基于双层空间理论的教学设计案例研究 摘要 课程标准，教材和教学对象是教学设计的主要依据。教学设计就是用适当的手法安排教学内容，以此制定在正式上课时的具体教学步骤。教学设计让课堂更加可控，它对课堂教学的效果产生直接影响。然而，由于多方面的原因，日常教学中教学设计环节并没有得到重视。对于如何将学科取向的心理学理论和教学论原理应用于教学实践，本课题尝试利用双层空间（活动空间和知识空间）理论，以具体数学教学内容为载体给出几个教学设计案例。
本文采用文献研究法进行了资料收集，在此基础上进行案例研究。首先,根据查阅的相关文献，梳理了HPM理论下的教学研究、现实化理论下的教学研究和数学教学设计相关研究，学习相关理论，积累经验。然后，探讨了HPM理论、现实化理论在教学中运用的策略。最后，在双层空间理论框架下，联系HPM理论、现实化理论与教学知识设计不同类型的教学活动，精心设计教学案例。
关键词 教学设计 HPM 现实化理论 双层空间理论 A Case Study of Teaching Design Based on The Theory of Double-deck Space Abstract Curriculum standards, teaching materials and teaching objects are the main basis for instructional design. Instructional design is to arrange the teaching content with appropriate methods to formulate the specific teaching steps in the formal class. Instructional design makes the classroom more controllable, and it has a direct impact on the effectiveness of classroom teaching. However, due to various reasons, the instructional design link in daily teaching has not received much attention. Regarding how to apply subject-oriented psychology theory and pedagogical principles to teaching practice, this topic attempts to use the double-layer space (activity space and knowledge space) theory to give several teaching design cases based on specific mathematical teaching content. In this paper, the literature research method is used to collect data, and case studies are conducted on this basis. First of all, according to the relevant literature consulted, it has combed the teaching research under the HPM theory, the teaching research under the realistic theory and the mathematics teaching design related research, learning related theories and accumulating experience. Then, it discusses the strategies used in the teaching of HPM theory and realistic theory. Finally, in the framework of the double-layer space theory, the different types of teaching activities are designed in conjunction with HPM theory, realistic theory and teaching knowledge to design teaching cases carefully. Key Words HPM theory of realism double space theory the teaching design 目 录 0. 