列方程组解应用题 教学目标 1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量 2、用代数法来表示各个量：利用“”表示出所有未知量或变量 3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）
知识精讲 一、列方程解应用题的主要步骤 ⒈ 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；
⒉ 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；
⒊ 找到题目中的等量关系，建立方程；
⒋ 解方程；
⒌ 通过求到的关键量求得题目最终答案． 二、解二元一次方程（多元一次方程）
消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元． 模块一、列方程组解应用题 【例 1】 辆小车和辆卡车一次运货吨，辆小车和辆卡车一次运货吨。每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设每辆卡车和每辆小车每次各运货吨，根据题意可得：
，解得
所以，每辆卡车每次运货吨，每辆小车每次运货吨。
【答案】每辆卡车每次运货吨，每辆小车每次运货吨 【巩固】 甲、乙二人时共可加工个零件，甲加工时的零件比乙加工时的零件还多个．问：甲每时加工多少个零件？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件.则根据题目条件有：
，解得
所以甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件． 【答案】甲每小时加工个零件 【例 2】 已知练习本每本元，铅笔每支元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设老师原本打算让小虎买本练习本和支铅笔，则由题意可列方程组：
，整理得，即， 将两式相加，得，则， ⑴ ⑶，得． 所以，老师原打算让小虎买17本练习本． 【答案】老师原打算让小虎买17本练习本 【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共双，胶鞋每双元，布鞋每双元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多元．问：两种鞋各多少双？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设布鞋有双，胶鞋有双．
，解得
所以布鞋有双，胶鞋有双． 【答案】布鞋有双，胶鞋有双 【例 3】 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采个，雨天每天可以采个，它一连几天采了个松子，平均每天采个，问这几天当中有几天是下雨天？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采集天数也确定，因此可列方程组来求解．
设晴天有天，雨天有天，则可列得方程组：
化简为 …………
用加减法消元：得：
解得.所以其中天下雨. 【答案】其中天下雨 【例 4】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设乙车运来箱，每箱装个苹果，根据题意列表如下：
车别 甲 乙 丙 箱数 每箱苹果数 根据上表可列出如下方程：
，化简为 ⑴⑵，得：，于是． 将代入⑴或⑵，可得：． 所以甲车运19箱，每箱12个；
乙车运15箱，每箱15个；
丙车运11箱，每箱20个． 三车苹果的总数是：(个)． 【答案】三车苹果的总数是：个 【例 5】 有大、中、小三种包装的筷子盒，它们分别装有双、双、双筷子，一共装有双筷子，其中小盒数是中盒数的倍．问：三种盒各有多少盒？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设中盒数为，大盒数为，那么小盒数为，根据题目条件有两个等量关系：
该方程组解得，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个. 【答案】大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个 【巩固】 用根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有个.其中正方形的个数是三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设三角形的个数为，五边形的个数为，那么正方形的个数为，由此可列得方程组：
该方程组解得：，所以，因此三角形、正方形、五边形分别有、、个. 【答案】三角形、正方形、五边形分别有、、个 【例 6】 有克、克、克三种砝码共个，总重量为克；
如果把克的砝码和克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为克.那么克、克、克的砝码有多少个？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 克砝码比克砝码每多个，对调后总重量将减少克，所以克砝码比克砝码多（个）．
在原来的砝码中减掉个克砝码，此时剩下个砝码，且克砝码与克同样多，总重量为克．
设剩下1克、5克各个，2克砝码个，则
，解得
所以原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码个． 【答案】原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码个 【巩固】 某份月刊，全年共出期，每期定价元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费元；
若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设订半年的人，订全年的人，则：
，得，两式相加，得， 所以，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人． 【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人 【例 7】 有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出20筐，第二辆卡车转移出30筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的倍，如果第一辆卡车转移出21筐，第二辆卡车转移出25筐，那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上有多少筐水果？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设第一辆卡车上的水果有筐，第二辆卡车上的水果有筐， 则有， 由⑴得，代入⑵得，解得， 所以，原来两辆车上分别装有68筐水果和70筐水果． 【答案】两辆车上分别装有68筐水果和70筐水果 【巩固】 大、小两个水池都未注满水．若从小池抽水将大池注满，则小池还剩吨水；
若从大池抽水将小池注满，则大池还剩吨水．已知大池容量是小池的倍，问：两池中共有多少吨水？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设大池中有吨水，小池中有吨水.则根据题目条件，两池一共有吨水，大池可装 吨水，小池可装吨水，所以可列得方程，方程化简为，所以两池中共有吨水． 【答案】两池中共有吨水 【例 8】 某公司花了44000元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了480千瓦时，已知，计算机的价格为每台5000元，空调的价格为2000元，计算机每小时用电千瓦时，平均每天使用5小时，空调每小时用电千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计，求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设添置了台计算机，台空调． 则有 ⑵式整理得，则；
代入⑴得，解得，则， 所以公司一共添置了8台计算机和2台空调． 【答案】8台计算机和2台空调 【巩固】 甲、乙两件商品成本共元，已知甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价；
后来甲打折出售，乙打折出售，结果共获利元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲、乙两件商品成本分别为元、元.
