第 1 讲 力与物体的平衡
知识必备
1.弹力 弹力方向与接触面垂直指向被支持或被挤压物体。杆的弹力不一定沿杆。弹簧的弹力由胡克定律 F＝kx 计算，一般物体间弹力大小按物体受力分析和运动状态求解。
2.摩擦力 方向：摩擦力的方向沿接触面的切线方向，与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
大小：静摩擦力的大小由物体受其他力力的情况运动状态决定，大小 0＜F≤F max ，具体值根据牛顿运动定律或平衡条件求解。滑动摩擦力的大小由公式 F＝μF N 求解。
4.
5.共点力的平衡 共点力的平衡条件是 F 合 ＝0，平衡状态是指物体处于匀速直线运动状态或静止状态。
备考策略 1.研究对象的选取方法：(1)整体法 (2)隔离法 2.受力分析的顺序
一般按照“一重、二弹、三摩擦，四其他”的程序，结合整体法与隔离法分析物体的受力情况。
3.处理平衡问题的基本思路
4.求解平衡问题的常用方法：二力平衡法、合成法、正交分解法、相似三角形法、正弦定理法、图解法等。
力学中的平衡问题 【真题示例 1 (2017·全国卷Ⅱ，16)如图 1，一物块在水平拉力 F 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持 F 的大小不变，而方向与水平面成 60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为(
)
图 1 A.2－ 3
B.36
C.33
D.32 解析 当 F 水平时，根据平衡条件得 F＝μmg；当保持 F 的大小不变，而方向与水平面成 60°角时，由平衡条件得 Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)，联立解得 μ＝33，故选项 C 正确。
答案 C 【真题示例 2】
(2017·全国卷Ⅲ，17)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距 80 cm 的两点上，弹性绳的原长也为 80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为 100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上
的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)(
) A.86 cm
B.92 cm
C.98 cm
D.104 cm 解析 设弹性绳的劲度系数为 k。挂钩码后，弹性绳两端点移动前，左、右两段绳的伸长量 ΔL＝ 100 cm－80 cm2＝10 cm，两段绳的弹力 F＝kΔL，对钩码受力分析，如图甲所示，sin α＝ 45 ，cos α＝35 。根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力为 G＝2kΔLcos α。将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时，受力图如图乙所示。设弹性绳伸长量为 ΔL′，弹力为 F′＝kΔL′，钩码的重力为 G＝2kΔL′，联立解得 ΔL′＝ 35 ΔL＝6 cm。弹性绳的总长度变为 L 0 ＋2ΔL′＝92 cm，故 B 正确，A、C、D 错误。
甲
乙 答案 B 【真题示例 3】
(2017·全国卷Ⅰ，21)如图 2，柔软轻绳 ON 的一端 O 固定，其中间某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N，初始时，OM 竖直且 MN 被拉直，OM 与 MN 之间的夹角为 α(α＞ π2 )。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 α不变。在 OM 由竖直被拉到水平的过程中(
)
图 2 A.MN 上的张力逐渐增大 B.MN 上的张力先增大后减小 C.OM 上的张力逐渐增大 D.OM 上的张力先增大后减小
解析 以重物为研究对象，受重力 mg、OM 绳上拉力 F 2 、MN 上拉力 F 1 ，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，F 1 、F 2 的夹角为 π－α 不变，在 F 2 转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN 上的张力 F 1 逐渐增大，OM 上的张力 F 2 先增大后减小，所以 A、D 正确，B、C 错误。
答案 AD 真题感悟 1.高考考查特点 (1)共点力的单物体动态平衡及连接体的静态、动态平衡问题是高考命题的热点(2016 年考查了连接体平衡，2017 年考查了单个物体的平衡)。
(2)做好物体的受力分析，画出力的示意图，并灵活运用几何关系和平衡条件是解题的关键。
2.解题常见误区及提醒 (1)不能灵活选取研究对象，不能准确把握求解问题的切入点。
(2)对一些常见物理语言(如轻绳、轻环)不理解其内涵。
(3)不能灵活应用数学关系求解物理问题。
预测 1 共点力平衡条件的应用 预测 2 整体法、隔离法的应用 预测 3 物体的动态平衡 1.(多选)如图 3 所示，在粗糙的水平桌面上静止放着一盏台灯，该台灯可通过支架前后调节从而可将灯头进行前后调节，下列对于台灯的受力分析正确的是(
)
