自动控制原理习题及其解答 第一章（略）
第二章 例 例 2-1
弹簧，阻尼器串并联系统如图 2-1 示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。
解：(1) 设输入为 y r ，输出为 y 0 。弹簧与阻尼器并联平行移动。
(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足 0 F ，则对于 A 点有
02 1 K K fF F F
其中，F f 为阻尼摩擦力，F K1 ，F K2 为弹性恢复力。
(3) 写中间变量关系式
0 2 20 1 10) () (y K FY Y K Fdty y df FKr Krf (4) 消中间变量得
0 2 0 1 10y K y K y Kdtdyfdtdyfrr
(5) 化标准形
rrKydtdyT ydtdyT 00
其中:2 15K KT 为时间常数，单位[秒]。
2 11K KKK 为传递函数，无量纲。
例 例 2-2
已知单摆系统的运动如图 2-2 示。
(1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程 解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角
，摆球质量为 m。
（2）由牛顿定律写原始方程。
h mgdtdl m sin ) (22
其中，l 为摆长，l
为运动弧长，h 为空气阻力。
（3）写中间变量关系式
) (dtdl h
式中， α 为空气阻力系数dtdl为运动线速度。
（4）消中间变量得运动方程式
图 2-2
单摆运动
0 s i n22 mgdtdaldtdml
（2-1) 此方程为二阶非线性齐次方程。
（5）线性化 由前可知，在
＝0 的附近，非线性函数 sin
≈
，故代入式（2-1）可得线性化方程为
022 mgdtdaldtdml
例 例 2-3 已知机械旋转系统如图 2-3 所示，试列出系统运动方程。
解：（1）设输入量作用力矩 M f ，输出为旋转角速度
。
（2）列写运动方程式
fM fdtdJ
式中， f 为阻尼力矩，其大小与转速成正比。
（3）整理成标准形为
fM fdtdJ
此为一阶线性微分方程，若输出变量改为 ，则由于
dtd
代入方程得二阶线性微分方程式
fMdtdfdtdJ 22
例 例 2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图 2-4 所示。
图 2-3
机械旋转系统
倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图 2-65 所示平面内运动。控制力 u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心 A。试求该系统的运动方程式。
解：(1) 设输入为作用力 u，输出为摆角
。
(2) 写原始方程式，设摆杆重心 A 的坐标为（X A ，y A ）于是
X A ＝X＋lsin
X y = lcos
画出系统隔离体受力图如图 2－5 所示。
摆杆围绕重心 A 点转动方程为：
cos sin22Hl VldtdJ
（2－2）
式中，J 为摆杆围绕重心 A 的转动惯量。
图 2-4
倒立摆系统
图 2-5
隔离体受力图
摆杆重心 A 沿 X 轴方向运动方程为：
Hdtx dmA22 即
H l xdtdm ) sin (22
（2－3）
摆杆重心 A 沿 y 轴方向运动方程为：
mg Vdty dmA 22 即
mg V ldtdm ) cos (22
小车沿 x 轴方向运动方程为：
H udtx dM 22
方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有 sin
和 cos
项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。
(3) 当
很小时，可对方程组线性化，由 sin
≈ ，同理可得到 cos≈1 则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：
H udtx dMmg VHdtdmldtx dmHl VldtdJ222222220 用222dtdS 的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量 V、H、X 得
u g m M s Jmlm MMl ) ( ) (2 将微分算子还原后得
udtdg m MdtdlJmlMJMl ) ( ) (22
此为二阶线性化偏量微分方程。
例 例 2-5 RC 无源网络电路图如图 2－6 所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数 U c (s)/U r (s)。
解：在线性电路 的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之 间的关系，满足广义的欧姆定律。即：
) () () (s Zs Is U
如果二端元件是电阻 R、电容 C 或电感 L，则复阻抗 Z(s)分别是 R、1/C s 或 L s 。
(2) 用复阻抗写电路方程式：
s CS I S VRS U S U S Is CS I S I S URS U S U S Icc ccC r22 222 1 212 1 111 11) ( ) (1)] ( ) ( [ ) (1)] ( ) ( [ ) (1)] ( ) ( [ ) ( (3) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得 RC 网络结构图，见图 2－6（a）。
(4) 用结构图化简法求传递函数的过程见图 2－6（c）、(d)、(e)。
(5) 用梅逊公式直接由图 2－6(b) 写出传递函数 U c (s)/U r (s) 。
K GGK 独立回路有三个：
图 2-6
RC 无源网络
图 2-6
RC 无源网络结构图
（a）
（b）
（c）
（d）
S C R S C RL1 1 111 1 1
S C R S C RL2 2 2 221 1 1
S C R R S CL1 2 2 131 1 1
回路相互不接触的情况只有 L 1 和 L 2 两个回路。则
22 2 1 12 1 121S C R C RL L L
由上式可写出特征式为：
22 2 1 11 2 2 2 1 12 1 3 2 11 1 1 11 ) ( 1S C R C R S C R S C R S C RL L L L L
通向前路只有一条 22 1 2 1 2 2 1 111 1 1 1 1S C C R R S C R S C RG
由于 G 1 与所有回路 L 1 ，L 2 ， L 3 都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为 Δ 1 =1 代入梅逊公式得传递函数 1 ) (1
