材料分析题
例1．如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.
解：⑴四位“和谐数”：1111，2222，3443，1221等
任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：
设四位“和谐数”是，则满足：
个位到最高位排列：
最高位到个位排列：
由题意，两组数据相同，则：
则所以四位“和谐数”能被11整数
又由于的任意性，故任意四位“和谐数”都可以被11整除
⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：
个位到最高位排列：
最高位到个位排列：
由题意，两组数据相同，则：
故
为正整数
故
练习：
1、若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如，，都是对称数．最小的对称数是，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：的逆序数为，，是一个对称数；的逆序数为，，的逆序数为，，是一个对称数．
（1）请你根据以上材料，求以产生的第一个对称数；
（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被整除；
（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？
2.对于任意一个多位数，如果他的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与他自身除以这个正整数n所得余数相同，我们就称这个多位数是n的“同余数”，例如：对于多位数1345，，且，则1345是3的“同余数”.
判断四位数是否是7的“同余数”,并说明理由.
小明同学在研究“同余数”时发现，对于任意一个四位数如果是5的“同余数”，则一定满足千位、百位、十位这三位上数字之和是5的倍数. 若有一个四位数，其千位上的数字是十位的上数字的两倍，百位上的数字比十位上的数字大1，并且该四位数是5的“同余数”，且余数是3，求这个四位数.
3、把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
,
所以23和91都是“快乐数”．
(1)13 填(“是”或“不是”)快乐数”；最小的三位“快乐数”是 ；
(2)若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为l，求出这个“快乐数”；
(3)请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到l6．
例2．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
，
，
所以32和70都是“快乐数”．
（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；
（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．
解：（1）最小的两位“快10，（1分） 19是快乐数．?2分
证明：由题意只需证明数字4经过若干次运算后都不会出现数字1．因为
37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4． （5分）
（2）设三位“快乐数”为，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以，又因为
，所以当时，因为
（1）当，，三位“快乐数”为130，103
（2）当，，
（3）当，，三位“快乐数”为310，301
同理当时，因为，?所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八个.………8分
又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．?（10分）
4、我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；
（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
5、阅读下列材料解决问题：
材料： HYPERLINK "/view/64778.htm" \t "/_blank" 古希腊著名 HYPERLINK "/view/66827.htm" \t "/_blank" 数学家毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成 HYPERLINK "/view/5670.htm" \t "/_blank" 三角形，则称像这样的数为三角形数.
把数 1，3，6，10，15，21……换一种方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
……
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，……叫做三角形数“名副其实”．
（1）设第一个三角形数为，第二个三角形数为，第三个三角形数为，请直接写 出第个三角形数为的表达式（其中为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和与2的大小关系并说明理由．
6．先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数相乘：。如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为。一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为。
问题：（1）计算以下各对数的值
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论。
7、阅读材料：
材料1．若一元二次方程的两根为，则，
材料2．已知实数满足、，且，求的值．
解：由题知是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得
，
∴
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程的两根为，则= ，= . ．
（2）已知实数满足、，且，求的值．
（3）已知实数满足、，且，求的值
8．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为：「」，即「」=+，（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（2，－3），的勾股值「」、「」；
（2）点在正比例函数的图像上，且「」= 6，求点的坐标．
9、对于平面直角坐标系中的任意两点，我们把叫做、两点间的直角距离。
（1）已知点，点，则 ；
（2）已知点，点，且，则 ；
（3）已知点，点，则的最小值为 ；
（4）设是一定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离。试求点到直线的直角距离。
10、在平面直角坐标系中，有很多点的横坐标和纵坐标相等，我们把这样的点定义为“梦之点”，比如：、、、根据上述信息，完成下列问题：
（1）请直接写出反比例函数上的所有“梦之点”的坐标为 ；
（2）若一次函数的图象上只存在一个“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标；
（3）若二次函数的图象上存在两个不同的“梦之点” 、，请求出的值。
10、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），
n
x
（-2，-2）…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（m，5）是反比例函数y=
（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）一次函数y=2kx-1（k为常数，k≠0）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），令t=b2+4a，当-2＜b＜2时，求t的取值范围．
（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个不同的“梦之点”A（c，c），
∴关于c的二元一次方程c=ac2+bc+1有唯一解，
则△=（b﹣1）2﹣4a=0，
得4a=（b﹣1）2，
代入t=b2+4a，得t=2b2﹣2b+1，
是关于b的抛物线，其中自变量b的取值范围是﹣2＜b＜2，
由图可知t的取值范围是≤t＜13．
（2015?诸暨市模拟）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），（），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+k﹣，y=nx+2（k，n为常数）的图象上存在相同的“梦之点”，请求出“梦之点”的坐标和n的值；
（3）若二次函数y=ax2﹣ax+1（a是常数）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且|x1﹣x2|=2，试求二次函数的顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【专题】新定义．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；
（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，设“梦之点”是（b，b），得关于b的方程，根据解方程，求得“梦之点”，然后代入y=nx+2即可求得n的值．
