21.(2018 全国卷Ⅰ)设椭圆 : C2212 xy 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点,点 M 的坐标为 (2,0) . (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:
OMA OMB . 【解析】(1)由已知得 (1,0) F , l 的方程为 1 x . 由已知可得,点 A 的坐标为2(1, )2或2(1, )2 . 所以 AM 的方程为222y x 或222y x . (2)当 l 与 x 轴重合时, 0 OMA OMB . 当 l 与 x 轴垂直时, OM 为 AB 的垂直平分线,所以 OMA OMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 ( 1)( 0) y k x k ,1 2 2 1( , ), ( , ) A y x y x B , 则12 x ,22 x ,直线 MA , MB 的斜率之和为21 212 2MA MBx xy yk k . 由1 1 y kx k ,2 2 y kx k 得 1 2 1 21 2(2 3 ( ) 42)( 2)MA MBx x x x k kx xkk k . 将 ( 1) y k x 代入2212xy 得 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0 k x k x k . 所以,212242 1 kkx x ,21222 22 1xkkx . 则313132 224 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1k k k k kk k kkx x x x . 从而 0MA MBk k ,故 MA , MB 的倾斜角互补,所以 OMA OMB . 综上, OMA OMB .
24.(2017 新课标Ⅰ)已知椭圆 C :2 22 21( 0)x ya ba b ,四点1 (1,1)P ,2 (0,1)P , 33( 1, )2P ,43(1, )2P 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过2P 点且与 C 相交于 A , B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为 1 ,证明:
l 过定点. 【解析】(1)由于3P ,4P 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过3P ,4P 两点. 又由2 2 2 21 1 1 34 a b a b 知,C 不经过点1P ,所以点2P 在 C 上. 因此22 2111 314ba b ,解得2241ab . 故 C 的方程为2214xy . (2)设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ,2k , 如果 l 与 x 轴垂直,设 l :
x t ,由题设知 0 t ,且 | | 2 t ,可得 A,B 的坐标分别为 (t,242t ),(t,242t ). 则2 21 24 2 4 212 2t tk kt t ,得 2 t ,不符合题设. 从而可设 l :
y kx m ( 1 m ).将 y kx m 代入2214xy 得 2 2 2(4 1) 8 4 4 0 k x kmx m
由题设可知2 2=16(4 1) 0 k m .
设1 1( , ) A x y ,2 2( , ) B x y ,则1 2284 1kmx xk ,21 224 44 1mx xk. 而1 21 21 21 1 y yk kx x 1 21 21 1 kx m kx mx x
1 2 1 21 22 ( 1)( ) kx x m x xx x . 由题设1 21 k k ,故1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0 k x x m x x .
即22 24 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1m kmk mk k . 解得12mk . 当且仅当 1 m 时, 0 ,欲使 l :12my x m ,即11 ( 2)2my x , 所以 l 过定点(2, 1 )
25.(2017 新课标Ⅱ)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C :2212xy 上,过 M 做 x 轴的垂线,垂足为 N ,点 P 满足 2 NP NM . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 3 x 上,且 1 OP PQ .证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过C 的左焦点 F . 【解析】(1)设 ( , ) P x y ,0 0( , ) M x y ,则0( ,0) N x ,0( , ) NP x x y ,0(0. ) NM y . 由 2 NP NM 得
0x x ,022y y . 因为0 0( , ) M x y 在 C 上,所以2 212 2x y . 因此点 P 的轨迹方程为2 22 x y . (2)由题意知 ( 1,0) F .设 ( 3, ) Q t , ( , ) P m n ,则 ( 3, ) OQ t , ( 1 , ) PF m n , 3 3 OQ PF m tn , ( , ) OP m n , ( 3 , ) PQ m t n , 由 1 OP PQ 得2 23 1 m m tn n ,又由(1)知2 22 m n , 故 3 3 0 m tn . 所以 0 OQ PF ,即 OQ PF .又过点 P 存在唯一直线垂直与 OQ ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .
30.(2015 新课标 2)已知椭圆 C:2 2 29x y m ( 0 m ),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 ( , )3mm ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边行?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 【解析】(Ⅰ)设直线 : l y kx b ( 0, 0) k b ,1 1( , ) A x y ,2 2( , ) B x y , ( , )M MM x y . 将 y kx b 代入2 2 29x y m 得2 2 2 2( 9) 2 0 k x kbx b m , 故1 222 9Mx x kbxk ,299M Mby kx bk . 于是直线 OM 的斜率9MOMMykx k ,即 9OMk k . 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点 ( , )3mm , 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 0 k , 3 k . 由(Ⅰ)得 OM 的方程为9y xk .设点 P 的横坐标为Px . 由2 2 29,9 ,y xkx y m 得2 2229 81Pk mxk,即23 9Pkmxk. 将点 ( , )3mm 的坐标代入直线 l 的方程得(3 )3m kb ,因此2( 3)3( 9)Mmk kxk. 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 2P Mx x . 于是23 9kmk2( 3)23( 9)mk kk.解得14 7 k ,24 7 k . 因为 0, 3i ik k , 1 i , 2 ,所以当 l 的斜率为 4 7 或 4 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.
34. (2014 新课标 1) 已知点 A (0, 2) ,椭圆 E :2 22 21( 0)x ya ba b 的离心率为32,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为2 33, O 为坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 , P Q 两点,当 OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【解析】2 2 3(c,0) = = 3.3F cc(I)设 ,由条件知, ,得
2 2 23, =2,
1.2ca b a ca 又 所以
221.4xE y 故 的方程为
(Ⅱ)1 1 2 2: = 2, ( , ), ( , ). l x l y kx P x y Q x y 当 轴时不合题意,故设
222 14xy kx y 将 代入 得2 2(1 4 ) 16 12 0. k x kx
22 21,223 8 2 4 3=16(4 3) 0, .4 4 1k kk k xk 当 即 时,
2 221 224 1 4 31 .4 1k kPQ k x xk 从而
22.1O PQ d OPQk 又点 到直线 的距离 所以 的面积
221 4 4 3= .2 4 1OPQkS d PQk 224 44 3 , 0, .44OPQtk t t Sttt 设 则
4 74, 2 0.2t t kt 因为 当且仅当 ,即 时等号成立,且满足
OPQ 所以,当 的面积最大时, 的方程为
7 72 22 2y x y x 或 .
36.(2014 新课标 2)设1F ,2F 分别是椭圆 C :
222 21 0yxa ba b 的左,右焦点, M是 C 上一点且2MF 与 x 轴垂直,直线1MF 与 C 的另一个交点为 N . (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为34,求 C 的离心率; (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且15 MN FN ,求 , a b . 【解析】(Ⅰ)根据2 2c a b 及题设知22( , ),2 3bM c b aca
将2 2 2b a c 代入22 3 b ac ,解得1, 22c ca a (舍去)
故 C 的离心率为12. (Ⅱ)由题意,原点 O 为1 2FF 的中点,2MF ∥ y 轴,所以直线1MF 与 y 轴的交点 (0,2) D
是线段1MF 的中点,故24ba ,即24 b a
① 由15 MN FN 得1 12 DF FN 。
设1 1( , ) N x y ,由题意知10 y ,则112( )2 2c x cy ,即113,21x cy 代入 C 的方程,得22 29 114ca b 。② 将①及2 2c a b 代入②得229( 4 ) 114 4a aa a
解得27, 4 28 a b a , 故 7, 2 7 a b .