1 1 1 1112 1 2 2 1 122 1 2 122 2 1 11 2 2 2 1 122 2 1 1 1 1 s C R C R C R s C C R Rs C R C Rs C R s C R s C Rs C R C R GG 例 例 2-6 有源网络如图 2－7 所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图 2－8 所示 PI 调节器，写出传递函数。
解：图 2-7 中 Z i 和 Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设 A 点为虚地，即 U A ≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I 1 = I 2
则有：
) ( ) ( ) () ( ) ( ) (21s Z s I s Us Z s I s Uf ci i 故传递函数为
图 2-8
PI 调节器
图 2-7
有源网络
) () () () () (s Zs Zs Us Us Gific
（2－4）
对于由运算放大器构成的调节器，式（2－4）可看作计算传递函数的一般公式，对于图 2-8 所示 PI 调节器，有 1) ( R s Z i
CSR s Z f1) (
2
故 CS RCS RRCSRs Zs Zs Gif121211) () () (
例 例 2-7 求下列微分方程的时域解 x（t）。已知 3 ) 0 ( , 0 ) 0 ( x x 。
0 6 322 xdtdxdtx d 解：对方程两端取拉氏变换为：
0 ) ( 6 ) 0 ( 3 ) ( 3 ) 0 ( ) 0 ( ) (2 s X x s SX x Sx s X S
代入初始条件得到
3 ) ( ) 6 3 (2 s X S S
解出 X（s）为：
2 22)215( ) 5 . 1 (21553 26 33) ( SS Ss X
反变换得时域解为：
)215sin(53 2) (5 . 1t e t xt
例 例 2-8
已知系统结构图如图 2-9 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。
解：（1）首先将含有 G 2 的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图 2-10（a）
图 2-10
系统结构图的简化
图 2-9 系统结构图
所示。
（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图 2-10（b）。
（3）最后将两个方框串联相乘得图 2-10（c）。
例 例 2-9 已知系统结构图如图 2-11 所示，试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。
解：
（1）将两条前馈通路分开，改画成图2-12（a）的形式。
（2）将小前馈并联支路相加，得图 2-12（b）。
（3）先用串联公式，再用并联公式
将支路化简为图 2-12（c）。
例 例 2-10 已知机械系统如图 2-13（a）所示，电气系统如图 2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。
解：（1）若图 2-13 （a）所示机械系统的运动方程， 图 2-11 系统结构图
图 2-12
系统结构图
图 2-13
系统结构图
（a）机械系统
（b）电气系统
遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。
微分方程组为：
y K Fy x f Fx x K x x f F F Fi i20 20 1 0 1 2 1) () ( ) ( 取拉氏变换，并整理成因果关系有：
) ( ) (1) () (1) ()] ( ) ( )[( ( ) (2020 1 1s y s Fs fs xs FKs yS x s x K s f s Fi 画结构图如图 2－14：
求传递函数为：
skfskfskfskfskfs f ks f ks f ks f ks Xs Xi12221122112 21 12 21 10) 1 )( 1 () 1 )( 1 (
)1 1)( ( 1)1 1)( () () (
（2）写图 2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。
运动方程可直接用复阻抗写出：
) ( ) ()] ( ) ( [1) ()] ( ) ( [( )] ( ) ( [1) ( ) (2 22 020 112 1s E s C s Is E s ERs Is E s E s C s E s ERs I s I s ICci i i 整理成因果关系：
图 2-14
机械系统结构图
) ( ) () (1) ()] ( ) ( )[(1( ) (2 2 0220 11s E IR s Es IS Cs Es E s E s CRs ICci 画结构图如图 2-15 所示：
求传递函数为：
S C R s C R S C RS C R S C RS CRS C RS CR s CRs Es Ei 2 1 2 2 1 12 2 1 1221 122 11 0) 1 )( 1 () 1 )( 1 (
)1)(1 1( 1)1)(1() () (
对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表 2-1。
表 2-1 相似量 机械系统 x i
x 0 y F F 1 F 2 K 1 1/K 2
f 1
f 2
电气系统 e i e 0
e c2
i i i 1/R R C 1
C 2
例 例 2-11
RC 网络如图 2-16 所示，其中 u 1 为网络输入量，u 2 为网络输出量。
（1）画出网络结构图； （2）求传递函数 U 2 (s)/ U 1 (s)。
解：（1）
用复阻抗写出原始方程组。
输入回路
s CI I I R U22 1 1 1 11) (
输出回路
s CI I I R U22 1 2 2 21) (
中间回路
212 1 1)1( Is CR R I
（3）整理成因果关系式。
s CI I URI22 1 1111) (1 11 211 1 2s C Rs CR I I
图 2-15
电气系统结构图
图 2-16
RC 网络
s CI I I R U22 1 2 2 21) (
即可画出结构图如图 2-17 所示。
（4）
用梅逊公式求出：
3 3 2 2 1 112G G GUU s C s C Rs Cs C RRs C Rs Cs C s C Rs Cs C R2 1 212 121 212 1 212 111111111
1 ) (1 ) (1 1 1 2 2 122 1 2 11 2 122 1 2 1 s C R C R C R s C C R Rs C R R s C C R R 例 例 2-12
已知系统的信号流图如图 2-18 所示，试求传递函数 C(s)/ R(s)。
解：
单独回路 4 个，即 2 1 3 2 1G G G G G L a