引言 3 0.1 研究的背景 3 0.2 研究的问题 3 0.3研究的意义 4 1.研究方法 5 1.1文献研究法 5 1.2 案例研究法 5 2.文献综述 6 2.1相关理论介绍 6 2.1.1 教学设计 6 2.1.2 HPM理论 6 2.1.3“数学现实”原则 6 2.2相关研究综述 7 2.2.1 HPM理论下教学设计研究 7 2.2.2 现实化理论下的教学研究 7 2.2.3 勾股定理和全等三角形教学设计相关研究 8 3.教学设计案例研究 9 3.1教学设计策略分析 9 3.1.1双层空间理论运用策略 9 3.1.2活动设计策略 9 3.2案例设计 9 3.2.1 勾股定理课堂教学设计 9 3.2.2 全等三角形的应用课堂教学设计 12 4.结束语 16 参考文献 17 致谢 18 0. 引 言 0.1 研究的背景 如何上好一堂课，课堂预设是关键之处。由此，好的教学设计就成了优质课堂形成的重中之重。只有进行好的教学设计，才能将学习内容更加全面地、有效地教授给学生。现如今，在进行教学时，存在这样一些现象：缺少教学设计甚至不进行教学设计，教学仅凭经验或进行照本宣科式的僵化的教学；
或是不备课，不设计，众人同用一个教案（比如导学案，也需要任课教师自己的消化、理解）等，生搬硬套进行教学。这些教学方式设置的并不合理，导致教学效果往往不尽如人意。本课题尝试利用HPM理论及弗赖登塔尔的现实化理论，给学生提供一个具有丰富的生活背景或精彩的文化背景的生动数学课堂，在研究设计策略的同时，给出两个教学设计案例。
HPM(History and Pedagogy of Mathematics)即历史与数学教育之间的关系。随着基础教育的不断进步变革，教育部要求教育应该更加重视学生的全面发展。在数学教学中融入相关数学史的知识，能让学生在发展理性思维的同时体会数学文化的历史韵味，让学习数学不再枯燥，课堂学习的内容更加层次化，课堂气氛更加活跃生动。
现实化理论是荷兰著名教育家弗赖登塔尔提出的理论。他强调了数学的现实，认为数学来自现实，也必须扎根并应用到现实中。不同学生的数学教育应由本身的“数学现实”决定，并且学生所具有的“数学现实”都是各不相同的。
基于此，本文在初中数学教学中，根据学生数学现实，有效设计“活动空间”，促进学生自主构建知识体系和锻炼数学思维；
同时依据HPM理论，将数学史融于课堂教学中，使学生了解相关数学的发展史；
运用弗赖登塔尔的现实化理论，将教学设计联系社会现实、生活实际，让学生在学习数学知识的同时与生活实际联系起来。这样的方式与传统教学方式相比，更易于被学生理解和接受，也能更好的激发学生的学习兴趣。当学生在生活实际中遇到相似情境时，引发学生对数学知识的回想与再回顾，更好的将知识灵活运用。
0.2 研究的问题 （1）HPM相关理论、弗莱登塔尔现实化理论、教学设计等文献综述；
（2）双层空间（活动空间和知识空间）理论下的教学设计若干策略研究，策略在具体教学内容下的教学设计案例。
0.3研究的意义 回顾我国相关研究，数学史及生活实际情境与教育教学的融合在我国数学教学中发展迅速。笔者基于HPM理论及弗赖登塔尔的现实化理论，具体设计了两个教学案例，其研究意义在于：
(1) 当今教育蓬勃发展，一个重要的要求就是让学生不再学习“死”的知识，而是学会将所学知识融汇贯通。将数学史融入数学教学设计，以及将数学与社会现实联系起来就是实现这一要求的有效方法，对于课程标准的实施具有重大意义。弗赖登塔尔作为世界闻名的数学教育家，他的有关现实化的理论，能有效地帮助学生理解掌握数学知识，非常先进。应用他的现实化理论能帮助学生将实际生活背景与数学具体情境相结合，让学生以生动的形式学习数学知识。
