基于APOS理论的数学概念 教学设计案例研究 摘要 概念明确是确定数学教学效果的首要因素.数学概念高度的抽象性给学生理解数学概念的本质带来困难.初中数学教学中，许多教师对学生数学概念的认知教学投入较少，更多地关注学生解题技能.近年来，APOS理论被越来越多地运用于数学概念教学，本文试图以该理论为指导，对初中数学概念的教学进行教学设计研究. 本文通过运用访谈法、案例研究法和文献研究法.首先，梳理APOS理论及其对数学概念教学的启示，综述其在数学概念教学中应用的已有研究.接着，通过访谈研究提出了初中数学概念教学中运用APOS理论的策略，并给出两个教学设计案例.最后，回顾研究过程，展望了后继研究. 关键词 APOS理论 数学概念 教学设计 Mathematical Concepts Instructional Design Case Study Based on APOS Theory Abstract Clear concept is the primary factor to determine the effect of mathematics teaching.The abstract nature of mathematical concepts makes it difficult for students to understand the essence of mathematical concepts.In junior high school mathematics teaching, many teachers pay little attention to the early understanding of mathematics concepts and concept teaching, and the teaching focus is often on the training of students’ problem-solving skills. In recent years, APOS theory is more used in mathematics concept teaching. This paper attempts to study the teaching design of junior high school mathematics concepts under the guidance of this theory. This paper uses the methods of interview, case study and literature study. First, it sorts out the APOS theory and its enlightenment to the teaching of mathematical concepts, and summarizes the existing research on its application in the teaching of mathematical concepts. Then, it puts forward the strategy of applying the APOS theory in the teaching of mathematical concepts in junior high school through interview research, and gives two teaching design cases. Finally, the article is summarized, and the future development is considered and prospected. Key words APOS theory mathematical concepts teaching design 目 录 引 言 1 1概述 1 1.1研究的背景 1 1.2 研究的问题 2 1.3 研究的意义 2 2.研究方法 3 2.1 文献研究法 3 2.2 访谈法 3 2.3案例研究法 3 3.