两个互不接触的回路有 4 组，即 3 2 1 3 2 3 1 2 1G G G G G G G G G L Lc b 三个互不接触的回路有 1 组，即 3 2 1G G G L L Lf e d 于是，得特征式为 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 12 2 1
1G G G G G G G G G G G GL L L L L Lf e d c b a 从源点 R 到阱节点 C 的前向通路共有 4 条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 K G G G P3 2 1 1
11
K G G P3 2 2
1 21 G
K G G P3 1 3
2 31 G
K G G G P3 2 1 4
14
图 2-17
网络结构图
图 2-18
信号流图
因此，传递函数为 4 4 3 3 2 2 1 1) () ( P P P Ps Rs C 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 12 3 1 1 3 22 2 1) 1 ( ) 1 (G G G G G G G G G G G GG K G G G K G G
第三章 例 例 3-1 系统的结构图如图 3-1 所示。
已知传递函数 ) 1 2 . 0 /( 10 ) ( s s G 。
今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间 t s 减小为原来的 0.1 倍，并保证总放大系数不变。试确定参数 K h 和 K 0 的数值。
解 解
首先求出系统的传递函数 φ （s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间 t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 1 10 / 2 . 0 (10) (ss
即
H HK sKs G Ks G Ks Rs C10 1 2 . 010) ( 1) () () (0 0
) () 110 12 . 0(10 1100ssKKKHH
比较系数得
10 10 11010 1100HHKKK 解之得
9 . 0 HK 、 100 K
解毕。
例 例 3-10 某系统在输入信号 r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：
te t t c109 . 0 ) 9 . 0 ( ) (
（t≥0）
已知初始条件为零，试求系统的传递函数 ) (s 。
解 解 因为 2 21 1 1) (sss ss R
) 10 () 1 ( 10109 . 0 9 . 0 1)] ( [ ) (2 2 s sss s st c L s C
故系统传递函数为
1 1 . 01) () () ( s s Rs Cs
解毕。
例 例 3-3 设控制系统如图 3-2 所示。
试分析参数 b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解 解
由图得闭环传递函数为 1 ) () ( s bK TKs
系统是一阶的。动态性能指标为 ) ( 3) ( 2 . 2) ( 69 . 0bK T tbK T tbK T tsrd 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。
例 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3-34 所示。试确定系统的传递函数。
解 解
首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是3。系统模型为 2 2223) (n nns ss
然后由响应的 %pM 、pt 及相应公式，即可换算出 、n 。
% 3333 4) () ( ) (% cc t cMpp
1 TsKbs 4 3 0 0.1 t 图 3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应h(t)
1 . 0 pt （s）
由公式得 % 33 %21 / e Mp 1 . 012 npt 换算求解得：
33 . 0 、
2 . 33 n
解毕。
例 例 3-13
设系统如图 3-35 所示。如果要求系统的超调量等于 % 15 ，峰值时间等于 0.8s，试确定增益 K 1 和速度反馈系数 K t
。同时，确定在此 K 1 和 K t 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
解 解
由图示得闭环特征方程为 0 ) 1 (1 12 K s K K st 即
21 nK ，nn ttK212
由已知条件
8 . 0115 . 0 %21 /2 t nppte Mt t 解得 1588 . 4 , 517 . 0 sn t
于是 05 . 211 K
178 . 0211 KKn tt s tnt td297 . 02 . 0 6 . 0 12
R(s) C(s) 图 3-35
) 1 (1 s sK1+K t s
s tt ntt nr538 . 01arccos12 2 s tn ts476 . 15 . 3
解毕。
例 例 3-14 设控制系统如图 3-36 所示。试设计反馈通道传递函数 H(s)，使系统阻尼比提高到希望的 ξ 1 值，但保持增益 K 及自然频率 ω n 不变。
解 解 由图得闭环传递函数
) ( 2) (2 2 22s H K s sKsn n nn
在题意要求下，应取
s K s Ht ) (
此时，闭环特征方程为：
0 ) 2 (2 2 n n n ts KK s
令：
12 2 n tKK ，解出，n tK K / ) ( 21
故反馈通道传递函数为：
nKss H ) ( 2) (1
解毕。
例 例 3-15 系统特征方程为 0 20 5 10 20 302 3 4 5 6 s s s s s
试判断系统的稳定性。
解 解
特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中 s 一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。
例 例 3-16 已知系统特征方程式为 0 5 16 18 82 3 4 s s s s
R(s) C(s) 图 3-36 例 3-14 控制系统结构图
H(s) 2 222n nns sK
试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
解 解
劳斯表为 4s
1
18
5
3s
8
16
0
2s
16816 1 18 8
580 1 5 8 1s
5 . 13165 8 16 16
0
0s
55 . 130 16 5 5 . 13 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。
例 例 3-17 已知系统特征方程为 0 5 3 2 22 3 4 5 s s s s s
试判断系统稳定性。
解 解