(2) 笔者给出了初中数学中的两个案例进行相应的教学设计。但在整个初中教学内容中，应用HPM理论及弗赖登塔尔的现实化理论可进行的教学内容远不止于此，笔者所做研究对于其他可以进行此类设计的教学内容，起到良好的借鉴作用。笔者选择的两个案例对整个初中乃至以后的数学学习内容影响深远，应用HPM理论和现实化理论对其给出教学设计案例，不仅能丰富数学史运用于数学教学的实践案例，在尝试教学设计的方式方法上也具有一定的价值，更有利于师范生作为未来教师的教学知识的发展及专业的成长。
（3）现如今， 想让学生能更好的学习知识，提高教师教学能力也是重中之重。其关键也就是如何进行好的教学设计。本研究对教师的教学设计能力的提升、教师专业化成长有一定的价值。
应用HPM理论及弗赖登塔尔的现实化理论来进行教学设计，不仅能通过了解数学史上的相关历史知识来探索数学教育的规律与前人经验，也让在数学学习中体会到数学也可以是充满趣味的，也是和生活息息相关，贴近于生活的。
1.研究方法 本研究主要采用的研究方法为文献研究法和案例研究法。
1.1文献研究法 为了深入了解HPM理论，弗赖登塔尔的现实化理论对数学教学设计所起作用，以及在实际数学教学中如何进行具体应用，笔者对有关HPM理论、弗赖登塔尔现实化理论以及教学设计等方面的著作和文章进行大量的查阅。
以“HPM”为关键词共获得了2315篇文献，从其中筛选与数学学科相关共250篇文献，其中有关“数学史与数学教育”方面共77篇，对其中大部分文献进行阅读后，笔者对主要的内容进行理解并综述。以“弗赖登塔尔的现实化”为主题共获得42篇文献，对所获得的信息进行阅读、归纳、整理。以“数学教学设计”为关键词共有424篇文献，笔者筛选了其中98篇有关数学史与数学教育的文献，在对其中大部分进行阅读，学习、吸纳开展数学课程教学设计的经验。
1.2 案例研究法 案例研究的目的在于给出HPM理论及弗赖登塔尔现实化理论的实际案例。作出这两种理论的具体的案例，是丰富该理论在实践层面的运用。案例研究法是把教育教学过程中发生的这样或那样的事件用案例的形式表示出来，并对此进行探讨、探查的一系列研究过程。通过案例分析的方式不仅验证了理论，而且示范了教学实践的策略和方法。
运用双层空间理论作为设计框架，笔者选择了“勾股定理”和全等三角形的判定为例进行基于HPM理论和弗赖登塔尔的现实化理论下的教学设计，详细的分析教学设计的过程、意图、对学生掌握知识所起的作用，为在数学教育中真正融入HPM理论及弗赖登塔尔现实化理论提供实例。勾股定理和三角形全等的判定历史悠久，分别起源于中国的《周髀算经》（公元前1世纪）和西方的毕达哥拉斯时期、古埃及时期。他们发展的几千年的丰富历史背景有利于在进行教学设计时充分结合数学史上的长久发展，更好的结合HPM理论和现实化理论进行设计。在数学教学中寓以数学史及现实生活，更易于被学生接受和感知。这样的设计所做出来的案例能也被直接运用于课堂教学。另外，在教学设计的理论方面，这样给出教学设计，也丰富了教学设计理论。
2.文献综述 本章从教学设计、HPM理论和弗赖登塔尔现实化理论等方面对已有文献进行综述。
2.1相关理论介绍 2.1.1 教学设计 加涅将“教学设计”看作对教学进行系统性规划，帕顿则认为，数学是科学的一种，教学设计与设计科学都是用某些原理来迎合教学需要。赖格卢斯对教学设计的观点则是对所要教授的内容进行设计，就是理解并改进每一个教学步骤，它的最终目的是寻找某种途径，来实现最好的教学效果。一直到现在，中外研究者仍在对教学设计进行不断的钻研。本研究采用赖格卢斯的观点。
2.1.2 HPM理论 HPM指数学史、数学教育二者之间的联系，即数学和数学教学并不是两个相互独立的个体，而是具有一定的联系，可以相辅相成。HPM的研究就是为了将数学史与数学教育相结合，找到一个互相依存，互相成就的状态。它的研究既包含如何结合数学史进行教学设计，也包含如何结合现代数学教育，对数学史上有关内容进行研究。
2.1.3“数学现实”原则 弗莱登塔尔对数学的本质进行了研究，提出了“数学现实”的原则：数学来自现实，植根于现实，应用现实中[[] 弗赖登塔尔著，陈昌平，唐瑞芬等译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995:15-18. ]P15-18。“现实”意味着数学教育应适应每个人不同的数学现实。对于某种客观事物，通过数学性的概念和方法来对其进行理解，所得到的就是数学现实。它既有客观世界的现实，又有每个学生从自己不同的数学水平对现实事物的理解。数学老师的作用是帮助学生构建和发展他们的数学现实，即专注于实际应用。
