分层练习：18.直角三角形 A组 1.下列说法中,不正确的是 ( ) A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形 B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形 2.(2018·金华模拟)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为 ( ) A.3 B.1 C.2 D.2 3.(2018·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 ( ) A.9 B.6 C.4 D.3 4.(2018·湖州模拟)如图,将圆桶中的水倒入一个直径为40cm,高为55cm的圆口容器中,圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度.若使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为 ( ) A.10cm B.20cm C.30cm D.35cm 5.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为 ( ) A.12m B.13m C.16m D.17m 第5题图 6.(2020·淮安)已知直角三角形斜边长为16,则这个直角三角形斜边上的中线长为 . 7.(2020·黔西南州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=33,则BD的长度为 . 8.(2020·绥化)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 . 9.(2018·温州模拟)分别在以下网格中画出图形. (1)在网格中画出一个腰长为10,面积为3的等腰三角形. (2)在网格中画出一个腰长为10的等腰直角三角形. 第9题图 10.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE. (2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF. 第10题图 B组 11.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 . 第11题图 第12题图 12.如图,在矩形ABCD中,点E是对角线AC上的动点,连结BE,MN是BE的垂直平分线,分别交AB、BC于点M、N,连结EM、EN.已知AB=1,BC=2.若△AEM是直角三角形,则AE的长为 . 13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,若点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动,设运动时间为t秒(t>0). (1)若点P在AC上,且满足PA=PB时,求此时t的值. (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值. 第13题图 C组 14.(2019·福建)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED,点B、C的对应点分别是E、D. (1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数. (2)如图2,若α=60°时,点F是边AC的中点,求证:四边形BFDE是平行四边形. 第14题图 参考答案 A组 1.B 2.B 3.D 4.D 5.D 6.8 7.23 8.17 9.(1)如图1所示: (2)如图2所示: 第9题图 10.(1)略. (2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF.∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°,∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBF,在△AEF和△BCF中,∠EAF=∠CBF,AF=BF,∠AFE=∠BFC=90°, ∴△AEF≌△BCF(ASA). B组 11.10 12.53或5-2 13.(1)如图1,PA=PB, 第13题图 在Rt△ACB中,AC=AB2-BC2=102-62=8.设AP=t,则PC=8-t,在Rt△PCB中,由勾股定理得:(8-t)2+62=t2,解得t=254,即此时t的值为254. (2)如图2所示:过点P作PE⊥AB,则PC=t-8,PB=14-t,易证△ACP≌△AEP(AAS),∴AE=AC=8,∴BE=2,在Rt△PEB中,由勾股定理得:PE2+EB2=PB2,即:(t-8)2+22=(14-t)2,解得:t=323,即点P在∠BAC的平分线上时,t的值为323. C组 14.(1)∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED,点E恰好在AC上,∴CA=AD,∠EAD=∠BAC=30°,∠DEC=∠ABC=90°.∵CA=AD,∴∠ACD=∠CDA=12(180°-30°)=75°,∴∠CDE=90°-75°=15°. (2)证明:连结CE,∵点F是边AC的中点,∴BF=12AC,∵∠BAC=30°,∴CB=12AC,∴BF=CB,∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,∴∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,DE=CB,CA=AD,∴DE=BF,△ACD和△BAE为等边三角形,∴BE=AB,∵点F为△ACD的边AC的中点,∴DF⊥AC,易证得△AFD≌△CBA,∴DF=BA,∴DF=BE,而BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.
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