根据题意，有方程组：
，解得
所以成本较高的那件商品的成本是元． 【答案】成本较高的那件商品的成本是元 【巩固】 某市现有720万人口，计划一年后城镇人口增涨，农村人口增长，这样全市人口增加，求这个城市现在的城镇人口和农村人口． 【解析】 假设这个城市现在的城镇人口是万人，农村人口是万人，得：
，解得， 即这个城市现在的城镇人口有240万，农村人口有480万． 【答案】城镇人口有240万，农村人口有480万 【例 9】 某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给分，每答对一题给分，不答题不给分，答错扣分，另一种是先给分，每答对一题给分，不答题不给分，答错扣分，小明在考试中只有道题没有答，以两种方式计分他都得分，求考试一共有多少道题？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设小明答对了道题，答错了道题.由题目条件两种计分方式，他都得分，可得到两条等量关系式：
解得，所以考试一共有道题. 【答案】考试一共有道题 【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给分，不答给分，答错不给分；
另一种是先给分，答对一题给分，不答不给分，答错扣分．某考生按两种判分方法均得分，这次比赛共多少道题？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设答对道题，未答道题，答错道题，由条件可列方程
由式知，是奇数，且小于．式可化简为
由式知，大于．综合上面的分析，是大于小于的奇数，所以．
再由式得到，． ，所以共有道题． 【答案】共有道题 【巩固】 下表是某班名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是分，那么得分和分的各有多少人？ 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 ？ 8 ？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，只要设得分和分的各有多少人，即可利用总人数和总分数而列方程组求解,等量关系有两条：一是各分数段人数之和等于总人数，各分数段所有人得分之和等于总分数.设得3分的人数有人，得分的人数有人,那么：
，化简为：
，得到，即，再代入，最后得到方程组得解，所以名学生当中得分的有人，得分的有人． 【答案】得分的有人，得分的有人 【例 10】 在岛上居住着个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有人回答：“是”；
对第二个问题有人回答：“是”；
对第三个问题有人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子.每个老实人都只会对一个问题“是”.而每个骗子则都对两个问题答“是”.将老实人的数目计为，将骗子的数目计为.于是．又由于在岛上居住着个人，所以，联立两条方程，解得.所以岛上有个人说的是假话． 【答案】个人说的是假话 【例 11】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；
乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，那么10天内共生产了配件个，共生产了配件 个． 要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则． 此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品． 【答案】最多能生产出套产品 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；
乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数分别为天和天，那么总共生产了上衣件，生产了裤子 件． 根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即．那么共生产了套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时．故最多可以生产出套衣服． 【答案】最多可以生产出套衣服 【例 12】 一片青草，每天长草的速度相等，可供头牛单独吃天，供只羊单独吃天．如果头牛的吃草量等于只羊的吃草量，那么，头牛与只羊一起吃草，这片草可以吃________天． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 把只羊每天的吃草量当作单位“”，则头牛每天的吃草量为，设原有草量为，每天的长草量为，那么：
解得，， 如果头牛与只羊一起吃草，这片草可以吃(天)． 【答案】 【例 13】 甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反．甲每隔分钟追上丙一次，乙每隔分钟与丙相遇一次．如果甲分钟跑的路程与乙分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度的多少倍？甲与乙多长时间相遇一次？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 把环形操场的周长看作1，设甲每分钟跑的路程为，丙每分钟跑的路程为．根据题意可知乙每分钟跑的路程为．有：
，解得． 所以甲的速度是丙的速度的倍；
甲与乙相遇一次所用的时间为分钟． 【答案】甲的速度是丙的速度的倍；
甲与乙相遇一次所用的时间为分钟 【例 14】 甲、乙二人从相距千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行，小时后在途中相遇．如果两人每小时所行走的路程各增加千米，则相遇地点距前一次地点差千米.求甲、乙两人的速度． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲速为每小时千米，乙速为每小时千米.根据第一次相遇的条件，可知：，则，即甲、乙两人的速度和为千米/小时，所以第二次相遇两人的速度和为千米/小时.第二次相遇时，甲走的路程可能比第一次少千米或多千米，即千米，或千米.由此可列第二条方程：或.因此可列的方程组有：
解得，或解得. 所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为千米/小时和千米/小时． 【答案】甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为千米/小时和千米/小时 【例 15】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶千米，下坡时每小时行驶千米．车从甲地开往乙地需小时，从乙地到甲地需小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 (法1)从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；
从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为千米，下坡路为千米，依题意得：