这样，学生掌握的数学知识就充满了活力，新鲜感，可以灵活运用。数学教育如果与现实脱离了，不免让受教育者认为数学是虚无不可触的，是浮于课本之上的，数学教育将变成浮萍一般，浮于表面，没有根基。
2.2相关研究综述 2.2.1 HPM理论下教学设计研究 姚芳[[] 覃淋,姚芳.数学史与数学教育研究现状及展望[J].首都师范大学学报（自然科学版）,2018(1):12-18. ]在数学史与数学教育研究现状及展望一文中写到，国际HPM组织成立于上世纪70年代，在理论以及实践研究方面都取得了较好的发展。HPM的研究现已从一开始的理论层面的研究，逐步过渡到实践性的研究。目前对于HPM领域的研究工作主要有以下几个方面：（1）讨论“为什么”和“如何”，（2）关于历史相似性的实证研究，（3）从教育方向上研究数学史，（4）HPM视野下的教科书设计和数学教学设计（5）HPM和数学老师本身的专业发展。
华东师范大学的汪晓勤[[] 汪晓勤.基于数学史的数学文化内涵课例分析[J].上海课程教学研究,2019(4):39-45. ]教授指出数学的历史可以激发学生的学习兴趣，让学生欣赏数学的美和历史魅力，并影响学生的数学观。同时也让数学不再是枯燥无味的，只有书本知识的学科，可以让学生更加了解数学这一门学科。还有一个必不可少的功能是学生学习数学的认知过程与数学的发展具有历史相似性，两者结合的方式让学生学习更加得心应手。他还指出，数学史与数学可以从以下五个方向进行组合：知识来源，学科联系，社会角色，审美娱乐和多元文化主义。HPM在这五个方向上的表现并不平均，需要进一步研究以帮助教师更好地将数学历史融入数学教学中，并充分发挥数学历史的教育价值。
将数学历史融入数学设计的研究是数学教学研究的重要组成部分，也是HPM领域的重要方向之一。[[] 汪晓勤，张小明．HPM 的研究内容与方法[J]．数学教育学报，2006(1)：16–18． ]通过直接的提供与所学数学知识息息相关的历史材料；
通过历史上相关有联系的内容进行数学教学；
以及联系古今，在社交环境中体验数学的文化背景等方法都是有效的。其中，从HPM角度出发，常用的数学教学主要采用第二种方法，即发生式教学法。[[] 汪晓勤,王苗,邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计:以椭圆为例[J].数学教育学报,2011(7):24-27. ] 2.2.2 现实化理论下的教学研究 现实化理论认为常识就是数学的根源。学生将常识通过实践，结合自己的理解，形成了一定的法则，这在更高的层次里再创造形成新的常识。他认为，在这样的一个过程中，教师所起的作用是帮助学生完成“有指导的再创造”过程[[] 乔爱萍.论弗赖登塔尔数学教育思想的现实意义[J].江苏教育研究,2014(2):53-57. ]。
关于“现实数学”和“数学现实”[[] 张奠宙,林永伟.关于“现实数学”和“数学现实”[J].数学教育学报,2008(2):1-4. ]文章指出，强调在数学教学中联系学生的现实是当前中国数学教学改革的重点。数学教学除了需要学生生活的现实之外，还需要与学生的“数学现实”联系起来。数学现实是整体的，实践的和个体的。
经历了多年的研究与发展，现实化理论的结构逐渐完整化，思想体系逐渐丰富化。荷兰，美国等国家都对其进行了大规模的尝试，取得了较为良好的成果。我国正处于数学课程改革的重要阶段，这样的现实化理论值得我们借鉴和参考。刘辉[[] 刘辉.弗赖登塔尔现实数学教育思想的意义探究[J].现代教育论丛,2005（6)：8-11，30. ]提出，要应用于国内，这种理论要进行改革。（1）课程教材编写方法的转变。从“习题式”课程教材转向“活动式”课程教材，从“符号式”课程教材转向“文化式”课程教材，从“抽象式”课程教材转向“实践式”课程教材。（2）教师教学观的转变：包括教学活动观，创造思维观，教学发展观。（3）考试评价方式的转变：数学要渗透现实教育的思想，试题按“广而浅、少而精、趣而活”的原则选取。