图 3 A.台灯受到水平向左的摩擦力 B.若将灯头向前调一点(台灯未倒)，则桌面对台灯的支持力将变大 C.支架对灯头的支持力方向竖直向上 D.整个台灯所受的合外力为零 解析 以整个台灯为研究对象，台灯受到重力和桌面的支持力，且处于平衡状态，故选项 A 错误，选项 D 正确；根据二力平衡可知灯头所受支架的支持力竖直向上，故选项 C 正确；若将灯头向前调一点(台灯未倒)，台灯仍然处于平衡状态，故桌面对台灯的支持力大小不变，故选项 B 错误。
答案 CD 2.如图 4 所示，一质量为 M、倾角为 θ 的斜面体置于水平面上，一质量为 m 的滑块通过一跨过两定滑轮的轻绳与一重力为 G 的钩码相连(两滑轮间的轻绳水平)，现将滑块置于斜面上，滑块在斜面上匀速上滑，且发现在滑块运动过程中，斜面一直保持不动，则下列说法中正确的是(
)
图 4 A.地面对斜面体的摩擦力方向水平向右，大小为 Gsin θ B.滑块对斜面体的摩擦力方向沿斜面向上，大小为 G－mgcos θ C.地面对斜面体的支持力大小为(M＋m)g＋G D.地面对斜面体的支持力大小为(M＋m)g 解析 以滑块和斜面体为整体进行研究，其受力分析如图甲所示，由平衡条件可知地面对斜面体的支持力大小为 F N ＝(M＋m)g，选项 C 错误，D 正确；地面对斜面体的摩擦力水平向右，大小为 f＝G，故选项 A 错误；再以滑块为研究对象，受力分析如图乙所示，由力的平衡可知斜面体对滑块的滑动摩擦力为 f′＝G－mgsin θ，故选项 B 错误。
答案 D 3.(多选)如图 5 所示，A 为静止在水平地面上的斜面，斜面光滑，轻绳一端与 B球相连，另一端与一轻质弹簧测力计相连，再用另一轻绳与弹簧测力计相连后固定在天花板上，整个装置处于静止状态，B 球靠近斜面底端位置，现用一水平向左的推力 F′缓慢推动斜面。当 B 快要到达斜面顶端时，弹簧测力计接近于水平位置，在推动过程中两轻绳都处于拉伸状态。设斜面对小球的支持力为 F N ，弹簧测力计的示数为 F，则在该过程中下列说法正确的是(
)
图 5 A.F N 与 F 的合力变大 B.F N 与 F 的合力方向始终不变 C.F N 保持不变，F 先增大后减小 D.F N 不断增大，F 先减小后增大 解析 B 球在三个共点力作用下达到平衡状态，其中重力 G 的大小和方向均不发生变化，拉力 F 的方向改变，支持力 F N 方向不变，大小改变。利用力的三角形定则作出如图所示的示意图，由图可知选项 D 正确，C 错误；根据共点力平衡的特点可知 F N 与 F 的合力大小始终等于 B 球的重力 G 的大小，且与 G 方向相反，故选项 A 错误，B 正确。
答案 BD
归纳总结 1.共点力作用下的物体平衡问题，涉及受力分析、力的合成与分解、建立平衡方程等，其思维与解题过程如下：
确定平衡状态（加速度为零）→ 巧选研究对象（整体法或隔离法）→ 受力分析 →画受力图――→将力合成或正交分解作出平行四边形――→平衡条件F 合 ＝0列出平衡方程求解 2.解决动态平衡问题的一般思路：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。动态平衡问题的分析过程与处理方法如下：
电学中的平衡问题 【真题示例 1】
(2017·天津理综，3)如图 6 所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻 R。金属棒 ab 与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab 始终保持静止，下列说法正确的是(
)
图 6 A.ab 中的感应电流方向由 b 到 a B.ab 中的感应电流逐渐减小 C.ab 所受的安培力保持不变 D.ab 所受的静摩擦力逐渐减小 解析 导体棒 ab、电阻 R、导轨构成闭合回路，磁感应强度均匀减小( ΔBΔt＝k 为一定值)，则闭合回路中的磁通量减小，根据楞次定律，可知回路中产生顺时针
方向的感应电流，ab 中的电流方向由 a 到 b，故 A 错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 E＝ ΔΦΔt＝ ΔB·SΔt＝kS，回路面积 S 不变，即感应电动势为定值，根据闭合电路欧姆定律 I＝ ER ，所以 ab 中的电流大小不变，故 B 错误；安培力 F＝BIL，电流大小不变，磁感应强度减小，则安培力减小，故 C 错误；导体棒处于静止状态，所受合力为零，对其受力分析，水平方向静摩擦力 f 与安培力 F 等大反向，安培力减小，则静摩擦力减小，故 D 正确。
答案 D 【真题示例 2】
(2016·全国卷Ⅰ，24)如图 7，两固定的绝缘斜面倾角均为 θ，上沿相连。两细金属棒 ab(仅标出 a 端)和 cd(仅标出 c 端)长度均为 L，质量分别为2m 和 m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路 abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为 R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为 μ ，重力加速度大小为 g，已知金属棒 ab 匀速下滑。求
图 7 (1)作用在金属棒 ab 上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小。
