3.3 多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布
以二维为例讨论,设二维随机变量的取值为 随机变量
的取值为. 令,则
例3.3.2(泊松分布的可加性)设 且与相互独立.证明
证明:略.
注 证明过程用到离散场合下的卷积公式,这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”,对有限个独立泊松变量有
例3.3.3(二项分布的可加性)设且与相互独立.证明
证明 略.
注:(1)该性质可以推广到有限个场合
(2)特别当时,
这表明,服从二项分布的随机变量可以分解成个相互独立的0-1分布的随机变量之和.
二、最大值与最小值的分布
例3.3.4(最大值分布)设是相互独立的个随机变量,若设在以下情况求的分布:
(1)
(2)同分布,即
(3)为连续随机变量,且同分布,即的密度函数为
(4)
解 略.
注 这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路.
例3.3.5(最小值分布)设是相互独立的个随机变量;若,试在以下情况下求的分布:
(1)
(2)同分布,即
(3)为连续随机变量,且同分布,即的密度函数为
(4)
解 略.
注 这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路.
三、 连续场合的卷积公式
定理3.3.1设与是两个相互独立的连续随机变量,其密度函数分别为、,则其和的密度函数为
证明 略.
本定理的结果就是连续场合下的卷积公式.
例3.3. 6(正态分布的可加性)
设且与相互独立.证明
证明 略
注 任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量.
四、变量变换法
1、变量变换法
设的联合密度函数为,函数有连续偏导数,且存在唯一的反函数,其变换的雅可比行列式
若 则的联合密度函数为
这个方法实际上就是二重积分的变量变换法,其证明可参阅数学分析教科书.
例3.3. 9设与独立同分布,都服从正态分布
,记
试求的联合密度函数.是否相互独立?
解 略.
2、增补变量法
增补变量法实质上是变换法的一种应用:为了求出二维连续随机变量的函数的密度函数,增补一个新的随机变量,一般令或.先用变换法求出的联合密度函数 ,再对关于v积分,从而得出关于的边际密度函数.
例3.3.10(积的公式) 设与相互独立,其密度函数分别为 和.则的密度函数为
证 略.
例3.3.11(商的公式) 设与相互独立,其密度函数分别为和,则的密度函数为
证 略.
注 例3.3.10和例3.3.11的结果可以直接用来解题.