2.2.3 勾股定理和全等三角形教学设计相关研究 勾股定理是整个初中数学的教学中一个非常重要的性质，对前面一些问题以及后面的学习内容都有重要影响。张新然的设计[[] 张新然.“勾股定理”教学设计及两点思考[J].中国数学教育,2019(1):65-68. ]注重培养学生动手操作和观察分析问题的能力。他设置了6个环节：情境导入、探究概念、探究猜想、证明定理、巩固应用、回顾小结。在实践活动中，他鼓励学生参与并进行动手操作，参与数学知识的探究过程。又通过多层次，多维度的练习，让学生学会理解勾股定理，并进行合理的运用。曾泽群和赖宝禧的设计[[] 曾泽群;赖宝禧.HPM视角下的“勾股定理”教学设计[J].数学教学,2019(9):16-21. ]在学习过程中要注意渗透数学思维方法，亲身经历勾股定理的生成过程，在特定情况下提出问题，分析问题，掌握勾股定理。孔繁燕[[] 孔繁艳.核心素养观下勾股定理教学的几点建议[J].数学教学通讯,2019(10):64-66. ]提出勾股定理的教学设计中，应将数学思维渗透其中，有意识的培养学生的思维方法的运用和创新能力。李文杰[[] 李文杰.基于生活经验的“勾股定理的应用”教学设计[J].中学数学,2019(2):5-6. ]则在设计中指出，学生应从各种现实生活中入手，以促进对勾股定理的深刻理解，并有效地发展学生的数形结合和数学建模思想。
对于全等三角形的设计，徐燕君[[] 徐燕君.基于变式教学的全等三角形起始课教学研究[J].中学数学,2018(8):8-9. ]基于变式教学的设计，除了定义等价三角形之外，还需要弄清和区分等价三角形的相关概念，例如等价三角形中的相应边和相应角度。贺舞燕[[] 贺舞燕;鲁建桥.立意于图形变换的“全等三角形”课例及分析[J].数学教学通讯,2019(4):20-21. ]则主要使用案例分析法，从运动和变化的角度看待问题，可以帮助学生感知数学问题的价值，并发展学生转换的数学意识。
对于“全等三角形”，其思想是变换图形。因此，教学时应不断将反复学习和反思穿插进行，本课程的教学也在不断地重新构造和实践。
综上所述，自从国际数学教育家大会成立HPM研究小组以来，我国数学研究近几年涌现出一批优秀的HPM研究专家，研究如何将数学史融入到数学课堂教学，获得大量的具有应用价值的研究成果，广大一线教师在这方面给出了丰富的教学案例。近年来，数学教学中人们更加关注学生的“数学现实”，数学教学中考虑运用现实问题，构建教学情境。
3.教学设计案例研究 3.1教学设计策略分析 3.1.1双层空间理论运用策略 初中数学课程标准中提到初中数学教育要为学生适应社会生活等做准备，教学策略也在发生着显著变化。在案例设计中主要采用徐斌艳等提出的“双层空间”（见下图1），将教学内容与教学活动的关联起来。
图1徐斌艳知识空间与活动空间 “活动空间”指教师设置的一系列让学生自主探索、学习的活动。“知识空间”是指符合学生认知发展水平的一系列知识串。两个空间相互贯通，帮助学生发展自身，让学生真正成为课堂的主体。
3.1.2活动设计策略 在课堂教学中，教师不能只使用讲授法，在讲授知识时，进行填鸭式教学，相反，应该与学生和谐相处，老师是学习活动的领导者，而学生处于主导地位。
教师应组织学生在适当的时间里学习；
并给予学生一定的指导，引导他们对新的内容进行探索；
同时，在探索一些特定的问题时，教师应让学生处于平等地位，与学生合作，在不知不觉中带领学生学习新知。为此，学习活动有四种形式：相关数学史料的阅读（记作AR）；
以生活化为主题的探究活动（记为BL）；
以学习知识为目的的问题活动（记为BP）；
巩固知识的解题实践（记作AE）。
3.2案例设计 对照双层空间教学理论，对于勾股定理和三角形全等的应用进行了如下课堂教学设计。
3.2.1 勾股定理课堂教学设计 【教学目标】 （1）让学生体验将三个正方形的面积之间的关系探索成三角形的三个边之间的定量关系的过程，从而使学生可以体验到在过程中将数字和形状组合在一起的想法。
（2）让学生体验计算面积和证明勾股定理的过程。
在实践中，养成独立思考和协作交流的良好学习习惯。
（3）让所有类型的学生在这些过程中运用他们的特殊技能，体验勾股定理的文化。
【教学重点】勾股定理的探索 【教学难点】探索勾股定理并使用勾股定理解决一些实际问题。
【教学活动】 相关史料的阅读（AR）活动：
AR1.1它在《周髀算经》中有记载：公元前一千多年，人们提出“勾广三，股修四，径隅五”。
人们称直角三角形的较短的直角边为勾，该边越长则称为股，斜边称为弦。
