第三章 多维随机变量及其分布
1.[一] 在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。考虑两种试验:(1)放回抽样,(2)不放回抽样。我们定义随机变量X,Y如下:
试分别就(1)(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律。
解:(1)放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)
P (X=0, Y=0 )=
P (X=0, Y=1 )=
P (X=1, Y=0 )=
P (X=1, Y=1 )=
或写成
X
Y 0 1 0 1 (2)不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=
P {X=0, Y=1 }=
P {X=1, Y=0 }=
P {X=1, Y=1 }=
或写成
X
Y 0 1 0 1 3.[二] 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。
X
Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 解:(X,Y)的可能取值为(i, j),i=0,1,2,3, j=0,12,i + j≥2,联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
P {X=1, Y=1 }=
P {X=1, Y=2 }=
P {X=2, Y=0 }=
P {X=2, Y=1 }=
P {X=2, Y=2 }=
P {X=3, Y=0 }=
P {X=3, Y=1 }=
P {X=3, Y=2 }=0
5.[三] 设随机变量(X,Y)概率密度为
(1)确定常数k。 (2)求P {X<1, Y<3}
(3)求P (X<1.5} (4)求P (X+Y≤4}
分析:利用P {(X, Y)∈G}=再化为累次积分,其中
解:(1)∵,
(2)
(3)
(4)
6.(1)求第1题中的随机变量(X、Y )的边缘分布律。
(2)求第2题中的随机变量(X、Y )的边缘分布律。
解:(1)① 放回抽样(第1题)
X
Y 0 1 0 1 边缘分布律为
X 0 1 Y 0 1
Pi· P·j
② 不放回抽样(第1题)
X
Y 0 1 0 1 边缘分布为
X 0 1 Y 0 1
Pi· P·j
(2)(X,Y )的联合分布律如下
X
Y 0 1 2 3 0 0 0 3 0 0
解: X的边缘分布律 Y的边缘分布律
X 0 1 2 3 Y 1 3
Pi· P·j
7.[五] 设二维随机变量(X,Y )的概率密度为
解:
8.[六] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求边缘概率密度。
解:
9.[七] 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)试确定常数c。(: l=
15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。
解:放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =
P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=
P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=
P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下,X和Y是独立的不放回抽样的情况:
P {X=0, Y=0 } =
P {X=0}=
P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
P {X=0}·P {Y=0} =
P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
∴ X和Y不独立
16.[十四] 设X,Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布。Y的概率密度为
(1)求X和Y的联合密度。(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
解:(1)X的概率密度为
Y的概率密度为
且知X, Y相互独立,
于是(X,Y)的联合密度为
(2)由于a有实跟根,从而判别式
即: 记
19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为
并设各周的需要量是相互独立的,试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。
解:(1)设第一周需要量为X,它是随机变量
设第二周需要量为Y,它是随机变量
且为同分布,其分布密度为
Z=X+Y表示两周需要的商品量,由X和Y的独立性可知:
∵ z≥0
∴ 当z<0时,fz (z) = 0
当z>0时,由和的概率公式知
∴
(2)设z表示前两周需要量,其概率密度为
设ξ表示第三周需要量,其概率密度为:
z与ξ相互独立
η= z +ξ表示前三周需要量
则:∵η≥0, ∴当u<0, fη(u) = 0
当u>0时
所以η的概率密度为
22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,20)分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解:设X1,X2,X3,X4为4只电子管的寿命,它们相互独立,同分布,其概率密度为:
设N=min{X1,X2,X3,X 4}
P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}
=P {X>180}4={1-p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063
27.[二十八] 设随机变量(X,Y)的分布律为
X
Y 0 1 2 3 4 5 0
1
2
3 0
0.01
0.01
0.01 0.01
0.02
0.03
0.02 0.03
0.04
0.05
0.04 0.05
0.05
0.05
0.06 0.07
0.06
0.05
0.06 0.09
0.08
0.06
0.05 (1)求P {X=2|Y=2},P {Y=3| X=0}
(2)求V=max (X, Y )的分布律
(3)求U = min (X, Y )的分布律
解:(1)由条件概率公式
P {X=2|Y=2}=
=
=
同理 P {Y=3|X=0}=
(2)变量V=max{X, Y }
显然V是一随机变量,其取值为 V:0 1 2 3 4 5
P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0
P {V=1}=P {X=1,Y=0}+ P {X=1,Y=1}+ P {X=0,Y=1}
=0.01+0.02+0.01=0.04
P {V=2}=P {X=2,Y=0}+ P {X=2,Y=1}+ P {X=2,Y=2}
+P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1}
=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
P {V=3}=P {X=3,Y=0}+ P {X=3,Y=1}+ P {X=3,Y=2}+ P {X=3,Y=3}
+P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2}
=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
P {V=4}=P {X=4,Y=0}+ P {X=4,Y=1}+ P {X=4,Y=2}+ P {X=4,Y=3}
=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
P {V=5}=P {X=5,Y=0}+ …… + P {X=5,Y=3}
=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28
(3)显然U的取值为0,1,2,3
P {U=0}=P {X=0,Y=0}+……+ P {X=0,Y=3}+ P {Y=0,X=1}
+ …… + P {Y=0,X=5}=0.28
同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17
或缩写成表格形式
(2) V 0 1 2 3 4 5
Pk 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
(3) U 0 1 2 3
Pk 0.28 0.30 0.25 0.17
(4)W=V+U显然W的取值为0,1,……8
P{W=0}=P{V=0 U=0}=0
P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}
∵ V=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能
上式中的P{V=0,U=1}=0,
又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2
故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1,U=0}=0.2
P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1,U=1}
= P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}
=0.03+0.01+0.02=0.06
P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2,U=1}
= P{X=3 Y=0}+ P{X=0,Y=3}+P{X=2,Y=1}
+ P{X=1,Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13
P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3,U=1}+P{V=2,U=2}
=P{X=4 Y=0}+ P{X=3,Y=1}+P{X=1,Y=3}
+ P{X=2,Y=2} =0.19
P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5,U=1}
+P{V=3,U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5,Y=1}
+P{X=3,Y=2}+ P{X=2,Y=3} =0.24
P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4,U=2}
+P{V=3,U=3} =P{X=5,Y=1}+ P{X=4,Y=2}
+P{X=3,Y=3} =0.19
P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4,U=3}
=P{V=5,U=2} +P{X=4,Y=3}=0.6+0.6=0.12
P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5,Y=3}=0.05
或列表为
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
[二十一] 设随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)试确定常数b;(2)求边缘概率密度fX (x),fY (y)
(3)求函数U=max (X, Y)的分布函数。
解:(1)
∴
(2)
(3)Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {)=P {X ≤ u, Y ≤ u}
=F (u, u)=
u<0, FU (u) = 0
蚅肂
35
y
2
x+y=4
1
x
o
x=y
y
x
o
y
o
y=x2
x
y=x2
1
x
D
y
o