（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2﹣ax+1，得到ax12﹣（a+1）x1+1=0，ax22﹣（a+1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2﹣（a+1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1?x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=（）2﹣=4，整理得出a的值，然后把二次函数解析式画出顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，
∴m=2，
∴P（2，2），
∴n=2×2=4，
∴这个反比例函数的解析式为y=；
（2）函数y=3kx+k﹣（k≠1）的图象上有“梦之点”，设“梦之点”是（b，b），
把（b，b）代入y=3kx+k﹣（k≠1）得b=3kb+k﹣．
化简，得b﹣3kb=k﹣．
解得b=﹣，
即“梦之点”是（﹣，﹣），
代入y=nx+2得﹣=﹣n+2，
解得n=7；
（3）∵二次函数y=ax2﹣ax+1（a是常数）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1=ax12﹣ax1+1，x2=ax22﹣ax2+1，
∴ax12﹣（a+1）x1+1=0，ax22﹣（a+1）x2+1=0，
∴x1，x2是一元二次方程ax2﹣（a+1）x+1=0的两个不等实根，
∴x1+x2=，x1?x2=，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=（）2﹣=4，
∴3a2+2a﹣1=0，解得a1=，a2=﹣1，
当a=时，抛物线为y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，
∴二次函数的顶点坐标为（，）；
当a=﹣1时，抛物线为y=﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+，
∴二次函数的顶点坐标为（，）．
综上，二次函数的顶点坐标为（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，有一定难度．
11、阅读材料：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点A (，)，
，由勾股定理可得：，我们把
叫做A、B两点之间的距离，记作
．
例题:在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(x，0)．
①A(0，2)，B (3，-2)，则AB= ▲ ．；PA = ▲ ．；
解：由定义有；．
②表示的几何意义是 ▲ ．；表示的几何意义是 ▲ ．．
解：因为，所以表示的几何意义是点到点的距
离；同理可得，表示的几何意义是点分别到点(0，1)和点(2，3)的距离和．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
(1)如图，已知直线与反比例函数(＞0)的图像交于两点，
则点A、B的坐标分别为A( ， )，B( ， )，AB= ．
(2)在(1)的条件下，设点，则表示的几何意义
是 ；试求的最小值，以及取得最小值时点P
的坐标．
12、把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式，如何将表示成部分分式？
设分式，将等式的右边通分得：
由得,所以.
（2）请用上述方法将分式写成部分分式的和的形式.
阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 .
②方程的解为 .
（2）解关于方程： （）
13．观察下列方程及其解的特征：
①的解为，；
②的解为，；
③的解为，；
……
解答下列问题：
(1)根据解的特征，猜测方程的解为 ，并写出解答过程；
(2)直接写出关于的分式方程的解为 .
14、对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围。
15、阅读理解，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
⑴= ；
⑵计算：
⑶已知实数，满足行列式，则代数式的值．
14、阅读下面的情景对话，然后解答问题：
(1)①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”·请判断小红提出的命
题是否正确，并填空 ▲ (填“正确”或“不正确”)；
②若某三角形的三边长分别是2、4、，则是奇异三角形吗? ▲ (填“是”或“不是”)；
(2)①若是奇异三角形，且其两边长分别为2、，则第三边的边长为 ▲ ；且此直角三角
形的三边之比为 ▲ (请按从小到大排列)；
②在中，．AB=c，AC=b．BC=a，且b＞a，若是奇异三角
形．求a：b：c；
(3)如图，中，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，
且满足AE=AD，CE=CB．
①求证：是奇异三角形；
②当是直角三角形时，求的度数．
、请阅读下列材料：
问题：如图（2），一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的先端AC。如下图（2）所示：
设路线1的长度为，则
比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！路线2：高线AB + 底面直径BC。如上图（1）所示：
比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！
设路线2的长度为，则
∴ ∴； 所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算：
路线1：___________________；
路线2：__________
∵ ∴ ( 填>或<)； 所以应选择路线____________(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短。
2、阅读材料：
如图（6）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P.
DPBCA图7
D
P
B
C
A
图7
图（6）
P
A
C
B
D
证明：AC⊥BD→
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB==
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为_____________________________________________；
（2）已知：如图（7），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.
3、阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
4、阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=，sinc=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有 ．
∴………………（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步，由条件 ∠B；
第二步，由条件 ∠C；
第三步，由条件 c．
（2）一货轮在C处测得灯塔A 在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确到0.1．参考数据：sin=0.643，sin=0.906， sin=0.904，sin=0.966）．
对于钝角，定义它的三角函数值如下：
,,
（1）求、、的值.
（2）若一个三角形的三个内角的比是︰︰，、是这个三角形的两个顶点，、是方程的两个不相等的实数根，求、的值及∠和∠的大小.
九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么＝，于是原方程可变为……①，解这个方程得：y1＝1，y2＝5．当y＝1时，＝1，∴ x＝土1；当 y＝5时，＝5，∴ x＝土。所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－。
⑴ 在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
⑵ 解方程时，若设y＝，则原方程可化为 ．并求出方程的解。
8、阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二
次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其
解法如下：
解：由②得：y=2x-5 ③
将③代入①得：
整理得：，解得，
将，代入③得，
原方程组的解为，.
(1)请你用代入消元法解二元二次方程组：；
(2)若关x,y的二元二次方程组 有两组不同的实数解，
求实数a的取信范围．
先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.
如“2+2”分法：
如“3+1”分法：
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：
分解因式：；
分解因式：；
分解因式：.
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