文献综述 4 3.1 APOS理论简介 4 3.2 已有相关研究 4 3.2.1 数学概念教学的相关研究 4 3.1.2 APOS理论运用于教学的相关研究 5 4.APOS理论下数学概念课教学设计 7 4.1 关于数学概念教学的访谈分析 7 4.2 概念课教学设计策略分析 7 4.3 概念课教学设计案例 9 4.3.1 案例1：“圆”教学设计 9 4.3.2 案例2：“无理数”教学设计 12 5.结束语 15 5.1 研究不足 15 5.2 研究展望 15 参考文献 16 附录 访谈提纲 17 致 谢 18 引 言 APOS理论在对教师的教学方式、教学内容、教学方法以及教师的专业成长等方面都有着积极的作用，它改善了数学概念的教学，增进了学生对数学概念的理解，利于提高数学概念教学的质量，在数学概念教学中占有重要的地位。
1概述 1.1研究的背景 数学概念是构建数学理论的基石，数学概念具有逻辑严谨性、抽象性和严格的规定性.数学概念是学生学习数学和教师有效进行数学教学的起点，一切数学的学习都要通过数学概念进行，如果不能正确理解数学概念，则无法进行后续的学习活动.学生在数学活动中应该透彻地理解数学概念，但中考、高考“指挥”教学的现实下，教师对概念的教学并没有重视.教学过程以“告诉”为主，不能揭示数学概念的本质[1].概念就具有规定性,记忆是主要的,所以教师通常将定义和相关的重点“灌输”给学生,因此学生变成了解题机器,只知其然而不知其所以然[2]. 二十世纪九十年代，杜宾斯基提出了APOS理论.学生学习概念不可只停留在直观、表面的层次，必须不断浓缩、升华，最后在学生的头脑中形成数学概念.在欧美国家许多实际教学证明在APOS理论指导下的教学效果得到明显提升，我国学者和一线教师也开展了一些理论和实践研究.研究表明，掌握概念是分析问题和解决问题的前提和基础，通过对APOS理论数学概念教学的研究，发现其对数学的教学方式、教学内容、教师的专业成长等方面都有积极的作用，它改善了数学概念的教学，有利于提高数学概念教学的质量. 为了实现APOS理论与中国数学教学实际的更好融合，需要更多建立在理论基础上的针对现行教材的教学设计和实践[3].基于此，我选择了以APOS理论为依据，并将其运用于数学概念的教学案例设计为毕业论文的选题.通过文献学习理解APOS理论，体会该理论在教学实践中的作用，特别是数学概念教学中的价值.在学习前人经验的基础上，分析APOS理论的特点，探索该理论运用于初中数学概念教学的若干策略，并结合具体数学概念进行教学设计. 1.2 研究的问题 第一，APOS理论下初中数学概念教学设计策略有哪些？ 第二，如何将APOS理论运用于具体数学概念的教学设计？ 1.3 研究的意义 APOS理论强调在教学中要将概念运用于社会实践中，建议学生通过一系列的活动，将自己的经验与理论联系起来，在活动中体验概念学习的过程.通过研究APOS理论，并运用于数学概念教学，有利于学生对数学概念的理解，扩充了数学概念教学的理论内涵，同时给出教学案例，为教师进行教学设计提供了具体的模式和策略. APOS理论运用于数学概念教学，有利于反映学生在概念学习过程中的思维活动，不仅巩固学生的数学知识基础，有利于学生符号意识、逻辑推理、数据分析等数学素养的培养和发展，实现课程标准的理念.通过对本文的研究，也为他人开展APOS理论的研究起到了借鉴的作用. 2.研究方法 2.1 文献研究法 APOS理论已经得到了教育界的广泛认同，对该理论的讨论与研究颇多，为了了解该理论在数学概念教学中的作用和价值，采用收集文献以获取相应资料的方式，并认真阅读、分析. 截止至2020年2月，在中国知网中以“APOS理论”为主题的中文文献有395篇，“教学设计”为主题的文献有38,685篇，“数学概念”为主题的文献有22,659篇，以“数学概念教学设计”为主题已查询有1,812篇.通过有选择地对文献的研究，深入了解APOS理论及其在数学概念教学中的运用情况. 2.2 访谈法 为了了解初中数学概念的教学状况，选择了4名一线数学教师作为访谈对象，其中有3名教龄20年的经验丰富的教师，还有1名教龄5年的教师.