18.1.2 平行四边形的判定（二）
A组基础训练 1．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A、B间的距离是（ ）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米 2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30° 4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11 5．如图所示，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE＝ ． 6．如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 ． 7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是 ． 8．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数）． 9．如图，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点． （1）若DE＝10cm，则AB＝ ． （2）求证：AD与EF互相平分． 10．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH． （1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）请证明你的结论． B组自主提高 11．如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝ ． 13．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 14．如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点H．求证：GH∥BC且GH＝BC． C组综合运用 15．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系． 参考答案与试题解析 A组基础训练 1．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A、B间的距离是（ ）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米 【分析】根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【解答】解：∵D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线， ∴DE＝AB， ∴AB＝2DE＝2×14＝28米． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C． 【解答】解：由题意得，∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝70°， ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠C＝∠AED＝70°． 故选：C． 3．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PF＝BC，PE＝AD， ∵AD＝BC， ∴PF＝PE， 故△EPF是等腰三角形． ∵∠PEF＝30°， ∴∠PEF＝∠PFE＝30°． 故选：D． 4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11 【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长． 【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝＝5， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD， ∵AD＝6， ∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3， ∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11． 故选：D． 5．如图所示，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE＝ 4 ． 【分析】易得DE是△ABC的中位线，那么DE应等于BC长的一半． 【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE＝BC＝4． 故答案为4． 6．如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 5 ． 【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE＝AC，同理有EF＝AB，DF＝BC，于是易求△DEF的周长． 【解答】解：如上图所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AC， 同理有EF＝AB，DF＝BC， ∴△DEF的周长＝（AC+BC+AB）＝×10＝5． 故答案为5． 7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是 9 ． 【分析】根据平行四边形的性质得出DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，求出OE＝CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD），代入求出即可． 【解答】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO， ∴OE＝CD， ∵△BCD的周长为18， ∴BD+DC+BC＝18， ∴△DEO的周长是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD）＝×18＝9， 故答案为：9． 8．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数）． 【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可． 【解答】解：在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点， 可得：P1M1＝，P2M2＝，故PnMn＝， 故答案为：
9．如图，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点． （1）若DE＝10cm，则AB＝ 20cm ． （2）求证：AD与EF互相平分． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理可以得到DF∥AE，DF＝AE，则四边形AFDE是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE＝AB， ∵DE＝10cm， ∴AB＝20（cm）， 故答案为：20cm；
（2）∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点， ∴DF∥AE，DF＝AE＝AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴AD与EF互相平分． 10．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH． （1）这个中点四边形EFGH的形状是 平行四边形 ；
（2）请证明你的结论． 【分析】（1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形；
（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG＝EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；
【解答】解：（1）平行四边形． （2）证明：连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF＝AC， 同理HG∥AC，HG＝AC， 综上可得：EF∥HG，EF＝HG， 故四边形EFGH是平行四边形． B组自主提高 11．如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D． 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【解答】解：如图， ∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线， ∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝， ∴第二个三角形的周长是， 同理可得，第三个三角形是， …… ∴第2021个三角形的周长是， 故选：D． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝ 3 ． 【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM＝CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN＝CM，根据直角三角形的性质得到CM＝AB＝3，等量代换即可． 【解答】解：连接CM， ∵M、N分别是AB、AC的中点， ∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD， ∴MN＝CD，又MN∥BC， ∴四边形DCMN是平行四边形， ∴DN＝CM， ∵∠ACB＝90°，M是AB的中点， ∴CM＝AB＝3， ∴DN＝3， 故答案为：3． 13．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 3 ． 【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3． 【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN， ∴EF＝DN， ∴DN最大时，EF最大， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN＝DB＝＝6， ∴EF的最大值为3． 故答案为3． 14．如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点H．求证：GH∥BC且GH＝BC． 【分析】可先证明四边形ABFE是平行四边形，四边形EFCD是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出GH是△BEC的中位线，根据中位线的定理即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AE＝BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AF与BE互相平分， ∴G点是BE的中点， 同理可证：DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴DF与CE互相平分， ∴H点是CE的中点， ∴GH是△BEC的中位线， ∴GH∥BC， ∴GH＝BC． C组综合运用 15．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系． 【分析】（1）先证明AB＝AD，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题． （2）结论：EF＝（AB﹣AC），先证明AB＝AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E， ∴△ABD是等腰三角形， ∴BE＝DE， ∵BF＝FC， ∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）． （2）结论：EF＝（AB﹣AC）， 理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P． ∵AE⊥BP， ∴∠AEP＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°， ∵∠BAE＝∠PAE， ∴∠ABE＝∠ADE， ∴AB＝AP， ∵AE⊥BD， ∵E为BP的中点， ∴BE＝PE， ∵点F为BC的中点， ∴BF＝FC， ∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
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