选填题(六) 一、单项选择题 1．(2020·山东聊城三模)已知复数z满足z(2＋3i)＝13，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 A 解析 z＝＝＝2－3i，∴＝2＋3i，复数在复平面内对应的点是(2,3)，在第一象限．故选A. 2．设U为全集，非空集合A，B，C满足A⊆C，B⊆∁UC，则下列结论中不成立的是( ) A．A∩B＝∅ B．(∁UA)⊇B C．(∁UB)∩A＝A D．A∪(∁UB)＝U 答案 D 解析 根据已知条件作出Venn图如图所示，结合图形可知，只有D不成立． 3．(2020·湖南湘潭高三下学期三模)已知直线a∥平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a⊥平面β”的( ) A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若直线a∥平面α，平面α⊥平面β，此时直线a与平面β可能平行，所以充分性不成立；
若直线a∥平面α，直线a⊥平面β，则平面α⊥平面β，所以必要性成立．故选B. 4．(2020·山东威海三模)若logab<0(a>0且a≠1)，2b2－b>1，则( ) A．a>1，b>1 B．0<a<1，b>1 C．a>1,0<b<1 D．0<a<1,0<b<1 答案 B 解析 因为2b2－b >1，所以b2－b>0，因为b>0，所以b>1，因为logab<0，b>1，所以0<a<1，故选B. 5．(2020·陕西咸阳第三次模拟)已知抛物线C：y2＝8x，点P，Q是抛物线上任意两点，M是PQ的中点，且|PQ|＝10，则M到y轴距离的最小值为( ) A．9 B．8 C．4 D．3 答案 D 解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，抛物线焦点为F，由C：y2＝8x可知p＝4，∵|PQ|≤|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋p，当且仅当P，F，Q三点共线时等号成立，∴x1＋x2≥10－4＝6，∴PQ的中点M到y轴距离的值为≥3，即M到y轴距离的最小值为3，此时P，F，Q三点共线．故选D. 6．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为( ) A. B． C． D． 答案 D 解析 根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其选择“芯片领域”的概率为＝，故其没有选择“芯片领域”的概率为，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××＝，因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－＝，故选D. 7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且数列{an}满足＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，则S10＝( ) A．1023 B．1024 C．512 D．511 答案 C 解析 因为＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，所以＋＋＋…＋＝2n－3(n≥2)，两式相减得＝2，an＝2n－2(n≥2)，当n＝1时，＝2×1－1，a1＝1，所以an＝所以S10＝1＋1＋2＋…＋28＝1＋＝512. 8．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( ) A.∪(2，＋∞) B.∪(0,2) C．(－∞，0)∪(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D 解析 注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝恰有3个实根即可，令h(x)＝，即y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个不同交点．因为h(x)＝＝当k＝0时，y＝2，如图1，y＝2与h(x)＝有1个交点，不满足题意；
当k＜0时，如图2，y＝|kx－2|与h(x)＝恒有3个不同交点，满足题意；
当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝2(负值舍去)，所以k＞2.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．故选D. 二、多项选择题 9．(2020·山东临沂二模、枣庄三调)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则( ) A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为 答案 CD 解析 因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A错误；
因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；
又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正确；
又cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故D正确．故选CD. 10．(2020·山东日照高三6月联考)已知F是椭圆＋＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d(d>0)的等差数列，则( ) A．该椭圆的焦距为6 B．|FP1|的最小值为2 C．d的值可以为 D．d的值可以为 答案 ABC 解析 由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，故A正确；