通过对教师进行访谈（面对面或线上访谈等方式）交流，了解、学习教师在教学工作中对数学概念教学的看法、方法与经验，为进行案例设计研究积累经验并提炼相关策略. 2.3案例研究法 在对实际案例研究过程中，明确APOS理论运用于概念教学中的合理性，制定相应的教学策略并对案例的教学片段进行分析，并给出了在APOS理论指导下，“圆”和“无理数”两个概念的教学设计. 3.文献综述 3.1 APOS理论简介 APOS理论是美国数学教育学家杜宾斯基首先提出，该理论因其鲜明的学科特点和普遍的适用性而享誉全球.APOS理论显示个体在经过学习过程后进行建构和反思，从而理解问题的逻辑和情景，进而能够用数学的理论去解决问题.为此，杜宾斯基认为数学概念学习有四个阶段：活动、过程、对象、图式. 【活动阶段】活动阶段在数学概念教学中引导学生通过实际活动和操作获得知识，形成认知，这些活动中本就蕴含着数学概念的内涵.教师可以通过让学生“活动”来获得相关知识，加深对数学概念的认知，从而从已有的认知中生长出新的“知识”. 【过程阶段】学生在“活动”阶段获得直观体验，而在这一阶段，则通过观察、联想、讨论，在不断的重复和操作过程中，让学生深入思考，形成心理建构，将具体问题抽象化，得出概念的特征. 【对象阶段】该阶段学生通过对过程阶段的学习，已经了解了数学概念的本质，对数学概念进行符号表示，此时将数学概念作为一个单独的对象，并将它运用到后面的学习中. 【图示阶段】学生在经过前三个阶段的学习，学生的认知已经从点到链到面建构起完整的知识网络，对前面的内容不断整合形成了完整的心理图示，并能够运用到实际问题中.通过不断地建构，提高学生对数学概念的认知. APOS理论指出了学生的学习具有主动建构性，四个层次是有递进关系的，缺一不可，它不仅仅只是表面化的学习，还应当不断地抽象和内化，最终完成概念的建构. 3.2 已有相关研究 3.2.1 数学概念教学的相关研究 许雪莲,樊晓明则认为，大多数师范生在教学设计相关理论、教学方法设计等方面的能力较高,在教学过程设计和教学反思设计方面的能力较低[4].主要有两个原因：一是教师在教学过程中是组织者，引导者，学生对此还缺乏认识.二是学生在教学实践中的机会较少，缺乏相应的经验.数学教育理论对数学教学设计有着重要的指导作用，它可以帮助教师对教学过程进行引导.教学理论源自教育教学实践活动，教师的教学内容与上课形式要能与学生的实际情况相结合，采用适当有效的教学方法进行教学，以使教师在进行数学教学设计时能有所遵循.因此，他们的研究起到了加强概念学习与实际教学之间联系的作用，更有利于教师对于教学过程的了解和掌握. 黄连枝认为，数学概念是人们对数学现象的一种定义化描述,是构成数学定理、数学公式等数学关系的基本元素,也是进行数学计算、推理证明等数学活动的根本依据[5].学生只有对于数学概念有着足够的重视，才能运用数学概念来解决实际问题.但是当今有许多教师并未对数学概念的教学给予足够的重视，导致学生并不能有足够的能力去解决实际问题.因此，他认为数学概念的教学十分重要，是学生学习数学的基石. 张建鹏认为，数学概念是事物在数量关系和空间形式方面所具有的本质属性[6].教师要运用准确和生动的语言，配合上适当的教学方法让学生正确地掌握数学概念.要让学生有意识地将所学概念运用在生活中.而对于学生对概念的理解和掌握，可以通过练习，课堂反馈等方式进行了解。他也为教师在进行概念教学活动中提供了可操作的方法. 郑占厦认为，概念都蕴含着 “点”到“面”的逻辑关系[7].在概念教学的引入阶段，要通过引入实例来增强概念的直观性，让学生理解和认知数学概念，同时注重新旧概念之间的联系，在帮助学生巩固已有知识的同时，又能够促进对新知的理解.在概念的表达方面，要注重对关键词的深入解析，让学生理解概念的内涵.数学的问题可以从多个角度进行，能够让学生灵活地运用数学概念解决数学问题.文章指出了要促进学生数学素养的提高，教师必须重视数学概念教学的重要性，不断总结和发掘多种教学方式，从而促进学生的全面发展，对于指导教师的教学起到了良好的推进作用. 