解得，， 所以甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路． 答：甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路． 【答案】甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路 【巩固】 从村到村必须经过村，其中村至村为上坡路，村至村为下坡路，村至村的总路程为千米．某人骑自行车从村到村用了小时，再从村返回村又用了小时分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的倍．求、之间的路程及自行车上坡时的速度． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设、之间的路程为千米，自行车上坡速度为每小时千米，则、之间的路程为 千米，自行车下坡速度为每小时千米．依题意得：
， 两式相加，得：，解得；
代入得． 故、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米． 【答案】、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米 【巩固】 华医生下午2时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后原路返回，下午6时回到诊所．医生走平路的速度是每小时4千米，上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，华医生这次出诊一共走了 千米． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】年，南京市，冬令营 【解析】 设平路长千米，山坡长千米，则共走了千米，根据题意，列方程 ， ， ． 所以，华医生这次出诊一共走了14千米． 【答案】14 【例 16】 小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；
他从奶奶家回家时，前时间乘车，后时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多小时．已知小明步行每小时行千米，乘车每小时行千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米? 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 设小明家到奶奶家的路程为千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是小时，那么根据题意有：
，解得：
答：小明从自己家到奶奶家的路程是千米． 【答案】小明从自己家到奶奶家的路程是千米 【例 17】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从到，唐老鸭从到，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是，如下图所示． 是、的中点，离点26千米的点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离点4千米的点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到达，那么与之间的距离是 千米． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设，米老鼠的行走速度为，则唐老鸭的行走速度为()，如下图，则有米老鼠从到需要时间 ， 唐老鸭从到需要时间 ． 因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程 ， 解得． 所以，、两地相距92千米． 【答案】、两地相距92千米 【例 18】 甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，小时后相遇在点.如果甲速度不变，乙每小时多行千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇点距点千米．如果乙速度不变，甲每小时多行千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇点距点千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲速度不变，乙每小时多行千米，相遇点距点千米，出发后5小时，甲到达，乙到达，因为乙每小时多行千米，所以千米，那么千米，也就是说相遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同，也就是说原来甲比乙每小时多行千米. 乙速度不变，甲每小时多行千米，相遇点距点千米，出发后小时乙到达，甲到达,因为甲每小时多行千米，所以千米.那么千米，千米.所以，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的2倍，所以甲每小时多行3千米后，速度是乙的两倍. 于是可列得方程组：，解得，所以甲原来每小时千米. 【答案】甲原来每小时千米 【例 19】 甲、乙二人共存款元，如果甲取出，乙取出，那么两人存款还剩元.问甲、乙二人各有存款多少元？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲存款元，乙存款元，根据题目条件有两条等量关系,一是两人存款加起来等于元，二是取钱后两人存款加起来有元.由此可列得方程组:
方程组最终解得,所以甲存款元，乙存款元． 【答案】甲存款元，乙存款元 【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液克,从甲容器取出的溶液，从乙容器取出的溶液，结果两个容器共剩下克.问：两个容器原来各有多少溶液？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲容器有溶液克，乙容器有溶液克，根据题目条件有两条等量关系,一是两容器溶液加起来等于2600克，二是取溶液后两容器加起来有2000克.由此可列得方程组:
方程组最终解得，所以甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克． 【答案】甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克 【例 20】 某班有名同学，其中有名男生和女生的参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等.问：这个班有多少名男生？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设有名男生和名女生，那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为45人，二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组：
