思考题：
设随机变量X与Y相互独立，且有相同的概率分布，记，，其中为常数，求U与V相关系数。
假设发生在特定期间内的事件的个数是以为参数的泊松随机变量.如果每一事件相互独立地被归类，它被归入第类的概率为.试证发生第类事件的个数是以为参数的独立泊松随机变量，.
给出一个用蒲丰投针问题估计值的算法.令人惊奇的是，这曾一度是计算值的通用方法.
当时，解蒲丰投针问题.
答案：其中满足.
设和是独立的连续型随机变量，试用和的密度函数表示的密度函数.对和都是指数随机变量的特殊情形，计算上述表示式.
用分析方法（归纳法）证明，当是独立同分布的几何随机变量时，具有负二项分布.并且给出不需要任何计算的另一种证法.
7．（a）是参数为的伽玛分布，求的分布是什么？
（b）证明
是参数为的伽玛分布，是整数，是自由度为的卡方随机变量.
8．的独立的连续型随机变量，失效率为，
对定义的求的分布函数
证明的危险率函数为
9． 是独立的指数随机变量，有共同的参数，计算
的分布.
10． 电池的寿命是独立的指数随机变量，参数为.一个手电筒需要两节电池才能工作.如果一个人有一个手电筒，节电池，那么电池工作时间的分布是什么？
11．是独立的连续随机变量，有共同的分布函数和密度函数，记
（a）证明，不依赖于
提示：把作为5维的积分，然后改变变量
（b）计算
（c）给出（b）的直观的解释.
12．证明联合连续（离散）的随机变量是独立的充要条件是它们的联合概率密度函数可以写成
其中 是非负函数.
13．在例5c中，我们计算了次试验中，有次成功的条件密度.如果对指定次成功的试验，条件密度会改变吗？
14．是独立的几何随机变量，有共同的参数
不进行任何计算的前提下，考虑下式的值
提示：假如连续掷一硬币，出现正面的概率为，如果第二次正面在第次出现.求出现第一次正面出现时抛的次数的概率质量函数.
证明在（a）中的推测
15．是独立的参数为，的二项随机变量，证明在的条件下，的条件分布是超几何分布.同样，不进行任何计算的情况下给出第二个讨论.
提示：假定抛枚硬币.表示前次中正面出现的次数，表示接下来次中正面出现的次数.假定出现次正面，在前次出现正面的次数与在个白球，个黑球中抽取个球出现白球数的分布相同.
16．考虑一个试验可能出现3种结果中的一种，结果出现的概率为，假定进行次重复的试验，表示出现的次数.求在给定的条件下，的条件质量函数.
17．是独立同分布的连续随机变量，计算
18．表示均匀分布上的随机变量，在下面给定的条件下，计算的条件分布.
（a） （b）
其中
19.在特定的一天里，空气湿度是参数为的伽玛随机变量.密度函数.假定在给定条件下，在那天的事件数----称为，服从均值为的泊松分布.证明在给定的条件下是参数为 的伽玛分布.
20．是参数为的伽玛随机变量，假定在条件下，是参数为的独立指数随机变量.证明在给定条件下，是参数为的伽玛随机变量.
21．一个矩阵有个数，行列.如果一个数是行中的最小值，列中的最大值，那么这点被称为是鞍点.比如，如下排列
则第一行，第一列中的1就是鞍点.鞍点的存在性在游戏的理论中是非常重要的.考虑一个如前所示的矩阵，假设有两个人----A和B进行如下的游戏：A从中选择一个数，B从中选择一个数.这些选择同时进行，如果A选择了，B选择了，那么A胜B的次数由第行，第列决定.现在假定这个矩阵有鞍点----第行，第列的数----记为. 如果A选择了第行，那么可以保证他胜的次数最小为（因为是第行的最小值），另一方面，如果B选择了第列，那么他赢的次数不会超过（是第列的最大值）.因此A有了一种方法，可以保证他有至少赢次，B也有了一种方法保证他最多输次，因此这两个战略是最佳的，A玩游戏的次数为，理由是充分的的.