林锦新认为，概念是把所感知的事物的共同本质抽象出来，是抽象思维的语言[8].概念是学习数学的最为重要的一环，然而数学概念的混淆，理解不到位则是很多学生成绩不理想的原因之一.数学概念的学习对学生的数学抽象、数学建模等数学素养和思维品质有着一定的促进作用.在数学概念的教学过程中，要注重运用适宜的情景，选取与学生生活相关的事例，提高学生的学习兴趣和积极性.帮助学生能够运用数学概念解决实际问题，培养学生发现问题和解决问题的能力. 3.1.2 APOS理论运用于教学的相关研究 丁晓军认为，APOS理论可以让学生有效地构建起数学概念[9].在对数学概念的形成与建构和对学生的认知过程都到了促进作用.APOS理论还与数学核心素养有关，在教学的过程中，能够帮助学生将所学的知识迁移到其他情境中.更加深入地分析了APOS理论在促进学生概念学习中的重要作用. 鞠海燕，陆书环通过设置问题引发学生认知冲突，再用表格加深学生对数学概念的理解，把握数学概念之间的相互区别和联系.在图示阶段形成稳定的认知框架，建立与其它概念的联系，同时指出了学生在理解数学概念发展的阶段.他们认为：教师应尽可能让学生主动地建构，使学生的思维经历主动建构数学知识的认知过程[10].通过调查，以函数极限为例分析了学生各个阶段学生建构知识的过程，并给出了教学建议. 焦锟认为APOS理论弥补了传统概念教学忽视数学概念双重性的缺点，揭示了数学概念的发展过程和本质[11].他主张通过一系列活动引出所要学习的概念，同时给学生提供引导性材料，促进学生对数学概念的理解.在教学设计中的问题方面，通过提供问题串，让学生循序渐进地理解数学概念，引导学生通过思考将数学概念内化为自己的认知.通过将传统教学与APOS理论指导下的概念教学相对比，分析两种教学的特点，为了更好地进行概念教学提供了好的指导和意见. APOS理论的四个阶段在理论上是一种等级结构，但在实际教学中，个体对某个概念的理解并不一定遵循这种线性的途径.焦欢欢认为教师要选择合适的教学工具，让学生感受所学概念建构的过程，要让学生经历从具体到抽象的过程[12].她指出了运用APOS理论要根据学生的情况而定，并不能一味地按照固定的阶段进行，要将APOS理论灵活运用. 李文磊认为APOS理论是利用学生已有知识逐步引导学生进行概念建构[13].教师要注重四个阶段之间的联系，将适当的方法用在各个阶段，让学生自主探究，给予学生充足的思考时间，让学生理解概念并运用于实践.他强调了教学要加强学生已有的认知和新知之间的联系，以促进学生对于数学概念的学习. 李林华认为APOS理论的四个阶段是一个连续的过程，既不能割裂，也不能绝对化[14].在教学的实际过程中，可能会有相互重合的情况，但是最后学生必定会经历图示的阶段.在教学的过程中，要创设适当的情境，提高学生的学习兴趣.教师也不能仅仅拘泥于数学概念的传授，还要在实际的应用中让学生对数学概念融会贯通，体会数学概念的本质.他通过对数学法则课的教学，让学生将所学知识形成图示运用于实践，帮助学生解决实际中的问题，强调了理论与实践之间的联系[15]. 综上所述，目前对于数学概念的研究已经较为成熟，已有研究都强调以下几点：数学概念理论的学习与实践的运用，概念之间的相互联系，多角度地理解概念.虽然对于数学概念的教学研究颇多，但是实际的教学中，较少有教师运用APOS理论进行教学设计，因为少量的设计案例无法满足教师实际教学的需求，而且教师也缺少可供参考的一般方法.因此，本文将从这方面入手进行教学设计和研究. 4.APOS理论下数学概念课教学设计 4.1 关于数学概念教学的访谈分析 在对教师的访谈中，教师A、B和C认为：学生首先应当正确理解数学概念.教师D认为在数学教学中数学概念虽然起到了一定的作用，但是教学应该更注重数学的实际运用，学生最终能够用数学概念来解决问题.在对于数学概念的教学进行设计时，教师A和C主要通过创设情境、引入概念、概念的证明、问题的解决等环节进行，而教师B和D则通过概念引入、概念的形成、概念的推理论证、实际运用等环节进行.在数学概念教学过程中，采访的教师都是通过课堂学生的反应、课后的练习以及考试情况等途径了解学生对概念的理解程度.