该方程组解得，所以这个班有名男生． 【答案】这个班有名男生 【巩固】 甲、乙两班人数都是44人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的，那么共有多少人未参加数学小组？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲、乙两班参加数学小组的人数分别为人、人，未参加人数分别为人、人，由题设已知条件可以得到：
，解之得 所以未参加兴趣小组的人数人． 【答案】未参加兴趣小组的人数人 【例 21】 一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多顶；
在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的倍．问：男孩、女孩各有多少人？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设男孩有人，女孩有人．根据条件可列方程：由第一条方程可以得到，代入第二条方程得到.解得，再代入第一条方程．方程解得.所以男孩有人，女孩有人． 【答案】男孩有人，女孩有人 【巩固】 有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；
如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的倍.大、小两盘苹果原来各有多少个？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来大盘有苹果个，小盘有苹果个.那么可列方程组：
，方程组解得， 所以大盘原来有苹果个，小盘原来有苹果个． 【答案】大盘原来有苹果个，小盘原来有苹果个 【巩固】 教室里有若干学生，走了名女生后，男生是女生人数的倍，又走了名男生后，女生是男生人数的倍。问：最初有多少名女生？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来男生人数为，女生人数为，那么根据题目条件有以下数量关系：
方程组化简为：，所以最初有名女生． 【答案】以最初有名女生 【例 22】 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是；
过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是．这群羊原来有多少只？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来公羊有只，母羊有只，那么根据题目条件有以下数量关系： ，根据有关比例性质，方程组可化简为：，所以这群羊原来有只. 【答案】这群羊原来有只 【巩固】 口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个红球，则口袋中的红球占；
若取出的不是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占.原来口袋中白球比红球多多少个？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设原来红球数为，白球数为，那么根据题目条件有以下数量关系： 方程组解得，原来口袋中白球比红球多个． 【答案】原来口袋中白球比红球多个 【例 23】 甲、乙两种商品的原来价格比是．如果它们的价格各自上涨元，它们的价格比变为．求甲乙两种商品的原价各是多少元？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法：设甲乙两种商品原来价格分别为元，元，根据涨价后价格比为，列方程得，解得，原来两种商品的原价各是元，元 方法：设甲乙两种商品原价各是元,元，依题意列方程组得解得 甲乙两种商品原价各是元,元 方法：由于原来两种商品相差份，涨价后相差份，由于涨价钱数相同，所以应涨份，所以原来两种商品的价格比，涨价后价格比，所以价格涨了份，恰是元，所以份是元，所以原来两种商品的价格各是为元，元 【答案】原来两种商品的价格各是为元，元 【巩固】 兄弟两人每月收入比，支出钱数比，他们每月都节余元，求兄弟两人月收入各多少？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法:设兄弟两人每月收入分别为元，元，根据支出钱数比列方程得，解得，所以兄弟两人收入各是元，元 方法：设兄弟两人月收入各是元，元根据两个比例列方程得解得所以兄弟两人收入各是元，元 方法：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为份，支出差为份，所以收入差应为和支出差应为份，所以兄弟收入比为，所以结余应为份对应元，所以份就是元，所以兄弟两人月收入各是元，元 【答案】兄弟两人月收入各是元，元 【例 24】 小明用个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；
图案甲的中间留下了边长是的正方形小洞．求小长方形的长和宽？ 乙 甲 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽，由乙图可以看出小长方形的个长等于小长方形的个宽，所以设小长方形的长为 ,宽为 ，依题意列方程得，解得 【答案】长厘米，宽厘米 【例 25】 如图，图中、和分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含这个字母的四边形面积是多少？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，设虚线把四边形分成面积为、的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于相应底边之比，可得：（可化简为）和（可化简为），由这两条方程构成方程组：
，方程组可解得：， 所以四边形的面积为 【答案】四边形的面积为 【例 26】 图中的三角形都是等边三角形，三角形的边长是，三角形的边长是．问：所夹三角形的边长是多少?
【考点】列方程组解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，总决赛 【解析】 如图，设相应的三角形的边长是和，则可知：
标号为的三角形的边长是：
标号为的三角形的边长是：
标号为的三角形的边长是：
最小的三角形的边长是：；
标号为的三角形的边长是：
或
所以，
解上述方程，，可以得到三角形的边长是． 【答案】三角形的边长是 【例 27】 甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了次后，甲共得分，乙和丙各得分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 三张牌上的三个数之和是．
因为不能整除和，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为谁也没有拿到三张牌各次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为、、.由乙、丙各得分，推知乙、丙的三张牌是、、和、、.则甲的三张牌是、、.
由得.
由得，从而.
将代入、得，.