如果个数所组成的矩阵是从任意一个连续型分布里独立的取值，那么结果中包含一个鞍点的概率是多少？
22．称随机变量有二维正态分布，如果它们的联合密度函数为
（a）试证明已知条件下，的条件密度函数是以
和
为参数的正态密度函数.
（b）试证都是随机变量，其参数分别为
（c）证明当时，独立.
23．设为分布函数.证明当为正整数时，
（a），（b）也是分布函数
提示：令为独立的随机变量，有相同的分布函数，用定义随机变量，使得
24．设个人随机地分布在一条长为英里的路上，证明当时，没有两个人彼此相距小于英里的概率等于，如果呢？
25．通过微分（6.4）来证明（6.2）式.
26．设一个容量的样本取自上的均匀分布，证明其中位数有以为参数的贝塔分布.
27．证明（6.6）式给出了的联合密度.
28．从密度函数为的连续型随机变量中取出容量等于的样本，计算此样本的极差的密度.
29.是均匀分布上个独立的次序值，证明对，有
其中
30．是一组独立同分布的连续随机变量，分布函数为，令表示次序值.如果与独立，且有相同的分布函数，计算
（a）； （b）；
（c）
31．是是一组独立同分布的连续随机变量，分布函数为,密度函数为.定义为最大值与最小值的均值，称为中位数.证明其分布函数为
32．是均匀分布上一组独立的随机变量.令表示极差，表示中位数.计算的联合密度函数.
33．如果和是独立的标准正态随机变量.计算
的联合密度函数.
然后运用你的结果说明服从柯西分布.
自我检测题
掷一枚不均匀的骰子，出现奇数1，3，5的概率为，出现偶数2，4，6的概率为2，
求
投这只骰子，如果结果是偶数，记等于1，否则，等于0；如果投得的数字大与3，记等于1，否则为0.求和的联合质量函数.
现在假定独立地抛掷12次.
求骰子的每一面恰好出现2次的概率.
求其中4次为1或者2；另外两个4次分别为3，4；5，6的概率.
求投掷中至少有8次出现偶数的概率.
随机变量的联合概率质量函数为
求 （a）
（b）
3．和的联合密度函数为
求
求的密度函数
求的密度函数
求
求
4．假设是独立随机变量，每个随机变量等可能为1，或者2.求下面的概率质量函数.
（a）
（b）
（c）
5．和是连续随机变量联合密度函数为
其中是常数.
求的值.
与独立吗？
求
6．和的联合密度函数为
（a）与独立吗？
（b）求的密度函数
（c）求的密度函数
（d）求联合分布函数
（e）求
（f）求
7．考虑2种组合和3种股票.股票1可以引起组合1的下跌，股票2可以引起组合2的下跌，股票3可以引起两种组合同时下跌.在股票上市之前时，股票1，2，3是独立的指数随机变量，参数分别为.令表示组合下跌的次数，=1，2. 随机变量有联合的二元指数分布. 求.
8．一个分类广告的登记薄有页组成，其中很大.假设每页的广告数都在变化，想知道每一页有多少广告的唯一的方法就是去数它们.另外，假定页数非常多，也没有办法数清楚总数，你的目的就是用一种方法，保证广告登记薄中的每一个广告都被被等可能地选择.
（a）如果你在其中随机地选择一页，然后选择一个广告，能够实现你的目的吗？为什么？
令表示第页的广告数，假定数量是未知的，我们假定这些数都小于等于某个固定的值.考虑选择一个广告的算法.
步骤1：随机地选择一页，假设是第页. 数第页来确定.
步骤2：以概率来接受第页，如果接受了第页，则进行第三步，否则，返回步骤1.