教师B和C通过课堂的提问，课后的习题来获得学生学习概念的情况，教师A和D则通过与学生对话、教师谈话、询问家长、口头问卷等形式获得学生学习的反馈信息.访谈的所有教师都比较重视数学概念的引入，能够通过运用实际情景和问题引入的方式让学生了解数学概念，同时能够针对学生的差异采用不同的方式来教学数学概念.教师B、C和D重视通过让学生动手操作来获得对概念的学习和理解，他们认为通过亲自实践，更有利于学生对概念的理解，同时能够增强学生的学习兴趣.教师A则认为，动手操作固然重要，但是动手实践需要教师正确的指导，同时实践活动可能会使教学效率降低，花费的时间与达到的成效不相符，影响教学进度. 4.2 概念课教学设计策略分析 数学是思维的科学，在数学概念的教学中，教师不能简单的讲授，而是要让学生动脑思考、用心体会、实际操作，在交流合作活动过程中体会数学的基本概念，使学生掌握必要的知识.在教学中，教师需要发挥主导作用，帮助学生进行概念的学习和适时地引导.经验型教师通常会充分发挥学生的学习积极性，在学生已有认知的基础上，通过创设一系列活动，让学生在经历数学活动中，掌握所学的概念.APOS理论下的教学过程中学生是学习的主体[16]，因此，教学设计要联系学生的实际，精心选择利于数学概念教学的内容，使教学内容具有探究性，让学生在探究的过程中促进对数学概念的学习.结合教师访谈，这里提出APOS理论指导下的数学概念教学策略：
（1）实际操作、亲身体验数学概念的形成过程 在教学过程中，教师首先给学生创设操作活动的机会，突显出概念产生的源头，在操作活动中，让学生直观感受、亲身体验数学现实与数学概念之间的关系.然后师生探讨，进一步探究，使学生进行心理建构，抽象出概念的本质特征，并将所学概念作为新的对象来认识，赋予形式化的定义，最终让学生建立综合的心理图示，并能运用图示解决相关问题. 例如，进行“三角形中位线”教学设计中，教师首先通过让学生进行剪纸活动，并询问学生是如何操作的.在学生的叙述中总结出拼成四边形的条件，最终引出三角形中位线的概念.教师通过让学生动手实践，让学生在活动中了解中位线的概念及其性质. （2）利用直观教学，提高学生建构概念的能力 学生进行的实际操作活动是一种直观操作，他们的认知是感性的.通过直观教学，有利于学生将抽象的事物具体化，降低学生对学习新概念的难度.教师在不同的时期可根据学生的差异适当地选择不同的直观类型进行教学. 例如，在进行“三视图”的教学活动中，可以通过借助多媒体的动态演示展示一栋建筑的外形和特征，再让学生思考从不同的方向观看建筑时的样子是怎样的，观察到的外形是否相同.再通过多媒体展示，前、后、左、右、高、低时的建筑的外形差异，让学生判断是否与自己所想的外形符合.然后，教师通过运用多媒体展示粉笔盒不同视角的图片，让学生判断图片是从哪个方向观察的.学生通过观察，提高对“三视图”的理解. （3）多方面揭示数学概念，促进对概念的理解 在数学概念的教学过程中，要多角度，多层次地揭示数学概念的本质，帮助学生建构知识体系，从而帮助学生理解数学概念. 例如，在“等腰三角形”的教学过程中，为了证明等腰三角形两底角相等的性质，可通过两个方面进行证明，促进学生对“等腰三角形”概念的认知.如图1，作垂直于于点，因为 ; 所以 ；
, 故，. 也可以用另外一种证明方法 如图2，作的平分线,交于. 因为 ；
;. 所以,故. 通过从多方面进行教学，利于拓展学生的思维能力，促进学生对 数学概念的理解，也为后面的问题解答提供思路和方法. （4）引领学生形成心理图示，通过解决实际问题深化对概念的理解 学生通过学习获得所学概念，在头脑中已经获得了相应的图示，此时需要通过练习巩固学生所学知识.所布置的练习必须体现数学概念的本质，多角度，多方面循序渐进地帮助学生巩固所学的知识，最终融入自己的知识体系中. 例如在“通分”的教学设计中，为了巩固学生对概念的理解，教师通过设计例题 （1）通分：， ， （2）运算：