本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数 ε 来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。
劳斯行列式为 5s
1
2
3
4s
1
2
5
3s
0
2
2s
2 2
5
1s
2 25 4 42
0s
5
由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数 ε 来代替；第四行第一列系数为（2ε+2/ε，当 ε 趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε 2 ）/（2ε+2），当ε 趋于零时为 2 。由于第一列变号两次，故有两个根在右半 s 平面，所以系统是不稳定的。
解毕。
例 例 3-18 已知系统特征方程为 0 16 16 20 12 8 22 3 4 5 6 s s s s s s
试求：（1）在 s 右半平面的根的个数；（2）虚根。
解 解
如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。
劳斯行列表为 6s
1
8
20
16
5s
2
12
16
4s
2
12
16
3s
0
0
由于3s 行中各项系数全为零，于是可利用4s 行中的系数构成辅助多项式，即 16 12 2 ) (2 4 s s s P
求辅助多项式对 s 的导数，得 s sss dP24 8) (3
原劳斯行列表中 s 3 行各项，用上述方程式的系数，即 8 和 24 代替。此时，劳斯行列表变为
6s
1
8
20
5s
2
12
16 4s
2
12
16 3s
8
24 2s
6
16 1s
2.67 0s
16 新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。
对原点对称的根可解辅助方程求得。令
0 16 12 22 4 s s
得到
2 j s 和 2 j s
解毕。
例 例 3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为 ) 1 )( 1 () (2 cs bs as sKs G
试求：
（1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数； （2）当参考输入为 ) ( 1 t r ， ) ( 1 t rt 和 ) ( 12t rt 时系统的稳态误差。
解 解
根据误差系数公式，有 位置误差系数为
) 1 )( 1 (lim ) ( lim20 0cs bs as sKs G Ks sp 速度误差系数为 Kcs bs as sKs s sG Ks sv ) 1 )( 1 (lim ) ( lim20 0 加速度误差系数为 0) 1 )( 1 (lim ) ( lim22020 cs bs as sKs s G s Ks sa 对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。
参考输入为 ) ( 1 t r ，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为 01 1 rKrepss 参考输入为 ) ( 1 t rt ，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为 KrKrevss
参考输入为 ) ( 12t rt ，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 02 2 rKreass
解毕。
例 例 3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为 ) 1 )( 1 (10) (2 1s T s T ss G
输入信号为 r（t）=A+ωt，A 为常量，ω=0.5 弧度/秒。试求系统的稳态误差。
解 解
实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。
此时，输入信号的一般形式可表示为 22 1 021) ( t r t r r t r
系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：
a v pssKrKrKre2 1 01
对于本例，系统的稳态误差为 v pssK KAe1 本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为 1 型系统，所以 pK
10) 1 )( 1 (10lim ) ( lim2 10 0 s T s T ss s sG Ks sv 系统的稳态误差为 05 . 0105 . 010 10 1 1 AK KAev pss
解毕。
例 例 3-21
控制系统的结构图如图 3-37 所示。假设输入信号为 r(t)=at ( a 为任意常数)。
证明：通过适当地调节 K i 的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。
解 解
系统的闭环传递函数为 K Ts ss K Ks Rs Ci ) 1 () 1 () () ( 即
) () 1 () (2s RK s Tss K Ks Ci
因此
R(s) C(s) 图 3-37
例 3-21 控制系统的结构图
K i s+1 ) 1 ( Ts sK
) ( ) ( ) (22s RK s Tss KK s Tss C s Ri
当输入信号为 r(t)=at 时，系统的稳态误差为 KKK aK s TsKK Ts aK s TsKK Ts asaK s Tss KK s Tss ei isisisss) 1 ( )] 1 ( [lim) 1 (lim lim20202 220 要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即 e ss =0，必须满足 0 1 iKK
所以 K K i / 1
解毕。
例 例 3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为1) (TsKK s Ggp。如果要求系统的位置稳态误差 e ss =0，单位阶跃响应的超调量 M p %=4.3%，试问 K p 、 K g 、 T，各参数之间应保持什么关系？ 解 解 开环传递函数 ) 2 ()1(/) 1 () (2nng p g ps sTs sT K KTs sK Ks G
显然 TK Kg pn2
Tn12
解得: 24 / 1 T K Kg p 由于要求 % 3 . 4 % 100 %21 / e Mp 故应有 ξ ≥0.707。于是，各参数之间应有如下关系 5 . 0 T K Kg p 本例为 I 型系统，位置稳态误差 e ss =0 的要求自然满足。解毕。
例 例 3-23 设复合控制系统如图 3-38 所示。其中
1 22 1 K K
， s T 25 . 02
， 13 2 K K
试求 ) ( 1 ) 2 / 1 ( ) (2t t t t r 时，系统的稳态误差。