步骤3：在第页随机地选择一个广告
这种算法每通过一次步骤1称为一次迭代. 例如，随机选择一页如果第一次被拒绝，第二次被接受，用这种算法获得一个广告需要两次迭代.
（b）在单次迭代的情况下，接受第页的一个广告的概率有多大？
（c）在单次迭代的情况下，接受一个广告的概率有多大？
（d）在次迭代的情况下，在最后一步接受第页上第个广告的概率有多大？
（e）用上面的算法，获得第页上第个广告的概率有多大？
（f）上述算法中，迭代次数的期望值是多少？
9．自测题8中算法的“随机”部分，根据独立上的随机变量序列产生一列值作为随机数. 表示小于等于的最大整数，步骤1如下：
步骤1 产生一个服从的随机变量. 令，确定的值.
(a) 解释为什么上面的步骤等价于自测题8中的步骤1.
提示：的概率质量函数是什么？
(b) 以相同的风格写出上述算法的其他步骤.
10.令是服从的一列随机变量. 对固定的常数，定义随机变量为
那么与独立吗？也就是说，当这个随机变量出现时，第一个随机变量的值大于对概率分布函数有影响吗？对你的结果给出直观的解释.
11．下面掷镖的圆靶是正方形，边长为6. 其中里面有3个以靶的中心为圆心圆，半径分别为1，2，3. 投在半径为1的投掷区域里得30分，投在半径为1的区域之外，半径为2的区域之内得20分，在半径为2的区域之外，半径为3的区域之内，得10分. 投在半径为3的区域之外不得分. 假设每次投掷与上次是独立的，投掷的点在正方形里均匀分布，求下列结果
一次投掷得20分的概率
一次投掷至少得20分的概率
一次投掷得0分的概率
一次投掷得分的数学期望
连续两次投掷都至少得10分的概率
两次投掷后得30分的概率
12．对NBA篮球赛提出的一个模型：假设当两队得分相同的情况下，在四分之一场主场队所得分数减去客场队所得的分数近似为均值为1.5，方差为6的正态随即变量. 另外，此模型假定这四个四分之一比赛中所得的分数差是独立的.在这个模型的假定下,求
主场队获胜的概率是多少？
在给定主场对在前半场落后5分的条件下，主场队获胜的条件概率是多少？
在给定主场对在第一个四分之一场末领先5分的条件下，主场队获胜的条件概率是多少？
13．令为参数为的几何随机变量. 假定在给定的条件下, 的条件分布是参数为的枷玛随机变量.求在给定的条件下, 的概率质量函数.
14．和是上独立的均匀随机变量.
求的联合密度
使用（a）得到的结果计算的密度函数
15．你和其他3个人对一项工程投标，有很高的投标利润. 如果你赢了，你计划立即以1万美圆出售. 如果你相信其他人的投标价是独立的，且服从（7，11）上的均匀分布，那么你得到的最大期望利润是多少？
16．是的一个排列，当独立时，计算
每一个等可能地是中任一个
每一个有概率质量函数
17. 与是独立的随机向量，每个向量中随机的有个1，个0. 也就是，它们的联合质量函数为
令
表示两个向量有不同的值的个数. 令表示满足的的个数.
(a) 解释与
(b) 的分布是什么？
(c) 求
(d) 求
*18. 令是独立的标准正态随机变量，令
（a）在给定条件下, 的条件分布
（b）证明对，在给定条件下, 的条件分布是正态的，且均值为，方差为.
19．设随机变量X的密度函数为，求。
20．设的概率密度为：。
求：（1）关于X，Y的边缘概率密度
（2） （3）； （4）。
21．已知随机变量的密度函数为，
求（1）的概率密度； （2）的数学期望和方差。
22．设随机变量的联合概率密度为，
求。
23．设的联合概率密度为：，
求：，的协方差。
24．设随机变量是随机变量的线性函数，且，求 和。
25．设随机变量和的联合概率分布为
X Y -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 求和的相关系数。
蚅肂
5