，. （3）寻找：大于，且小于的分数是 . 第（1）题让学生通过之前的学习进行通分，把异分母分数的分母转化成为相同的数.在此基础上，让学生进行同分母的运算，有了前面的学习，学生就可以运用通分将异分母转化成为同分母，就给出第（2）和（3）两题.第（3）题的答案的不唯一，可以在寻找、判断的过程中帮助学生深化对“通分”的认识.同时，（3）有无穷多个填法的，可以让学生体会有理数的“稠密性”.这样把通分概念作为一个单独的对象，帮助学生解决问题，加深学生对通分概念的理解. 4.3 概念课教学设计案例 4.3.1 案例1：“圆”教学设计 【教学目标】 (1)理解圆的概念，点与圆的位置关系. (2)在动手画圆的过程中发展学生的思维能力与动手能力. 【教学重点及难点】 重点：点与圆的位置关系 难点：用几何的观点研究圆的概念 【教学过程】 师：日常生活使用的硬币、风扇等物品是什么形状的？ 生：圆形. 师：很好，现在请大家用圆规在纸上画出规定的圆：半径为的圆. 师：之前我们可以利用圆规在纸上画圆，如果要在空地上画出半径为的圆，你有什么好的办法吗？ 生：拿一根长的绳子，将其一端固定在地面上，另一端系上记号笔，将绳子拉直并旋转一圈，就可以画出一个半径为的圆. 师：很好，这是很高效的画圆的方法.那么回顾这样画圆的方法，我们思考一下：确定一个圆需要哪些要素？小组讨论一下. 生：确定一个圆需要两个要素：圆心和半径. 师：非常好，通过之前的操作、观察和思考，我们得出一些结论：
（1）
圆可以看作是线段以一个端点为中心，另一端对其旋转一周形成的轨迹. （2）
确定一个圆有两个要素：圆心和半径 【设计意图】根据APOS理论，“操作”是概念学习的开始，通过在纸上画圆让学生理解概念形成的过程，利于学生形成清晰的表象，丰富他们的感性认知，激发学生对所学概念的兴趣.通过让学生画出不同的圆，让学生对圆有了初步的认识，并通过引导，实际操作，让学生了解圆的基本特征. 师：生活中处处都有圆，今天我们就用数学眼光来分析圆形，你们能用数学的语言来描述圆吗？ 生：圆是一个封闭的图形. 师：很好，但是我们之前学习的矩形也是封闭图形.那么圆与它有什么区别吗？ 生：矩形是直线，而圆形是曲线. 师：很好，圆是一个封闭的曲线.回忆一下之前画圆的过程，你还有什么发现吗？ 生：因为画圆时的绳长度是不变的，因此圆上的点到圆心的距离是相等的. 师：没错.同学们再看看之前画的圆，这个圆把平面分成了几个部分？ 生：三部分，圆的内部、圆上和圆的外部. 师：我们因此知道了圆把平面上的点分成了三个部分.那么同学们能够描述点与圆的位置关系吗？ 生：点到圆心的距离小于半径，点在圆内；
反之则在圆外.点到圆心的距离等于半径，点在圆上. 师：完全正确. 【设计意图】过程阶段是学生对圆的深入理解，学生在理解圆的过程中，学会主动建构，概括出数学概念的特征.通过让学生用数学语言来描述圆，让学生了解圆的本质特征，再通过对圆进行分析，让学生总结出点与圆的位置关系，加深学生对概念的理解，为后面的问题解决提供方法和思路. 师：现在我们用符号语言来表示我们得到的结论：
（1）圆的定义：
如图3，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 定点叫做圆心，定长称为半径的长.以点为圆心的圆记作，读作“圆”. （2）点与圆的位置关系 设的半径为，点到圆心的距离为,则点与圆的位置关系可以表示为：
点在圆内Û；
点在圆上Û；
点在圆外Û 【设计意图】APOS理论的“对象”阶段，把概念当作“对象”时，更容易让学生理解数学概念的本质，从整体上把握其性质，并将数学概念数学化、符号化. 通过运用符号语言表示圆的相关概念，让学生进一步对所学的内容深入理解，并将所学的内容运用到后面的问题中去. 做一做：
例题1，辨析 （1）直径与半径叫做弦；
（2）圆就是弧；
（3）圆内最长的线段是直径；
（4）优弧一定比劣弧长 例题2，设cm，作图以满足下面的条件. （1）
到点和点的距离都等于的所有点组成的图形. （2）
到点和点的距离都小于的所有点组成的图形. 例题3，（1）请找出中的弧和弦；