解 解
闭环传递函数 2 4) 5 . 0 ( 41 ) (22 1222 113 s ssK K s s TK KsKKs
等效单位反馈开环传递函数 2) 1 2 ( 2) ( 1) () (sssss G 表明系统为 II 型系统，且 2 K K a
当 ) ( 1 ) 2 / 1 ( ) (2t t t t r 时，稳态误差为 5 . 0 / 1 a ssK e
解毕。
例 例 3-24
已知单位反馈系统的开环传递函数 ) 1 ( / ) ( Ts s K s G 。
试选择参数 K 及 T的值以满足下列指标：
（1）当 r(t)= t 时，系统的稳态误差 e ss ≤ 0.02； （2）当 r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标 M p %≤30%，t s ≤0.3s (△=5%) 解 解
02 . 01 Ke ss
开环增益应取 K≥50 。现取 K=60 。因 ) 2 ( ) / 1 (/) (2nns s T s sT Ks G
故有
) 1 (22 s T sKsK 3
K 1
C(s) R(s) 图 3-38
复合控制系统
nT 2 / 1 ， T Kn/2
于是
Kn2
取 2 . 0 %pM % ，计算得 456 . 0%) (ln%) (ln2 22ppMM
72 . 54 n
此时 3 . 0 14 . 0 / 5 . 3 n st (S) 满足指标要求。最后得所选参数为：
K=60
T=0.02 (s)
解毕。
例 例 3-25 一复合控制系统如图 3-39 所示。
图中：s Tbs ass Gs T sKs G K s Gr22122 1 11) () 1 () ( ) (
K 1 、K 2 、T 1 、T 2 均为已知正值。当输入量 r(t)= t 2 /2 时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a 和 b 。
解 解
系统闭环传递函数为 2 11 21 2 12 11) (11 ) () (G GG G GGGG GG Gs Rs Cr r
故
) (1) () (2 11 2s RG GG G Gs Cr
误差为
) (11) ( ) ( ) (2 12s RG GG Gs C s R s Er
代入3/ 1 ) ( s s R
及1G 、2G 、rG , 得
R(s) E(s) C(s) G r (s) 图 3-39
复合控制
G 2 (s) G 1 (s)
2 1 2 2 122 132 11 2 122) 1 ( ) (] ) ( [) () (K K s T K K s T T s T TK s T K b as Ks Rs C
闭环特征方程为
0 ) 1 ( ) (2 1 2 2 122 132 1 K K s T K K s T T s T T
易知，在题设条件下，不等式 2 1 2 1 2 2 1 2 1) 1 )( ( T T K K T K K T T
成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数 a 、 b
无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。而 32 1 2 2 122 132 1222 2 132 11) 1 ( ) () 1 ( ) () (s K K s T K K s T T s T Ts b K s a K T T s T Ts E
若
0 1 02 2 2 1 b K a K T T
则有 2 1 2 2 122 132 12 1) 1 ( ) () (K K s T K K s T T s T TT Ts E
系统的稳态误差为 0 ) ( lim0 s sE esss 因此可求出待定参数为
2 22 11KbKT Ta
解毕。
例 例 3-26 控制系统结构如图 3-40 所示。误差 E(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为 2 的阶跃函数。
（1）试求 K=40 时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。
（2）若 K=20，其结果如何？ （3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节 1/s，对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 1/s，结果又如何？
1 05 . 0 sK5 sK2.5 图 3-40
控制系统结构图 C(s) R(s) E(s) N(s)
解 解
在图中，令
1 05 . 01sKG ，512sG ， 5 . 2 H
则
) ( ) ( ) (2 1 2s E G G s N G s C
代入 ) ( ) ( ) ( s HC s R s E ，得
) (1) (1) (2 12 12 12s RH G GG Gs NH G GGs C
令 0 ) ( s R ，得扰动作用下的输出表达式
) (1) (2 12s NH G GGs C n
此时，误差表达式为
) (1) ( ) ( ) (2 12s NH G GH Gs HC s R s En n
即
) (1lim ) ( lim2 120 0s sNH G GH Gs sE esnsssn 而扰动作用下的稳态输出为 ) (1lim ) ( lim ) (2 120 0s sNH G GGs sC Csnsn 代入 N(s)、G 1 、G 2 和 H 的表达式，可得 Kc n5 . 2 12) ( ，Ke ssn5 . 2 15
（1）当 40 K 时， 101 / 2 ) ( nc ， 101 / 5 ssne
（2）当 20 K 时， 51 / 2 ) ( nc ， 51 / 5 ssne
可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。
若 1/s 加在扰动作用点之前，则 ) 1 05 . 0 (1s sKG ，512sG ， 5 . 2 H
不难算得
0 ) ( nc ， 0 ssne
若 1/s 加在扰动作用点之后，则 1 05 . 01sKG ，) 5 (12s sG ， 5 . 2 H
容易求出 时时20
, 50 / 240
, 100 / 25 . 22) (KKKc n
时时20
, 50 / 540
, 100 / 55 . 25KKKe ssn
可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。
解毕。
例 例 3-27 设单位反馈系统的开环传递函数为 ) 2 () (2nns ss G
已知系统的误差响应为 t te e t e73 . 3 07 . 14 . 0 4 . 1 ) (
（t≥0）
试求系统的阻尼比 ξ、自然振荡频率 ω n 和稳态误差 e ss 。
解 解
闭环特征方程为 0 22 2 n n ss
