第三章 多维随机变量及其分布
八.课后习题解答及三级测试题答案
1.在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每一次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量如下：
试分别就（1），（2）两种情况，写出和的联合分布律.
解 由乘法公式容易得的分布律，易知，放回抽样时
且
于是的分布律为
0 1 0
1
（）不放回抽样，则，，在第一次抽出一正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个.故
且
则的联合分布律为
0 1
0
1
2.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求和的联合分布律.
解 的可能取值为0，1，2，3，的可能取值为0，1，2，总取法为：
于是的联合分布律为
0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 3. 设随机变量的概率密度为
确定常数k；
求；
求；
求；
解 （1）由有
故
（2）
（3）
（4）
4.将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出和的联合分布律以及的边缘分布律.
解 由为出现正面的次数知，出现反面的次数为，
所以，的值为0，1，2，3，得的取值为3，1，1，3且，于是
而均为不可能事件，故和的联合分布律及边缘分布律为
0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 1 5.设二维随机变量的概率密度为
求边缘概率密度.
解
故
故
6.设二维随机变量的概率密度为
求边缘概率密度
解 ，则当时，
当时，由于
，当时，
在其它情形， 于是，边缘概率密度为
7.设二维随机变量（）的概率密度为
（1）试确定常数C.
（2）求边缘概率密度.
解 （1）由，有从而.
又由
有
故
（2）
故
故
8. 将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为和，据以往积累的资料知和的联合分布律为
51 52 53 54 55 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 （1）求边缘分布律；
（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单的条件分布律.
解 （1）因为
可知其边缘分布为
51 52 53 54 55 51 52 53 54 55 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 因为条件分布律：
易知，其条件分布律为
51 52 53 54 55 9. 以记某医院一天出生的婴儿的个数，记其中男婴的个数，记和的联合分布律为
（1）求边缘分布律；
（2）求条件分布律；
（3）特别，写出当时，的条件分布律.
解 （1）边缘分布律
注意到，这里
（2）条件分布律
（3）
10. 求§1例1中的条件分布律：
解 因为则
而由
1 1 2 1
1 2 3 1 2 3 4 11.在第7题中，（1）求条件概率密度，特别写出当时的条件概率密度；（2）求条件概率密度，特别，分别写出当，时的条件概率密度；（3）求条件概率
解 由第9题知
从而（1）
（2）
（3）
12. 设随机变量（）的概率密度为
求条件概率密度，
解
故
即
即
13. （1）问第1题中的随机变量和是否相互独立？
（2）问第12题中的随机变量和是否相互独立？
解（1）放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此独立，不放回抽样，每一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.
（2）因为，两边缘概率密度之积为
故和不相互独立.
14.设和是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为
（1）求和的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为，试求a有实根的概率
解（1）依题意
由于和相互独立，因此和的联合概率密度为
（2）方程有实根的充要条件为，即，从而方程有实根的概率为
15. 进行打靶，设弹着点的坐标和相互独立，且都服从分布，规定点落在区域得分；点落在得分；点落在得分.以记打靶的得分.写出，的联合概率密度，并求的分布律
解 ，相互独立
于是
的分布律为
0 1 2 16. 设和是互相独立的随机变量，其概率密度分别为
其中是常数，引如随机变量
（1）求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数.
救（1）因为和相互独立，故
（2）
则
故的分布律为
0 1
17. 设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
，
求随机变量的概率密度.
解 由卷积公式知的概率密度为
当时
当时，
当时，由于知，，
故
18. 某种商品一周繁荣需要量四一个随机变量，其概率密度为
设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度.
解 （１）
设两周的需求量为，则，当
故
（２）设为三周需求量，则
当时
可知，其概率密度为
１９. 设随机变量的概率密度为
.
问和是否相互独立？
求的概率密度.
解（１），
，
同理，
故和不是互相独立的.
（２）
当且仅当即时
上述积分不为零.
当时，
，
即
２０. 设和是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布.试验证随机变量具有概率密度。
我们称服从参数为的瑞利（Ｒayleigh）分布.
证明
由独立同分布有
而
当时，是不可能事件
，从而
当时，
从而
故
２１.设随机变量的概率密度为
试确定常数；
求边缘概率密度
求函数的分布函数。
解 （１）
＝b
＝b
＝b（１－）
由＝１
得b＝＝
（２）
，
即
（３）由
知相互独立
于是
２２。设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地选取４只，求其中没有一只寿命小于１８０的概率.
解 随机地取４只，记其寿命分别为，由题设知，它们独立同分布，且
记，事件“没有一只寿命小于１８０”就是所以
.
２３.某种电子装置的输出测量了５次，得到观察值.设它们相互独立的随机变量且都服从参数的瑞利分布.（１）求的分布函数；（２）求
解
由题设知相互独立，且具有相同的密度函数
由此得到分布函数为
（１）由，得
即
（2）
24.设随机变量 相互独立，且服从同一分布.试证明
证
相互独立
同分布
25. 设是相互独立的随机变量，其分布律为
证明随机变量的分布律为
证明 因为和相互独立，故
所以
26.设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，
证明：服从参数为的泊松分布.
解 由24题结论可知
即 服从参数为的泊松分布.
27. 设是相互独立的随机变量，.证明：服从参数为的二项分布.
证明 由24题结论可知
即 服从参数为的二项分布.
28. 设随机变量（）的分布律为
0 1 2 3 4 5 0
1
2
3 0
0.01
0.01
0.01 001
0.02
0.03
0.02 0.03
0.04
0.05
0.04 0.05
0.05
0.05
0.06 0.07
0.06
0.05
0.06 0.09
0.08
0.06
0.05 求；
求的分布律；
求的分布律；
求的分布律.
解 （1）
（2）
，由此
故
0 1 2 3 4 5 0 0.14 0.16 0.28 0.24 0.28
由此
故
0 1 2 3 0.28 0.30 0.25 0.17 （3）
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
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