（2）在中，为直角，，如果以P为圆心，画一个半径为的圆，试判断点A，点B与的位置关系. 【设计意图】通过前三个阶段的学习，学生对概念的认知逐渐经历由点到链，由链到面的过程，知识网络逐步建立.在第四阶段，学生建立了综合的心理图示，学生对平行线判定的理解到达了深层次阶段.学生通过心理“图示”来解决相关的问题，学生通过练习，进一步感受如何运用圆的相关概念来解决问题，提高学生的推理和解决问题的能力. 4.3.2 案例2：“无理数”教学设计 【教学目标】 （1）理解无理数的概念. （2）在操作过程中发展学生的数理思维能力与逻辑思维能力. （3）在动手操作活动中提高学生学习无理数的积极性，提高他们的动手能力，体会数学的内在美. 【教学重点和难点】 重点：无理数的探究过程，了解无理数与有理数的区别. 难点：无理数的理解和认识. 【教学过程】 第一阶段—活动阶段 毕达哥拉斯学派认为世界上的一切量都是可以用有理数来表示.但是有人认为边长为 的正方形的对角线不能用有理数来表示.今天，我们来探讨这个问题.请同学们准备两个边长为 的小正方形，如何将它们拼成一个大正方形？ 如图5，将两个正方形沿虚线剪开，得到四个全等的三角形.将他们拼接成一个大正方形.计算出大正方形的边长为. 根据有理数的概念，分数和整数统称为有理数.然而我们无法用整数或者分数来表示，所以我们能够得出它不是有理数.那么，我们能否近似地表达它，确定它的大小呢？ 因为 所以 1 ＜＜ 2；
因为，，所以 ；
因为，所以 ；
因为，所以 …… 这样，我们就得到了的近似值，那么的近似值是否会一直无限不循环下去呢？ 【设计意图】 拼图活动是学生亲自体验无理数的活动过程，通过动手操作，提高学生学习数学的积极性，丰富学生的感性认识，使课堂变得生动有趣.学生通过拼接感受无理数的客观存在，同时通过取的近似值，让学生感受无限逼近的思想方法. 第二阶段—过程阶段 为了让学生了解无理数的本质，让学生使用计算器得到这一结果，并提问：计算器中的值是近似值还是精确值？有的学生会认为计算器中的值就是的值，此时教师可以让学生计算的平方是否为.学生通过计算器得出的平方为 不等于，教师可以指出计算器由于显示位数有限，无法精确表示.并在投影上显示出小数点后20位，所以的小数无限不循环，它是一个无限不循环小数.教师再让学生计算，学生发现这些都为无限不循环小数.再让学生用计算器计算，发现他们同样都为无限不循环小数.这些数是学生以前没有接触过的数，此时，学生已经初步得到了无理数的概念. 【设计意图】通过让学生利用计算器计算，让学生思考讨论，了解出无理数与有理数的关系，让学生明白无理数的概念，无理数为无限不循环小数. 第三阶段—对象阶段 活动探究：将下面的有理数化成小数的形式，你有什么发现？ 能否用无理数在数轴上表示出来？ 如图6，教师引导学生：无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点来表示. 无理数有多种表现形式，教师可通过投影展示出来 1. 根号型：…… 2. 符号型：， 3. 无限不循环小数：
【设计意图】学生通过一系列的活动认识到了无理数的本质，此时将无理数作为一个单独的对象，把无理数作为一个整体进行变换.通过将无限不循环小数与有理数进行对比，给出无理数的概念，使学生理解无理数的性质.同时利用数轴上的点表示出无理数，让学生感受无理数的存在，了解无理数与有理数的关系. 第四阶段—图示阶段 经过前三个阶段的教学，学生已经对无理数进行了深入地探究，使得学生对于数的认识有了新的认知和了解.无理数和有理数统称为实数，因此可以建立一个关于实数的分类，如图7所示， 例题1，下面的数中，有哪些是无理数？ ，， ，， ， ，，，， 【解析】（1）有的学生认为是无理数，因为在变为小数时发现不循环，判断为无理数，然而却没有认识到它是分数，分数和整数都是无理数. （2）有学生认为是个分数形式因此认为它是有理数，但是的分子不是整数，因此它不是有理数. （3）
对于，有的学生认为有根号所以是无理数，但是没想到可以开根号得到整数4，所以应该是有理数. 例题2.与最接近的数是（ ）