由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函 1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故 t t T t T te e e e t e73 . 3 07 . 1 / /4 . 0 4 . 1 4 . 0 4 . 1 ) (2 1
即，系统时间常数为 93 . 01 T 27 . 02 T
令
2 12 21 12TsTs s sn n
得
2 12 1/ 2/ 1T TT T
2 121T Tn
代入求出的时间常数，得 2 . 1 ， 2 n
稳态误差为 0 ) ( lim t e etss 实际上，I 型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。
第四章 例 例 4 4- - 1 设系统的开环传递函数为 ) 2 )( 1 (2) ( ) ( s s sKs H s G
试绘制系统的根轨迹。
解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。
（1）系统的开环极点为 0 ， 1 ， 2 是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
（2）系统的根轨迹有 3 m n 条渐进线 渐进线的倾斜角为 0 3180 ) 1 2 ( ) 1 2 ( Km nKa
取式中的 K=0，1，2，得 φ a = π /3， π ，5 π /3。
渐进线与实轴的交点为
13) 2 1 0 ( 11 1 miinjj az pm n
三条渐近线如图 4-13 中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1 点之间以及－2 点的左边，如图 4-13 中的粗实线所示。
（4）确定分离点 系统的特征方程式为 0 2 2 32 3 K s s s
即 ) 2 3 (212 3s s s K
利用 0 / ds dK ，则有 0 ) 2 6 (212 3 s sdsdK 解得 423 . 01 s
和
577 . 12 s
由于在－1 到－2 之间的实轴上没有根轨迹，故 s 2 =－1.577 显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为 s 1 =－0.423。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一
利用劳斯判据确定 劳斯行列表为
3s
1
2
2s
3
2 K
1s
32 6 K
0
0s
2 K
由劳斯判据，系统稳定时 K 的极限值为 3。相应于 K=3 的频率可由辅助方程 0 6 3 2 32 2 s K s
确定。
解 之 得 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 为 2 j s 。
根 轨 迹 与 虚 轴 交 点 处 的 频 率 为41 . 1 2
方法二
令 j s 代入特征方程式，可得 0 2 ) ( 2 ) ( 3 ) (2 3 K j j j
即
0 ) 2 ( ) 3 2 (2 2 j K
令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即 0 3 22 K ， 0 22
所以
2
3 K
（6）确定根轨迹各分支上每一点的 K 值 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点 0 与－1 出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2 出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在 K=3 处相交时，可按式 3 ) 41 . 1 0 ( ) 41 . 1 0 ( j jx
求出后一条根轨迹分支上 K=3 的点为 ο x =－3。
由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为
3 ) 423 . 0 ( ) 423 . 0 ( x
所以 ， ο x =－2.154。
因本系统特征方程式的三个根之和为－2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的 K 值。
现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j0 和－2.154，该点的 K 值为 ) 154 . 2 ( ) 423 . 0 ( 22 K
即，K=0.195。
系统的根轨迹如图 4-1 所示。
例 例 4 4- -2 2 设控制系统的开环传递函数为 ) 2 2 )( 3 () 2 ( 3) ( ) (2 s s s ss Ks H s G
试绘制系统的根轨迹。
解 解
（1）系统的开环极点为 0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
（2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为 0 3180 ) 1 2 ( ) 1 2 ( Km nKa
取式中的 K=0，1，2，得 φ a = π /3， π ，5 π /3，或±60°及－180°。
三条渐近线如图 4-14 中的虚线所示。
渐近线与实轴的交点为 11 4) 2 ( ) 1 1 3 0 ( 11 1 j jz pm nmiinjj a
（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2 之间以及极点－3 的左边，如图 4-14 中的粗线所示。从复数极点(－1±j) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。
（4）在实轴上无根轨迹的分离点。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为
图 4-1 例 4-1 系统的根轨迹
S 平面 σ
ω
j
0 ) 2 ( 3 ) 2 2 )( 3 (2 s K s s s s
即
0 6 ) 3 6 ( 8 52 3 4 K s K s s s
劳斯行列表
4s
1
8
K 6
3s
5
K 3 6
2s
5) 3 6 ( 40 K
K 6
1s
KKK3 341503 6
0
0s
6
若阵列中的 s 1 行等于零，即（6+3K）－150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。
解之可得 K=2.34。相应于 K=2.34 的频率由辅助方程 0 34 . 2 30 ) 34 . 2 3 6 ( 402 s
确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为 s=±j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为 ω =1.614。
