高等数学下册试卷B 2012．9．17 姓名：
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一、 填空题[共20分] 1. 若函数在点处取得极值，则常数 2. 设,则 3. 假设L为圆的右半部分，则 4. 设, 则 5. 设可微，且，则 二、（本题8分）计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。
解: 三、（本题8分）设函数。试证在点处是可微的 解 用定义求出 四、（本题8分）设，其中可微，证明 证明 由于 五、（本题8分）计算, 其中是椭圆的正向一周 解: 由格林公式 六、（本题8分）计算, 其中是平面被圆柱面截出的有限部分 解 由题意或 从而 七、（本题8分）计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧. 解 补平面区域取上侧， 取下侧， 取左侧， 取后侧。
与原来曲面形成封闭曲面的外侧, 围成 由高斯公式 故 原式 八、（本题6分）求微分方程的通解 解 方程即 九、（本题6分）求微分方程的通解 解 对应的齐次方程的特征方程为 对照非齐次项的标准形式不是特征根，故 特解的待定形式为，代入非齐次方程，得 从而原方程的通解为 十、（非化工类做）（本题6分）求幂级数的收敛域. 解 2 当时，由于，级数发散，3 当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5 故幂级数收敛域为6 十一（非化工类做）（本题7分）将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间. 解 由于， 3 从而7 十二、（非化工类做）（本题7分）设函数是以为周期的函数，，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。. 解: ，1 5 所以 7 十、（化工类做）（本题6分）求解微分方程初值问题 解 是一个特解2 故通解为4 由，又 从而特解为6 十一、（化工类做）（本题7分）计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线 解 2 所求解问题与路径无关，选折线 7 十二、（化工类做）（本题7分）设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。
解 令，2 由，求出唯一驻点6 从而长、宽、高分别为3,3,3时，所求体积最小7
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