A． B. C. D. 【解析】学生可以利用逼近法，得到结果，选择C 【设计意图】该阶段的学生对于无理数已经有了综合的图示，通过对实数进行分类，有助于学生对无理数的理解，同时更容易让学生对无理数进行记忆.通过例题训练，让学生将脑中的图示运用于实践，进一步让学生对于无理数概念有深一步的理解. 5.结束语 本研究基于APOS 理论对数学概念教学策略及教学设计展开研究.在对该理论的有关知识进行研究过程中，理解APOS理论和数学概念教学设计的基础知识，通过访谈了解现今数学概念教学的现状以及数学概念理解中的问题和教学经验，给出APOS理论的概念课教学设计的策略.最后，以APOS理论为基础，进行分析说明和案例设计研究. 5.1 研究不足 本研究仍然有不足的地方，虽然在研究中投入了很多精力，但是在认知和实践上存在差异，研究的理论和深度不够，需要探讨的地方和有待解决的问题仍有很多.主要问题归结如下：
（1）教学设计缺乏实践论证.虽然本设计从该理论出发，但是并没有经过实践论证，具体起到的实际效果尚未得知. （2）在探究APOS理论指导下的教学设计中，提出的教学方法大多是作者通过对该理论的理解以及对大量的案例总结而来，缺乏适用性，实践性，需要在以后的教学工作中进一步完善. 5.2 研究展望 如何将APOS理论运用于数学概念教学是一个较新的课题，本文还有待于需要进一步的研究和分析，但愿本文的写作对今后的教学研究能起到抛砖引玉的作用.对于在数学概念教学中影响学生对概念理解的因素以及传统数学概念教学与该理论指导下的教学对学生的不同影响等问题，以后会更深层次地分析. 参考文献 [1] 李祯俊.APOS理论指导下的概念教学设计[J].中学数学，2014，3（1）：39-40. [2] 濮安山，丁嘉雯.基于APOS理论的高中数学概念教学案例设计[J].中学数学研究，2018(1):19-20. [3] 黄连枝.浅谈数学概念的局部研究教学[J].中学数学,2020(01):69-70. [4] 许雪莲 樊晓明. 对师范生数学教学设计能力的调查与思考[J]. 教育探索, 2013(08):74-75. [5] 黄连枝.浅谈数学概念的局部研究教学[J].中学数学,2020(01):69-70.高敏.基于PCK理论的数学概念课教学设计[J].上海中学数学，2018(1):48-51. [6] 张建鹏.中小学数学概念教学的策略性研究[J].学周刊,2019,35(35):51. [7] 郑占厦. 初中数学概念教学探讨[J]. 数学教学通讯, 2019(17):66-68. [8] 林锦新.核心素养下高中数学概念的教学探究[J].文存阅刊,2019,(24):99. [9] 丁晓军.关注学生认知过程,促进数学概念建构 ——基于APOS学习理论的教学思考[J].数学教学通讯,2019,(15):67-68. [10] 鞠海燕 陆书环. APOS理论视域下函数极限概念教学设计的探讨[J]. 曲阜师范大学学报(自然科学版), 2011(02):126-130. [11] 焦锟.APOS理论观点下的对数概念教学与评析[J].教学管理与教育研究,2019,4(19):97-100. [12] 焦欢欢.基于APOS理论的数学概念教学实践——以《分数的意义》一课为例[J].教育研究与评论（小学教育教学版）,2018,(10):31-35. [13] 李文磊.APOS理论视角下的高中导数教学研究 ——以《导数的概念》教学为例[J].数学教学通讯,2018,(33):26-27. [14] 李林华.基于APOS理论的初中数学法则课教学实践与思考[J].师道·教研,2018,(4):73-74. [15] 张梦婷,刘云. 利用APOS理论透视无理数的概念教学[J]. 中国教育技术装备,2018(14):80-82. [16] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础和过程[M].上海：上海教育出版社，2009. 附录 访谈提纲 1.数学概念教学在数学教学中的地位？ 2.在数学概念的教学中分为哪几步进行设计？ 3.如何了解学生在数学概念教学过程中对概念的理解程度？ 4.如何获得学生在学习数学概念中的反馈？ 5.在教学设计中是否注重对学生的实践操作活动？
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