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学 2010-2011 学年第 二 学期分 《微积分 B》 》 期末 考试试卷(A) 考试方式：
闭 卷
任课教师：
学院_____________
专业___________________
班级____________ 学号 _______________
姓名 _____________
题号
一 一 二 二 三 三 四 四 五 五 六 六 七 七 八 八 九 九 十 十 总分 得分
阅卷人
请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！
一、
题 填空题（每题 3 分，共 共 15 分）
1、旋转曲面2 2z x y 在点 1,2,5 处的法线方程为1 2 52 4 1x y z 2、设 L 为半圆2 2 2 ,0, x y r x 则 2Lx y ds 32r . 3、设 是球面2 2 2 2x y z a 被平面 0 z h h a 截出的顶部，则 zdS 2 2a a h
4、设 21, 0,1 , 0xf xx x ，则其以 2 为周期的傅里叶级数在 x 处收敛于22 5、函数2u xy z 在点 1, 1,2 P 处的方向导数的最大值等于 21
题 二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）
1、 函数 u xyz 在附加条件 1 1 1 10, 0, 0, 0 x y z ax y z a 下的极值等于 A . (A) 327a ，（B）39a ，（C）33a ，（D）3a . 2、设函数 , f x y 连续,则二次积分 1sin2,xdx f x y dy 等于 B .
(A) 10 arcsin, ,ydy f x y dx （B）
10 arcsin,ydy f x y dx （C）
1 arcsin02, ,ydy f x y dx （D）
1 arcsin02, .ydy f x y dx 3 、 设 二 元 函 数 , f x y 在 点 0,0 处 的 某 邻 域 内 有 定 义 , 且 有 2 2 00, 0,0lim 0,xyf x y fx y则下列结论不正确的是 D
（A）
, f x y 在 0,0 处连续,（B）
, f x y 在 0,0 处偏导数存在, （C）
, f x y 在 0,0 处可微，（D）
, f x y 在 0,0 处沿某方向 l 的方向导数不存在. 4、设级数211sin ,nn nn 其中 为常数,则下列结论正确的是 C
(A)当 为整数时,级数发散,（B）当 为整数时,级数绝对收敛, (C）当 为整数时,级数条件收敛,（D）当 不为整数时,级数条件收敛. 5、由抛物线2x y 及直线 1 y 所围成的均匀薄片（面密度为 ）对于直线1 : y l 的转动惯量为lI C
（A）Ddxdy x2) 1 (
(B) Ddxdy x2) 1 (
(C ) Ddxdy y2) 1 (
(D) Ddxdy y2) 1 (
三、 、（ （9 ）
分）设 2 , z f x y g x xy ,其中 f t 二阶可导, , g u v 具有连续的二阶偏导数,求 dz 及2.zx y
解：
" " "1 2" " " " "1 2 22 ,2 2 , ,2 2 , , , 2dz df x y dg x xyf x y dx dy g x xy dx g x xy ydx xdyf x y g x xy yg x xy dx xg x xy f x y dy " " "1 22" " " "12 2 222 2 , ,2 2 , , ,zf x y g x xy yg x xyxzf x y xg x xy g x xy xyg x xyx y 四、（9 分）计算二重积分 Ddxdy y x ) ( ，其中 } 2 ) , ( {2 2x y x y x D . 解：
2cos202322420( )cos sin8coscos sin316cos3Dx y dxdyd r r rdrdd 五、（ （9 分）设函数 6 ) , , ( z y x yz zx xy z y x f ，问在点 ) 0 , 4 , 3 ( P 处沿怎样的方向 l ， f 的变化率最大？并求其最大的变化率. 解：
3,4,03,4,0 1, 1, 1 3,2,6 f y z x z x y ， 所以沿方向 3,2,6 l 的变化率最大。最大的变化率为2 2 23 2 6 49 7.
六、（ （9 分）求幂级数01nnxn的收敛域及和函数,并求级数01 112 nnn的和. 解：1112lim lim lim 1121nn n nna nna nn ，所以收敛半径为 1 R 。
当 1 x 时， 011nnn收敛；当 1 x 时，011nn发散，所以收敛域为 1,1 .
设和函数 0, 1,11nnxs x xn ，则 10, 1,11nnxxs x xn ，逐项求导得 "01, 1,11nnxs x x xx ， 所以 01ln 1 , 1,1 .1xxs x dx x xx 由于 ln 1 x 在 1 x 处连续，所以 ln 1 , 1,1 . xs x x x
又显然 0 1 s ，所以 ln 1, 1,0 0,1 ,1, 0xxs xxx 01 1 12ln2.12 2nnsn 七 、 （ 9 分 ）
已 知 点 0,0 O 及 点 1,1 A , 且 曲 线 积 分 2 2cos sin cos sinOAI ax y y x dx by x x y dy 与路径无关,试确定常数 , a b ,并求 . I
解：由于积分与路径无关，所以 2 2cos sin cos sin by x x y ax y y xx y ，即sin 2 sin sin 2 sin by x x y ax y y x ，亦即 2 sin 2 sin b y x a x y ，由于sin y x 与 sin x y 线性无关，所以 2. a b
2 22 22 2 2 22 21,12 20,0cos sin cos sin2 cos sin 2 cos sincos cos cos coscos coscos cos2cos1.OAOAOAOAI ax y y x dx by x x y dyx y y x dx y x x y dyyd x x d y y d x xd yd x y y xx y y x 八 、（ （ 9 分 ）
计 算 曲 面 积 分 2 , x z dydz zdxdy 其 中 为 有 向 曲 面 2 20 1 z x y z ,其法向量与 z 轴正向夹角为锐角. 解：设1 为圆盘 2 2, ,1 1 x y x y ，取下侧。
与1 围成的区域记为 ， 由高斯公式， 11010233332zDx z dydz zdxdydxdydzdz dxdyzdz 所以 123223232.2Dx z dydz zdxdyx z dydz zdxdydxdy 其中 2 2, ,0 1 . D x y x y
九、（ （9 分）求锥面2 2z x y 被平面 2 3 x z 所截下的有限部分的面积. 解：锥面与平面的交线为2 2 ,2 3z x yx z 它在 xOy 面上的投影为 2211,4 30.x yz 设 221, ,0 14 3x yD x y ，则 2 22 2 2 2122 6 .DDx yS dxdyx y x ydxdy 十、（ （7 分）设 f x 为 0,1 上的正值连续函数，证明：
12Df x dxdyf y ,其中 , 0 1,0 1 . D x y x y
证明：
1 10 01 10 01 10 010101111122.Df x dxdyf ydx f x dyf yf x dx dyf yf x dx dxf xf x dxf xdx