因此，该定理被称为勾股定理。
勾股定理也被称为“商高定理”等。
AR1.2根据记录，著名的数学家毕达哥拉斯证明勾股定理如下：使用面积划分方法，图像的大正方形ABCD由四个相等的三角形和一个小正方形组成（如图2），大正方形的面积===，即得。
图2 图3 AR1.3在我国，赵爽也证明了勾股定理，他其实比毕达哥拉斯早八百年就得出了勾股定理的结论，他在注解《周髀算经》时给出了图3的图形，被人们称为“赵爽弦图”。
你能否据此图形证明勾股定理？ 设计意图：以历史趣味小故事来进行引入，使学生初步了解新课内容、了解其相关数学史，同时激发学习新知识的热情。
以生活化为主题的探究（BL）活动：
BL1.1小达去瓷砖店买瓷砖，发现瓷砖店里一块样板很好看，他仔细观察，结果发现，在用砖铺成的地面图案中，直角三角形的三个边似乎是相关的。
如图4所示，您可以找到什么？ 图4 BL1.2将图4的图形放到方格纸中，想一想，等腰直角三角形的三个边之间的定量关系是什么？ 1) 如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，以AC、BC、AB为边分别作三个正方形。令图中一个小格面积为1，正方形P、Q的面积为多少？正方形R中含有几小格？正方形R面积又为多少？ 2) 三个正方形面积之间有什么关系？ 3) 等腰直角三角形三边之间有什么联系？ BL1.3将图5中的特殊三角形换成图6的一般直角三角形，图中正方形A、B、C是否有这种联系？ 图5 图6 设计意图：BL1.1是与学生生活有关的例子，BL1.2将问题进一步数学化，学生能依据已有知识分析出BL1.1中砖铺成的地面图案与BL1.2方格纸中的图形组合有相类似之处。BL1.3在BL1.1和BL1.2的基础上从特殊情况转化为一般情况，有利于学生在逐步探索中发现规律，更好的将勾股定理纳入到已有知识结构下。BL1.1和BL1.2都给出了鲜明的图案，生动直观，将问题平铺直述的展现给学生，从而可以激起学生的探索欲望。
以学习知识为目的的问题（BP）活动：
BP1.1 若正方形边长为4，它的对角线的长度为多少？ BP1.2 妈妈给李芳买了一台新彩电，彩电长为40英寸，宽为30英寸，你知道它的对角线有多长吗？ 设计意图：前面的活动带领学生初步认识并探索了勾股定理，这一部分设置了一些实际的问题来进一步加深学生对勾股定理的掌握，帮助学生初步运用勾股定理来解决一些问题。
巩固知识的解题实践（AE）活动：
AE1.1 填空题：
（1）
有一个△ABC，∠A=90°，如果b=3，c=4，则a为多少？ （2）
红红想用三根火柴棒拼出直角三角形，现有长度为3、4、5、9、12的火柴，她可以选哪几根呢？ AE1.2若有一架高为2.5m的梯子，想将它靠墙立到2.3m的高度，则梯脚应离墙多远呢？ AE1.3底边长为16，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为多少？ AE1.4小明和爸爸同时出门，爸爸开车向东南，速度为50km/h，小明骑车往东北，速度为12km/h，半小时后他们距离为多少？ AE1.5将一条隧道的两个出口看作A、B点（如图7），小明想测量这条隧道的长度，他作出AB的垂线BC，以B为垂点，测出AC=50m，BC=40m，那么这条隧道有多长呢？ 图7 设计意图：多层次设置习题进行巩固，使学生熟悉如何应用勾股定理来解决问题，也在做题的过程中对勾股定理的认识、应用产生进一步的了解。
勾股定理课堂教学设计构成的双层空间如图8所示：
图8 勾股定理教学双层空间对照图 3.2.2 全等三角形的应用课堂教学设计 【教学目标】 （1）掌握三角形全等的条件。
（2）使用三角形的全等有关的知识来解决一些数学问题。
（3）通过实践活动，让学生动手操作、亲身经历，激发学生的学习兴趣，并能通过合作交流解决问题。
【教学重点】 掌握诸如“ SAS”和“ ASA”之类的三角全等条件，并使用它们来判断该三角是否全等。
【教学难点】：
如何使用三角全等判断条件解决数学问题。
【教学过程】 相关数学史料的阅读（AR）活动：
AR1.1古希腊学者泰勒斯是几何学的鼻祖，第一个全等三角形的判定定理就是由他证明的。关于他有这样一个故事：为了测量一条河的宽度，有人可以站在河的岸边，戴上这样低的帽子，这样就可以看到帽檐，以及可以看到对岸的某个点。