a－c≤|FP1|≤a＋c，即2≤|FP1|≤8，故|FP1|的最小值为2，B正确；
设|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成的等差数列为{an}，公差d>0，则a1≥2，an≤8，又d＝，所以d≤≤＝，所以0<d≤，所以d的最大值是，故C正确，D错误．故选ABC. 11．关于函数f(x)＝cosx＋|sinx|有下述四个结论，其中正确的是( ) A．f(x)的最小值为－ B．f(x)在[π，2π]上单调递增 C．函数y＝f(x)－1在[－π，π]上有3个零点 D．曲线y＝f(x)关于直线x＝π对称 答案 CD 解析 f(x)＝cosx＋|sinx|≥－1，A错误；
当x∈[π，2π]时，f(x)＝cosx－sinx＝cos，在[π，2π]上不是单调函数，实际上它在上单调递增，在上单调递减，B错误；
当cosx<0时，f(x)＝cosx＋|sinx|<1，函数y＝f(x)－1无零点，当cosx≥0，即x∈时，注意到f(x)是偶函数，x∈时，f(x)＝cosx＋sinx＝sin，只有f(0)＝f＝1，因此当x∈时，f(0)＝f＝f＝1，函数y＝f(x)－1有3个零点，C正确；
f(2π－x)＝cos(2π－x)＋|sin(2π－x)|＝cosx＋|－sinx|＝cosx＋|sinx|＝f(x)，∴曲线y＝f(x)关于直线x＝π对称，D正确．故选CD. 12.(2020·山东济宁嘉祥县第一中学四模)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作ED⊥AC于D.把△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，连接A1C.翻折过程中，其中正确的结论是( ) A．DE⊥A1C B．存在某个位置，使A1E⊥BE C．若＝21，则BF的长是定值 D．若＝21，则四面体C－EFB体积的最大值为 答案 ACD 解析 由DE⊥DC，DE⊥A1D，DC∩A1D＝D得DE⊥平面A1DC，又A1C⊂平面A1DC，所以DE⊥A1C，A正确；
若存在某个位置，使A1E⊥BE，如图，连接A1A，A1B，因为BE＝AE，所以A1E⊥AB，连接CE，正三角形ABC中，CE⊥AB，CE∩A1E＝E，所以AB⊥平面A1CE，而A1C⊂平面A1CE，所以AB⊥A1C，由选项A的判断有DE⊥A1C，又DE∩AB＝E，DE⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以A1C⊥平面ABC，又DC⊂平面ABC，所以A1C⊥DC，则A1D>CD，这是不可能的，事实上A1D＝AD＝AEcos60°＝AE＝AB＝AC＝CD，B错误；
设M是AC的中点，连接FM，BM，则BM⊥AC，所以BM∥DE，从而BM⊥A1D，因为AD＝AC，M是AC的中点，所以CM＝AM＝2MD，若＝21，即CF＝2FA1，所以FM∥A1D，所以BM⊥FM，且由FM∥A1D得△CFM∽△CA1D，所以＝＝，△ABC的边长为4，则A1D＝1，FM＝×1＝，BM＝2，BF＝＝＝为定值，C正确；
折叠过程中，A1D不变，△BCE不动，当F到平面ABC的距离最大时，四面体C－EFB的体积最大，由选项C的判断知当A1D⊥平面ABC时，F到平面ABC的距离最大且为A1D＝，又S△BCE＝×2×2＝2，所以四面体C－EFB体积的最大值为×2×＝，D正确．故选ACD. 三、填空题 13．(2020·山东师范大学附属中学6月模拟)6的展开式中的常数项为______________．(用数字作答) 答案 240 解析 6展开式的通项公式为Tr＋1＝C·26－r·(－1)r·x6－3r，令6－3r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为C×24＝240. 14．(2020·河北衡水中学质量检测一)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b＝________. 答案 －3 解析 曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，则4a＋＝－5 ①，又y′＝2ax－，所以4a－＝－ ②，由①②解得所以a＋b＝－3. 15．已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，若对任意实数x，恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2)，则cos(α1－α2)＝________. 答案 － 解析 显然f(α1)为最小值，f(α2)为最大值．因为f(x)＝cos2x＋sinx＝1－2sin2x＋sinx＝－22＋，而－1≤sinx≤1， 所以当sinx＝－1时，f(x)取得最小值，当sinx＝时，f(x)取得最大值，所以sinα1＝－1，sinα2＝，所以cosα1＝0，则cos(α1－α2)＝cosα1cosα2＋sinα1sinα2＝－. 16．(2020·山东省实验中学高三6月模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是________． 答案 (5，＋∞) 解析 如图，作出函数f(x)＝|ln x|的图象，由f(a)＝f(b)得，f(a)＝－ln a＝f(b)＝ln b， ∴ln a＋ln b＝ln ab＝0，ab＝1，∴0<a<1，b>1，∴a＋4b＝a＋，由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，故a＋4b＝a＋>5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
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