（6）确定根轨迹的出射角 根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点 p 1 =（－1＋j）出发的根轨迹的出射角为 j) (p ) (p p ) (p ) k ( θ 1 3 2 1 2 1801 1 1 1 将由图 4-14 中测得的各向量相角的数值代入并取 k=0，则得到 6 . 26
系统的根轨迹如图 4-14 所示 。
例 例 4 4- - 3 已知控制系统的开环传递函数为 ) 50 )( 20 )( 5 () 125 . 0 () ( ) (2 s s s ss Ks H s G
试绘制系统的根轨迹。
解 解（1）系统的开环极点为 0，0，－5，－20 和－50，它们是根轨迹各分支的起点。共有五条根轨迹分支。开环零点为－0.125，有一条根轨迹分支终止于此，其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
（2）确定根轨迹的渐近线 渐进线的倾斜角为 1 5180 ) 1 2 ( ) 1 2 ( Km nKa
取式中的 K=0，1，2，3 得 φ a =±45°和 φ a =±135°。
渐近线与实轴的交点为
8 . 184) 125 . 0 ( ) 50 20 5 0 0 ( 11 1 miinjj az pm n
（3）实轴上的根轨迹位于－0.125 和－5 之间以及－20，与－50 之间。
（4）确定根轨迹的分离点和会合点 本例中，系统各零点、极点之间相差很大。例如，零点－0.125 与极点 0 之间仅相距 0.125,而零点－0.125 与极点－50 之间却相差 49.875。因此，可作如下简化：在绘制原点附近的轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的轨迹曲线时，略去零点和一个极点的影响。
(6) 求原点附近的根轨迹和会合点 略去远离原点的极点，传递的函数可简化为 K（s+0.125）/s 2 。零点－0.125 左边实轴是根轨迹，并且一定有会合点。原点处有二重极点，其分离角为±90°。确定会合点的位置。此时，系统的特征方程式为 0 125 . 02 K Ks s
S 平面 ω
j σ
-1 -2 -3 -4 0 j1 j2 j3 -j3 135° 45° 90° 26.6° 图 4-2 例 4-2 系统的根轨迹
或
125 . 02 ssK
利用 0 / ds dK ,则有 0) 125 . 0 () 125 . 0 ( 222 ss s sdsdK 解之可得 s 1 =0.25, 即会合点；s 2 =0，即重极点的分离点。
（B）
求远离原点的根轨迹和分离角 略去原点附近的开环偶极子（零点－0.125 和极点 0），传递函数可简化为 ) 50 )( 20 )( 5 ( / ) (" s s s s K s GH
此时，系统的特征方程式为 0 ) 50 )( 20 )( 5 ( K s s s s
或表示为 ) 50 )( 20 )( 5 (1 s s s sK
利用 0 / ds dK ,则有 0) 50 )( 20 )( 5 (5000 2700 225 422 3 s s s ss s sdsdK 解之可得 s 1 =－2.26 和 s 2 =－40.3。
分离点的分离角为±90°。
注意，在零点－0.125 和极点－5 之间的根轨迹上有一对分离点（－2.26, j0）和(－2.5, j0))。
(5) 确定根轨迹与虚轴的交点 令 j s 代入特征方程式，可得 0 ) 125 . 0 ( ) 50 )( 20 )( 5 ( ) (2 j K j j j j
整理后有
0 5000 752
0 13502 4 K
解之得
16 . 8 ，410 65 . 8 K
系统的根轨迹如图 4-3 所示
例 例 4 4- -4 4 ，设控制系统的结构图如图 4-所示 试证明系统根轨迹的一部分是圆； 解 解
系统的开环极点为 0 和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件 ) 1 2 ( ) ( ) (1 1 K p s n z smi jj i 得
) 1 2 ( ) 2 ( ) 3 ( k s s s
s 为复数。将 j s 代入上式，则有 ) 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( K j j j
即
图 4-3 例 4-3 系统的根轨迹
S 平面 σ
ω
j 图 4-4 控制系统的结构图 R(s) C(s) ) 2 () 3 (s ss K
2tan 180 tan3tan1 1 1 取上述方程两端的正切，并利用下列关系 y xy xy xtan tan 1tan tan) tan(
有 21 1) 3 (3313tan3tan tan 220 1202tan 180 tan1 2 ) 3 (32 即 2 2 2) 3 ( ) 3 (
这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于 3 （注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。证毕。
例 例 4 4- -5 15 已知控制系统的开环传递函数为 ) 16 4 )( 1 () 1 () ( ) (2 s s s ss Ks H s G
试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时 K 值的范围. 解
（1）
系统的开环极点为 0，1 和－2±j3.46,开环零点为－1。
（2）
确定根轨迹的渐近线 渐渐线的倾斜角为
1 4180 ) 1 2 ( ) 1 2 ( Km nKa
取式中的 K=0，1，2，得 φ a = π /3， π ，5 π /3。
渐进线与实轴的交点为 323) 1 ( ) 46 . 3 2 46 . 3 2 1 0 ( 11 1 j jz pm nmiinjj a
（3）
实轴上的根轨迹位于 1 和 0 之间以及－1 与－∞之间。
（4）
确定根轨迹的分离点 系统的特征方程式为 0 ) 1 ( ) 16 4 )( 1 (2 s K s s s s
即 1) 16 4 )( 1 (2 ss s s sK
利用 0 / ds dK ,则有 0) 1 (16 24 21 10 322 3 4 ss s s sdsdK 解之可得，分离点 d 1 =0.46 和 d 2 =－2.22。
（5）
确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为 0 ) 16 ( 12 32 3 4 K s K s s s
劳斯行列表为
4s
1
12
K
3s
3
K 16
2s
352 K
K
1s
KK K K 52832150 592
0
0s
K 若阵列中的 s 1 行全等于零，即
052832150 592 KK K K 系统临界稳定。解之可得 K=35.7 和 K=23.3。
对应于 K 值的频率由辅助方程 03522 K sK 确定。当 K=35.7 时 ，s=±j2.56；当 K=23.3 时 ，s=±j1.56. 根轨迹与虚轴的交点处的频率为 ω =±2.56 和 ω =±1.56。