这是由视线，河流宽度和高度组成的直角三角形。
保持身体静止不动，转过身，看到沿河沿的一个点，然后该点与人的距离就是河流的宽度。
AR1.2古人对全等三角形的理解来自于测量。
表1显示了“几何原版”和华东师范大学教科书中几个全等定理出现的顺序以及证明方法。
表1 全等定理的顺序与证法 定理 几何原本 华师大版教材 顺序 证法 顺序 证法 边角边 1（卷1命题4）
叠置 1 叠置 边边边 2（卷1命题8）
反证法 3 利用边角边 角边角 3（卷1命题26）
反证法 2 叠置 设计意图：以相关历史进行引入，使学生了解数学史、初步熟悉新课内容。AR1.1是历史上经典的问题，能让学生产生兴趣以及求知欲。AR1.2给学生科普了全等三角形在历史上以及现在数学上的发展证明过程，让学生不仅仅学会用全等三角形解决问题，也对这些定理的证明产生进一步的了解。
以生活化为主题的探究（BL）活动 BL1.1假设，有一个人双腿伸直走路，那么在什么条件下他前后两次跨出的长度相等？ （参考图9）
图9 BL1.2周末到了，小刚和朋友们去风景区游玩，看到了一个美丽的池塘。他们想知道池塘两边A、B之间的距离，但是只有测角仪和尺子，没有船。他们应该怎么办呢？你能帮他们想想办法吗？ 设计意图：以学生熟悉的生活片段为引创设情境，让学生感受到数学与生活的联系。BL1.1和BL1.2让学生靠生活经验联想到用全等三角形解决问题，构造全等三角形，培养学生的数学建模能力。
以学习知识为目的的问题（BP）活动：
BP1.1如图10，给出下列四组条件：
图10 ① AB=DE，BC=EF，AC=DF ② ∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F ③ AB=DE，∠B=∠E，BC=EF ④ AB=DE，AC=DF，∠B=∠E 其中，能得出△ABC≌△DEF的条件有（ ）组 A、一组B、两组C、三组 D、四组 BP1.2小李将一个三角形的玻璃破碎成碎片，如图11所示。
他去了玻璃商店重新装备了一块。
他可以带哪一部分？ 为什么？ 图11 设计意图：BP1.1和BP1.2都是较为经典的运用全等三角形的知识解决问题的例子，通过这些问题的设置更好的认识全等三角形解决问题的思路以及掌握的必要性。
巩固知识的解题实践（AE）活动：
AE1.1如图12，两块石头A和B位于河的两侧。
要测量它们之间的距离，您可以从B点沿河岸绘制射线BF，在BF上截取BC = CD，并通过D点使DE∥AB，使得，C和A处于同一直线上， DE的长度是A和B之间的距离，请说明原因。
图12 AE1.2如图13，已知AB∥DE，BC∥EF，D、C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC≌△DEF。
图13 AE1.3如图14所示，在△ABC中，D是BC的中点。
穿过点D的直线GF与AC与F相交，穿过AC与BG的平行线相交于G，DE⊥DF，而AB相交于点E。
（1）
求证：BG=CF；
（2）
BE+CF与EF是什么关系？给证明。
图14 设计意图：设置多种典型性问题，加深学生对全等三角形的掌握，使学生进一步熟悉如何应用全等三角形来解决几何问题，也在做题的过程中增加对全等三角形的灵活应用度。
本案例的双层空间设计主要如图15：
图15 全等三角形的应用教学双层空间对照图 4.结束语 本课题通过以HPM理论和弗赖登塔尔数学教学生活化理论为支撑来进行教学设计，研究意义在于通过数学史融入数学教学、数学生活化改进数学教学为初中数学教学提供有效、可施行的设计途径，为HPM研究者提供具体案例。
由于我的理论知识有限，工作经验尚少，因此研究中提出的策略相对简单，未能充分发挥数学史的教育价值，如何利用数学史来帮助学生感受到数学的美丽、提升学生人文科学素养等方面需要继续深入地探讨。对弗赖登塔尔数学教学生活化的理解不够深刻，由于缺乏教学经验，对于研究的数学内容的生活应用挖掘深度有待加强。
希望本研究能起到抛砖引玉的作用，引起师范生和一线教师的关注，提出运用HPM理论和弗莱登塔尔的教育理论指导数学教学的更多的建议。拓展数学史融入数学教学实践研究的深度与广度，将数学史的教育价值更加全面地应用到数学教学中。
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