定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例 1】 若表示，求的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：
5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】 【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；
6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7 【答案】 【巩固】 设△，那么，5△______，(5△2) △_____. 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 , 【答案】 【巩固】 、表示数，表示，求3(68) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 【答案】 【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,,那么 . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 【答案】 【巩固】 表示 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式 【答案】 【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；
若a=b，则a☆b=a－b＋1；
若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 19 【答案】 【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8， 可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006 【答案】 【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝（m是一个确定的整数）。如果14＝23，那么34等于________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 根据14=23，得到，解出m=6。所以，。
【答案】 【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：,求2△9。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市 ，迎春杯 【解析】 根据定义 于是有 【答案】 【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：
，已知 ，求。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据题意得 ，所以 【答案】 【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: = . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2. 原式. 【答案】 【巩固】 x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11. 【答案】 【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】 【例 5】 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：的结果是多少？ 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 【答案】 【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 【答案】 【巩固】 我们规定：AB表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，决赛 【解析】 根据题目要求计算如下：
【答案】 【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】 【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。
【答案】 【巩固】 如果,那么 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】 【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________. 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，六年级，决赛 【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981 【答案】 【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；
羊△狼=狼；
狼△羊=狼；
狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；
羊☆狼=羊；
狼☆羊=羊；
狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以 原式=狼 【答案】狼 【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警察小偷警察，警察小偷小偷． 那么：（猎人小兔）（山羊白菜）
． 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，4年级 【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜 【答案】白菜 模块二、反解未知数型 【例 10】 如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= . 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 依题意,得,解得. 【答案】 【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= . 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为4※1=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9. 【答案】 【巩固】 如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6. 【答案】 【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】 【例 11】 定义新运算为，⑴求的值；
⑵若则x的值为多少？ 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴因为，所以 ⑵，，所以x的值为4.4. 【答案】⑴ ⑵ 【巩固】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？ 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一：由题中所给定义可知，为多少，则就有多少个乘数．，即：602，则；
，即33,所以． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，，即33，所以． 【答案】 【例 12】 定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，．在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？ 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 ，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是；
如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是．因此所填的数可能是100和101． 【答案】和 【巩固】 如有#新运算，#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如；
2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，则可以是________（小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学，入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法. 第一步先把（21#）看成一个整体.对于21#5，这个式子，一方面可把21作被除数，则等 于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；
另一方面可把21作除数， 这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由所 代表的式子（21#）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.现在只剩下8，与16. 第二步求：（21#）8与（21#）16.对于（21#）8可分别解得，把21作被除数时：13， 把21作除数时为：29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）. 对于（21#）16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37． 【例 13】 已知、满足，；
其中表示不大于的最大整数，表示 的小数部分，即，那么 。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6年级，第3题 【解析】 根据题意，是整数，所以也是整数，那么，由此可得，所以，。
【答案】 【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为 ．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6年级，决赛 【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12. 所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种；
7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；
8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；
9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种 【答案】11,20,27,36,45 模块三、观察规律型 【例 15】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算 （3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075 【答案】 【巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415. 【答案】 【例 16】 有一个数学运算符号，使下列算式成立：
，，，，求 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过对，，，这几个算式的观察，找到规律：
，因此 【答案】 【巩固】 规定△, 计算：（2△1）（11△10）______. 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义． a△b就变成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，则原式＋＋＋…＋． 这里需要补充一个公式：． 【答案】 【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，． ；
＝ ． 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，5年级，决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。
所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】 模块四、综合型题目 【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2， △，根据这几个算式找规律，如果 △=1，那么= . 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，五年级，决赛 【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2, 所以 △x=，即 【答案】 【例 19】 如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴；
⑵。
现在规定一种运算“*“，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：
。
例：
请你举例说明，“*“运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5) (4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律 [(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69) 所以“*”不满足结合律 【答案】 “*”满足交换律 “*”不满足结合律 【例 20】 用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1 【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按“中→左→右“的顺序。如：图A表示：2+3， B表示2+3×2－1。图C中表示的式子的运算结果是________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2 【答案】 【例 22】 表示成;表示成. 试求下列的值: (1) (2) (3); (4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1); (2); (3)因为,所以; (4)略 【答案】(1) (2)81 (3) (4) 令则. . 【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得 , 所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得 解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4. 【答案】 【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值. 分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后， l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a. (1△2）*3=a*3，按“*”的定义：
a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值， 通过（2*3）△4=64求出 k的值. 因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
，（舍去）
①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k 有36k=64，解出，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，这组值应舍去。
所以m=l，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10. 【答案】 【例 24】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：
，其中、表示自然数.⑴求1100的值；
⑵已知1075，求为多少？⑶如果（3）2121，那么等于几？ 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴1100 ⑵x1075,解得x3 ⑶方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．，即：602121，则x360；
，即19360,所以x19． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2, 所以y60，那么也就有x360，，即19360，所以x19． 【答案】 【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x; (3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)1991☉2000=9; 由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1. (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9. 2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19. 方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14. 当y=7时,分两种情况解19☉x=7. 1) x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12. 2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45. 当y=14时,分两种情况解19☉x=14. 1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的. 2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33. 总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解, x=12,26,33,45. 【答案】(1)；
；
(2) x=3,9,13. (3) x=12,26,33,45. 【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※b. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4). (2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)按照定义有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※. (2)由已知得① 若a≥6,则≥2,从而与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求. 【答案】(1) (2※3)※4；
2※(3※4). (2) a=3 【巩固】 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b. 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68. (1)求12⊙21,5⊙15; (2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b; (3)已知6⊙x=27,求x的值. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3, 因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10. (2)略 (3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为 6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见 6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3. 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到. 所以. 【答案】(1)；
(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小 公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b. 如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知, 整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b. (3) 【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；
7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n ____. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，⊙后面的数表示加数的个数，于是，即 . 【答案】 【例 26】 喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求个正整数的值。当它依次按了得到数字。而当它依次按时，惊讶地发现得到的数值却是。这时喜羊羊才明白计算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正确的结果为 。（填出所有可能情况）
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题 【解析】 ，，则，，则， 则，，或，或 【答案】或 【例 27】 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
；
。
所以该书号的核检码是2. 【答案】 【例 28】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：.请在图2中用粗线画出对应于算式：的路线． 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2003年，希望杯 【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要减去2，向右前进一格要加上2. 【答案】
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