所以，三张牌从大到小写的数依次是，，. 【答案】三张牌从大到小写的数依次是，， 【例 28】 三张卡片上分另标有、、数码(整数)且，游戏时将三张卡片随意分发给、、三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果、、三人得分总数分别为20、10、9．已知在最后一轮的得分是，那么 ⑴ 在第一轮得分是；
⑵、、分别是 、 、 ． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】陈省身杯 【解析】 三人总分为． 如果游戏进行了39或13轮，则或3，与矛盾；
如果游戏只进行了1轮，则，被得到，与“在最后一轮的得分是”矛盾．所以游戏进行了3轮，且 ． ⑴因为共得10分，且最后一次得分，所以前两次都得分，否则三次至少得13分．因为三次总分比少，所以没得过分，前两次都得分，即第一轮得分的是． ⑵假设三次都得，由得和得，解得，，与矛盾，所以前两次得，最后一次得． 由解得，，． 【答案】⑴第一轮得分的是 ⑵，， 【例 29】 某校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语言语小组的有52人，只参加语文小组的有16人；
参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；
参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有 人． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】全国小学数学奥林匹克 【解析】 如图，由题设条件知， ， ， ， 三式相加得 ． 又，代入上式得． 即三组都参加的有8人． 【答案】三组都参加的有8人 【巩固】 有甲、乙、丙、丁个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为，，和，这人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设甲、乙、丙、丁个人的年龄分别为，那么有：
把四个式子加起来得到：
再将上面方程组里面的每个式子后与式相减分别得到：
，，，，所以年龄最大与最小的差值为岁
答：这人中最大年龄与最小年龄的差是岁． 【答案】这人中最大年龄与最小年龄的差是岁 模块二、设而不求 【例 30】 位小学生的平均身高是米，其中有些低于米的，他们的平均身高是米；
另一些高于米的，平均身高是米，那么最多有________位同学的身高恰好是米． 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设身高低于米的有人，身高高于米的有人，则：
，得，所以最小为，最小为，身高恰好是米的同学最多有人． 【答案】身高恰好是米的同学最多有人 【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知个大和尚每天共吃个馒头，个小和尚每天共吃个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问：庙里至少有多少个和尚？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设庙里有个大和尚，个小和尚，则共吃个馒头．由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：，化简为．当，时和尚最少，有(个)和尚． 【答案】至少有个和尚 【巩固】 在一次团体知识竞赛中，某学校的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高，而男生的人数比女生多．问男、女生的平均成绩各是多少分？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设男生的平均成绩为分，女生的人数为人，根据题意可知女生的平均成绩为分，男生的人数为分，则：，解得，所以男生的平均成绩为84分，女生的平均成绩为分． 【答案】男生的平均成绩为84分，女生的平均成绩为分 【例 31】 某次演讲比赛，原定一等奖人，二等奖人，现将一等奖中的最后人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了分，得一等奖的学生的平均分提高了分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设原来一等奖的平均分为分，二等奖的平均分为分，得：
， 即原来一等奖平均分比二等奖平均分多分． 【答案】原来一等奖平均分比二等奖平均分多分 【例 32】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分) 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设某一学生前4次的平均分为分，第5次的得分为分，则其5次总分为，于是．显然，故，解得． 由于为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：分；
分． 【答案】第5次的得分分别为：分；
分 【例 33】 购买3斤苹果，2斤桔子需要元；
购买8斤苹果，9斤桔子需要元，那么苹果、桔子各买1斤需要 元. 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，1试，六年级 【解析】 假设购买1斤苹果、桔子分别需要元、元，则：
， 两式相加得，即。
所以各买1斤需要元。
点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买斤苹果和斤苹果，须元，所以各买1斤需要元. 【答案】各买1斤需要元 【例 34】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；
若购甲件、乙件、丙件，共需元；
则购买甲、乙、丙各件，共需要 元。
【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】陈省身杯 【解析】 设甲、乙、丙的单价分别为，，，则， 由得，即各买一件需要元。
点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。
【答案】各买一件需要元 【例 35】 假设五家共用一井取水，甲用绳根不够，差乙家绳子根；
乙用绳根不够，差丙家绳子根；
丙用绳子根不够。差丁家绳子根；
丁用绳子根不够，差戊家绳子根；
戊用绳根不够，差甲家绳子根．如果各得所差的绳子根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于的整数）
【考点】列方程组解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为、、、、，井深，则可列出方程组如下：
这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代，，，，
代入最后一个式子，，即，所以，．
于是，，，，． 【答案】井深，甲家绳长，乙家绳长，丙家绳长，丁家绳长，戊家绳长 【例 36】 在同一路线上有个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的时追上乘助力车的，时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是时．开摩托车的遇到乘助力车的是时，并在时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从时开始考虑． 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为、、、，设在时骑自行车的与坐汽车的距离为，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为． 有 得到，即 设骑自行车的在时遇见骑助力车的，则 ，即，所以． 所以骑自行车的在时分遇见骑助力车的． 【答案】骑自行车的在时分遇见骑助力车的 【例 37】 河水是流动的，在点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从到，然后穿过湖到，共用小时．若他由到再到，共需小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从到再到需小时．问在这样的条件下，从到再到需几小时？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 设游泳者的速度为，水速为，，，则有：
且有、、均不为．
得，即
得，即
由、、得：，即．
于是，．由得：． 小时．
即题中所述情况下从到再到需小时． 【答案】从到再到需小时
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