解析 (1)由 ab、cd 棒被平行于斜面的导线相连，故 ab、cd 速度总是大小相等，cd 也做匀速直线运动。设两导线上拉力的大小为 T，右斜面对 ab 棒的支持力的大小为 F N1 ，作用在 ab 棒上的安培力的大小为 F，左斜面对 cd 棒的支持力大小为 F N2 ，对于 ab 棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得
甲
乙 2mgsin θ＝μF N1 ＋T＋F①
F N1 ＝2mgcos θ② 对于 cd 棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得 mgsin θ＋μF N2 ＝T③ F N2 ＝mgcos θ④ 联立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ)⑤ (2)设金属棒运动速度大小为 v，ab 棒上的感应电动势为 E＝BLv⑥ 回路中电流 I＝ ER ⑦ 安培力 F＝BIL⑧ 联立⑤⑥⑦⑧得：v＝(sin θ－3μcos θ) mgRB 2 L 2
答案 (1)mg(sin θ－3μcos θ) (2)(sin θ－3μcos θ) mgRB 2 L 2
真题感悟 1.高考考查特点 电学中的平衡问题是指在电场力、安培力参与下的平衡问题。
处理电学中的平衡问题的方法与纯力学问题的分析方法一样，把方法和规律进行迁移应用。
2.解题常见误区及提醒 (1)安培力方向的判断要先判断磁场方向、电流方向，再用左手定则判断，同时注意立体图转化为平面图。
(2)电场力或安培力的出现，可能会对压力或摩擦力产生影响。
(3)涉及电路问题时，要注意闭合电路欧姆定律的使用。
预测 1 电场力作用下的平衡问题 预测 2 电磁场中的平衡问题 预测 3 电磁感应中的平衡问题 1.如图 8 所示，质量为 m、电荷量为 q 的带电小球 A 用绝缘细线悬挂于 O 点，带有电荷量也为 q 的小球 B 固定在 O 点正下方绝缘柱上，其中 O 点与小球 A 的间距为 l，O 点与小球 B 的间距为 3l，当小球 A 平衡时，悬线与竖直方向夹角 θ＝30°，带电小球 A、B 均可视为点电荷，静电力常量为 k，则(
)
图 8 A.A、B 间库仑力大小 F＝ kq22l 2
B.A、B 间库仑力大小 F＝3mg3 C.细线拉力大小 F T ＝ kq23l 2
D.细线拉力大小 F T ＝ 3mg 解析 带电小球 A 受力如图所示，OC＝32l，即 C 点为 OB 中点，根据对称性AB＝l。由库仑定律知 A、B 间库仑力大小 F＝ kq2l 2，细线拉力 F T ＝F＝ kq2l 2，选项A、C 错误；根据平衡条件得 Fcos 30°＝ 12 mg，得 F＝3mg3，绳子拉力 F T ＝3mg3，选项 B 正确，D 错误。
答案 B
2. (2017·陕西省宝鸡市高三教学质量检测)如图 9 所示，匀强电场的电场强度方向与水平方向夹角为 30°且斜向右上方，匀强磁场的方向垂直于纸面(图中未画出)。一质量为 m、电荷量为 q 的带电小球(可视为质点)以与水平方向成 30°角斜向左上方的速度 v 做匀速直线运动，重力加速度为 g。则(
)
图 9 A.匀强磁场的方向可能垂直于纸面向外 B.小球一定带正电荷 C.电场强度大小为 mgq D.磁感应强度的大小为 mgqv
解析 小球做匀速直线运动，受到的合力为零，假设小球带正电，则小球的受力情况如图甲所示，小球受到的洛伦兹力沿虚线但方向未知，小球受到的重力与电场力的合力与洛伦兹力不可能平衡，故小球不可能做匀速直线运动，假设不成立，小球一定带负电，选项 B 错误；小球的受力情况如图乙所示，小球受到的洛伦兹力一定斜向右上方，根据左手定则，匀强磁场的方向一定垂直于纸面向里，选项 A 错误；根据几何关系，电场力大小 qE＝mg，洛伦兹力大小 qvB＝ 3mg，解得 E＝ mgq，B＝3mgqv，选项 C 正确，D 错误。
答案 C 3.如图 10 所示的平行金属导轨，倾角 θ＝37°，导体棒 MN、PQ 分别与导轨垂直放置，质量分别为 m 1 和 m 2 ，MN 与导轨的动摩擦因数 μ＝0.5，PQ 与导轨无摩
擦，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，装置整体置于方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中，现将导体棒 PQ 由静止释放(设 PQ 离底端足够远)。取 g＝10 m/s 2 ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。试分析 m 1 与 m 2 应该满足什么关系，才能使导体棒MN 在导轨上运动。
图 10 解析 释放 PQ，回路中产生由 P—Q—N—M—P 的感应电流，对 MN 棒受力分析如图甲所示。
令 F 1 cos θ－μ(m 1 g＋F 1 sin θ)＝0，解得 F 1 ＝m 1 g 要使 MN 能够运动必须满足 F 安 ≥m 1 g 两导体棒所受到的安培力大小相同，对 PQ 棒受力分析如图乙所示。
当导体棒 PQ 有最大速度时有 F 2 ＝m 2 gsin θ 即 PQ 受到的安培力 F 安 ≤m 2 gsin θ 故要使导体棒 MN 在导轨上运动须满足 m 2 ≥ 53 m 1
答案 m 2 ≥ 53 m 1
练后反思 (1)电荷在电场中一定受电场力作用，电流或电荷在磁场中不一定受磁场力作用。
(2)分析电场力或洛伦兹力时，一定要注意带电体是正电荷还是负电荷。
平衡中的临界极值问题 【模拟示例】
一个质量为 1 kg 的物体放在粗糙的...
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