（6）确定根轨迹的出射角（自复数极点－2±j3.46 出发的出射角）
根据绘制根轨迹基本法则，有 180 ) 1 2 ( 90 5 . 130 120 106 K
因此，开环极点－2±j3.46 的出射角为 θ 1,2 =±54.5°。
系统的根轨迹如图 4-17 所示。
由图 4-17 可见，当 23.3 < K <35.7 时，系统稳定，否则，系统不稳定。
例 例 4 4- -6 6 已知控制系统如图 4-18 所示
图 4-5 例 4-5 系统的根轨迹
S 平面
（1）
试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。
（2）
估算 % 3 . 16 %pM 时的 K 值。
解
4 4) 2 ( ) 2 (16) (sKsKs Gg （1）系统有四个开环重极点：p 1 =p 2 =p 3 =p 4 =0。没有零点。实轴上除－2 一点外，没有根轨迹段。
根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为 248 a
4 4) 1 2 ( Ka， 43
下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。
将根轨迹上任一点 s=s 1 代入幅角方程，有 ) 1 2 ( ) 2 ( 41 K s
即
) 1 2 (41) 2 (1 K s
和渐近线方位角a 的表达式比较，两者相等，于是有 as ) 2 (1 由于 s 1 的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。
系统的根轨迹如图 4-7 所示。
图 4-6 R(s) C(s) 4) 1 5 . 0 ( sK
图知，随着 K g 的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和－j2处。将s = j2代入幅值方程有 1| ) 2 ( |4 sK g 解得开环根增益：K gc =64，开环增益：K c =K g /16=4． 即当 Ｋ ＝４时，闭环系统有一对虚根±j２，系统处于临界稳定的状态。当K>4 时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为 0<K<4。
（2）由超调量的计算公式及指标要求，有 % 3 . 16 %21 e Mp 解得， 5 . 0
即，系统闭环极点的阻尼角为 60 5 . 0 cos cos1 1 。
在 s 平面上做等阻尼线 OA ，使之与负实轴夹角为 β =±60°。
OA 与根轨迹相交于 s 1 点，容易求得，s 1 =－0.73+j1.27，代入幅值方程，有 41 . 10 | ) 2 27 . 1 73 . 0 ( |4 j K g
65 . 0 16 / 41 . 10 K
注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为 s 1 、s 2 是主导极点，忽略 s 3 、s 4 的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。
例 例 4 4- - 7 试用根轨迹法确定下列代数方程的根 0 8 6 4 4 ) (2 3 4 s s s s s D
解
当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。
把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得 03 4) 8 6 (12 3 42 s s ss s K g K g =1 时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为 ) 1 )( 3 () 4 )( 2 () ( ) (2 s s ss s Ks H s Gg
S 平面 σ
图 4-7 例 4-6 系统的根轨迹
j
因为 K g >0, 先做出常规根轨迹。
系统开环有限零点 z 1 =－2，z 2 =－4；开环有限极点为 p 1 =p 2 =0，p 3 =－1，p 3 =－3。
实轴上的根轨迹区间为[-4，-3]，[-2，-1]。
根轨迹有两条渐近线，且 σ a =1， φ a =±90°。
作等效系统的根轨迹如图 4-8 所示。
图知，待求代数方程根的初始试探点可在实轴区间[－4，－3]和[－2，－1]内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余根。
初选 s 1 =－1.45，检查模值 046 . 1| ) 4 )( 2 ( || ) 1 )( 3 ( |1 11 121 s ss s sK g
由于 K g >1 故应增大 s 1 ，选 s 1 =－1.442，得 K g =1.003。
初选 s 2 =－3.08，检查模值得K g =1.589，由于 K g >1，故应增大 s 2 ，选 s 2 =－3.06，得 K g =1.162。经几次试探后，得 K g =0.991 时 s 2 =－3.052。
设
0 ) ( ) 052 . 3 )( 442 . 1 ( ) ( s B s s s D
运用多项式的长除法得 819 . 1 494 . 0 ) (2 s s B
解得 326 . 1 257 . 04 , 3j s 。解毕。
例 例 4 4- - 8 已知负反馈系统的开环传递函数 ) 20 4 )( 4 () ( ) (2 s s s sKs H s Gg 试概略绘制闭环系统的根轨迹。
解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数：
（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为 0，－4，和－2±j4。
（2）轴上的根轨迹区间为[－4，0]。
（3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为 σ a =－2； φ a =±45°，±135° （4）复数开环极点 p 3,4 =－2±j4 处，根轨迹的起始角为 θ p3.4 =±90° （5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程 04 214 2141 1 j d j d d d 解得 21 d ， 6 23 , 2j d
因为
S 平面 j ω
σ
0 -1 -2 -3 -4 图 4-8 例 4-7 系统的根轨迹
21 d
时， 0 64 gK
6 23 , 2j d 时， 0 100 gK
所以，d 1 、 d 2 、d 3 皆为闭环系统根轨迹的分离点。
（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为 0 80 36 8 ) (2 3 4 gK s s s s s D
列写劳斯表如下
4s
1
36
gK
3s
8
80
2s
26
gK
1s
268 26 80gK
0s
K g
当 K g =260 时，劳斯表出现全零...