2021届初三中考数学高分突破相似三角形专题一遍过强化卷 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于 A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18 4．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 6．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（ ）
A．3 B． C． D． 7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；
②S平行四边形ABCD＝；
③OE：AC＝1：4；
④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为 A． B． C．3 D．1 9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．2 10．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（ ）
A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），不难发现．已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______． 12．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为_____． 13．如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于_______． 14．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______． 15．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____． 三、解答题 16．如图，在矩形中，是上一点，于点，设． （1）若，求证：；
（2）若，且在同一直线上时，求的值． 17．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 19．如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点． （1）证明：． （2）当时， ①求的长度． ②如图2，作平分交于点，连结，求的面积． 20．如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长． 21．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）当△CEF的面积最大时，求EC． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此函数的关系式；
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作直线轴，交与点，当点坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点形成平行四边形，求出，点的坐标． （4）在轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；
若不存在，说明理由． 参考答案 1．C 解：如图，标注字母， ∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， 由正方形可得：
同理：
∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， 结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）：4=3：（x-4）， ∴（x-3）（x-4）=12， 即， ∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7． 2．D 解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点， ∴CE=AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC， ∴△CEF∽△ADF， ∴ ∴ 解得DF=8， 3．D 解：∵NQ∥MP∥OB， ∴△ANQ∽△AMP∽△AOB， ∵M、N是OA的三等分点， ∴，， ∴， ∵四边形MNQP的面积为3， ∴， ∴S△ANQ=1， ∵， ∴S△AOB=9， ∴k=2S△AOB=18， 4．A 解：∵NE∥BC， ∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF， 又∵BF=EF， ∴△NEF≌△DBF， ∴NE=BD=2． ∵NE∥BC， ∴△ANE∽△ADC， ∴， ∵CE=2AE， ∴， ∴CD=6． 5．C ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 6．A 如下图，过D做于点H ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 7．C 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°， ∵CE平分∠BCD交AB于点E， ∴∠DCE=∠BCE=60° ∴△CBE是等边三角形， ∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC， ∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC=BC， ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE=BC， ∴OE：AC=：6；
故③错误；
∵AO=OC，AE=BE， ∴OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴=2 ∴S△OCF：S△OEF==2， ∴S△OCF=2S△OEF；
故④正确． 8．A 连接ED并延长交AC的延长线于点F，连接OD，如图， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴，即， ∴BE＝． 9．C 解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8 ∴∠BAG+∠DAE=90° ∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF， ∴BF垂直平分AG ∴∠ABF+∠BAG=90° ∴∠DAE=∠ABF， ∴△ABF∽△DAE ∴即 10．C 设，则CD=3x，， 由折叠得， ∴CF=3x-10， ∵ ∴100=， 解得x=6或x=0（舍去）， ∴CD=18，CF=8，=12， ∵∠C=∠D=∠, ∴∠, ∴△∽△, ∴， ∴， ∴DM=9，， ∴，AM=9， 在Rt△中，， ∴, 解得EM=5， ∴AE=4， 过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形， ∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18， ∴FH=10-4=6， ∴EF=, 故选：C. 11．3 解：如图，作PF⊥CD于点F， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∴△PAB∽△PCD， ∴， 即：， 12． 解：如图，同时平分和， ，， 在与中，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 13． 解：∵， ∴， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠DEB=∠A=90°， ∠B=∠B， ∴△ABC∽△EBD， ∴， 即， 同理，， 设BE为3x，则DE为4x，FC为， 解得，， DE=4×=， 14． 解：四边形是正方形，， ，OA=OB=OC=OD， ∵, ∴， ， ， ，即 ，， ，， ，解得 15． 解：∵BD平分∠ABC， DE=BD ∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD ∴∠DBC=∠AED 如图，在BC上取点，使BF=AE 则在与中， ∴ ∴AE=BF=2，， ∴CF=BC-BF=8-2=6 ∵∠BAD=，∠DFC= ∴∠BAD=∠DFC 又∵∠C=∠C ∴CFD∽CAB ∴ ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠DFC ∴ ∵ ∴ ∴DF=FC=6，则AD=DF =6 ∴CA=6+CD 又∵CF=6，BC=8 ∴ 解得． 16． （1）∵， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴；
（2）如图，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴∽， ∴， 即 ∴， ∴， ∴． 17． 解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB， ∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD， ∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC， ∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB， ∴AB＝2 18． 解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G， ∴DG∥OB， ∴△ADG∽△ABO， ∴， ∵AD＝3BD， ∴AG＝3OG， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴OG＝1，DG＝， ∵D（1，）， 由平移得：点C的横坐标为1， 当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3， ∴m＝3﹣＝；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限， ∴点C在AB的上方， 如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E， ∴BE∥OA， ∴∠BAO＝∠ABE， ∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF， ∴∠FBE＝∠ABE， ∵∠BEF＝∠AEB＝90°， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB＝BF， ∴AE＝EF＝OB＝2， ∴F（4，4）， 设BF的解析式为：y＝kx+n， 则， 解得：， ∴BF的解析式为：y＝x+2， ∴， 解得或， ∴C（2，3）． 19． （1）证明：∵， ∴∠BAD=∠ACD， ∵四边形内接于， ∴∠ECD=∠BAD， ∴；
（2）解：①由（1）得：， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠CDE=90°， ∵CD=CD， ∴△ADC≌△EDC（ASA）， ∴AD=DE，AC=CE， ∵∠E=∠E， ∴△CDE∽△ABE， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，在Rt△CDE中，， ∴，解得：， ∴；
②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，如图所示：
由①得：，， ∵平分，∠ABC=90°， ∴∠ABF=45°， ∴∠ACF=∠ADF=45°， ∵AC是是⊙O的直径， ∴∠AFC=90°， ∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形， ∴AF=FC，FH=DH， ∴， 设DH=FH=x，则， ∴在Rt△AHF中，， 解得：（不符合题意，舍去）
∴， ∴． 20． （1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∵， ∴，解得， ∴，， 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 21． 解：（1）四边形是正方形，， ， ，， ， ， ；
（2），， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ；
（3）设，则， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 当时，． 22． 解：（1）∵ ∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3）
把点A，点C的坐标代入得， 解得， 所以，此函数关系式为：
（2）如图， 设直线AC的函数解析式为：， 将，代入，得 ， 解得，， ∴直线AC的解析式为 ∵点N在直线AC下方的抛物线上，轴 ∴ 为了使MN最大，就要使取最大值， ∴取最小值 ∵ ∴当时，MN有最大值，最大值为， 将代入中，得y=， ∴N的坐标为 （3）抛物线对称轴为 令y=0得，， 解得，，， ∴点B的坐标为（1，0）
①当AB和KL是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴， ②当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴右侧时， ∵ ∴ ∴的横坐标为3， ∴， ③当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴左侧时， ∵ ∴的横坐标为-5 ∴， 综上所述，，点的坐标为，，或，或，；
（4）如图， 设直线AD的函数解析式为 将，代入 得，解得 ∴ ①当，A为垂足时， ∵, ∴ ∴ ∴ ∵AO=3，AP=2，PD=4 ∴ ∴ ∴ ②当，D为垂足时， 同理可证 ∴，即, ∴ ∴ ∴ ③当AE⊥DE,E为垂足时， 设OE=x，则QE=4-x ∴，， ∴ 解得：， ∴， ∴，． 综上，点E的坐标为：，，，．
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