2）
其中等号成立的条件为：当且仅当与成比例时，等号成立[即：不全为零使得，时成立]. 式子（1）又称为距离不等式，，时，式子（1）表示中三角形任一边小于另外两边之和.因此式子（1）又称三角不等式.【10】 证 时，我们记，则 . 令，，则，对上式右端用Hölder不等式，我们可以进一步得到 在式子的两边同时乘以一个后，可以得到 其中.所以（1）式得证.其中等号成立的条件为：当且仅当与成比例. 的情况完全类似可证. 不等式的积分形式[2]P388 设，，在上有定义，使下面积分有意义，则 当时， 当时， 参考文献 [1] 匡继昌.一般不等式研究在中国的新进展[J].北京联合大学学报（自然科学版），2005.3. [2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].2版.高等教育出版社，2006.4. [3] 李静. Cauchy-Schwarz不等式的四种形式的证明及应用[J]宿州学院学报.2008(06) . [4] 孙晓莉.柯西—施瓦茨不等式的推广与应用 [D] 合肥工业大学 .2013. [5] 薛建明，周旋.Young不等式及其应用[J].贵州大学学报(自然科学版)，2016(03). [6] 汪云峰，王丹丹，刘建波.关于Young不等式的几点推广[J].唐山师范学院学报，2014（02）. [7] 马琼华.Hölder不等式的简单应用[J]科技风，2018(01). [8] 高云天.积分形式和离散形式的 Hölder不等式与逆 Hölder不等式的证明[J]佳木斯大学学报(自然科学版).2016(05). [9] 黄颖瑞.关于两种形式的Hölder不等式的证明[J]，数学学习与研究(教研版)，2009(08). [10] 乔建斌.Hölder不等式的离散形式与积分形式的推广[J]河南科学.2013(02). 致 谢
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