中考冲刺:代数综合问题(提高)
一、选择题
1. 如图,已知在直角梯形AOBC中,AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9,对角线OC、AB交于点D,点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点,以O为原点,直线OB为x轴建立平面直角坐标系,则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是( )
A.点G B.点E C.点D D.点F
2.已知函数y=,若使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2016秋•重庆校级月考)已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结论:①abc<0;
②4ac﹣b2=0;
③a>2;
④4a﹣2b+c>0.其中正确的个数是( )
A.1
B.2 C.3 D.4
二、填空题
4.若a+b-2-4=3- c-5,则a+b+c的值为______.
5.已知关于x的方程x2+(k-5)x+9=0在1<x<2内有一实数根,则实数k的取值范围是______.
6. (和平区校级期中)关于x的方程,2kx2-2x-3k=0的两根一个大于1,一个小于1,则实数k的的取值范围是______.
三、解答题
7.(2016•梅州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2,求k的值.
8. 已知关于的一元二次方程.
(1)求证:不论取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2,求关于的一元二次方程的解.
(3)在(2)的条件下,将抛物线绕原点旋转,得到图象,点为轴上的一个动点,过点作轴的垂线,分别与图象、交于两点,当线段的长度最小时,求点的坐标
9. 抛物线,a>0,c<0,.
(1)求证:;
(2)抛物线经过点,Q.
① 判断的符号;
② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A,点B(点A在点B左侧),
请说明,.
10. 已知:二次函数y=.
(1)求证:此二次函数与x轴有交点;
(2)若m-1=0,求证方程有一个实数根为1;
(3)在(2)的条件下,设方程的另一根为a,当x=2时,关于n 的函数与的图象交于点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D,若CD=6,求点C、D的坐标. 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A;
【解析】
在直角梯形AOBC中
∵AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9
∴点A的坐标为(9,12)
∵点G是BC的中点
∴点G的坐标是(18,6)
∵9×12=18×6=108
∴点G与点A在同一反比例函数图象上,故选A.
2.【答案】D;
【解析】
函数y=的图象如图:
根据图象知道当y=3时,对应成立的x有恰好有三个,∴k=3.故选D.
3.【答案】B;
【解析】①∵抛物线开口朝上,∴a>0.
∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1,∴b=2a>0.
当x=0时,y=c+2>2,∴c>0.∴abc>0,①错误;
②∵抛物线与x轴只有一个交点,
∴b2﹣4a(c+2)=b2﹣4ac﹣8a=0,
∴b2﹣4ac=8a>0,②错误;
③∵抛物线的顶点为(﹣1,0),
∴抛物线解析式为y=a(x+1)2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2,
∴a=c+2>2,③正确;
④∵b=2a,c>0,
∴4a﹣2b+c=c>0,④正确.
故选B.
二、填空题
4.【答案】20;
【解析】整理得:(a-1-2+1)+(b-2-4+4)+(c-3-6+9)=0
(-1)2+(-2)2+(-3)2=0,
∴=1,=2,=3,
∵a≥1,b≥2,c≥3,
∴a=2,b=6,c=12,
∴a+b+c=20.
故答案为:
20.
5.【答案】
【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x2+(k-5)x+9图象开口向上,与x轴的一个交点的
横坐标在1<x<2内,故有两种情况,分析得出结论.
6.【答案】k>0或k<-2.
【解析】设y=2kx2-2x-3k,
∵方程2kx2-2x-3k=0d的两根一个大于1,一个小于1,
∴当k>0,抛物线开口向上,x=1时,y<0,即2k-2-3k<0,解得k>-2,∴k>0
∴当k<0,抛物线开口向下,x=1时,y>0,即2k-2-3k>0,解得k<-2. ∴k<-2
∴k的取值范围为:k>0或k<-2.
三、解答题
7.【答案与解析】
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴△=(2k+1)2﹣4(k2+1)>0,
解得:k>,
即实数k的取值范围是k>;
(2)∵根据根与系数的关系得:x1+x2=﹣(2k+1),x1•x2=k2+1,
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2,
∴﹣(2k+1)=﹣(k2+1),
解得:k1=0,k2=2,
∵k>,
∴k只能是2.
8.【答案与解析】
(1)证明:
∵不论取何值时,
∴,即
∴不论取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)将代入方程,得
再将代入,原方程化为,解得.
(3)将代入得抛物线:,将抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式
为:.
设,则,
∴当时,的长度最小,
此时点的坐标为
9.【答案与解析】
(1)证明:∵ ,
∴ .
∵ a>0,c<0,
∴ ,.
∴ .
(2)解:∵ 抛物线经过点P,点Q,
∴
① ∵ ,a>0,c<0,
∴ ,.
∴ <0.
>0.
∴ .
② 由a>0知抛物线开口向上.
∵ ,,
∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方.
∵ 点A,B的坐标分别为A,B(点A在点B左侧),
∴ 由抛物线的示意图可知,对称轴右侧的点B的横坐标满足.
(如图所示)
∵ 抛物线的对称轴为直线,由抛物线的对称性可,由(1)知,
∴ .
∴ ,即.
10.【答案与解析】
(1)证明:令,则有
△=
∵,∴△≥0
∴二次函数y=与x轴有交点
(2)解:解法一:由,方程可化为
解得:
∴方程有一个实数根为1
解法二:由,方程可化为
当x=1时,方程左边=1+(n-2)+1-n=0
方程右边=0
∴左边=右边
∴方程有一个实数根为1
(3)解:方程的根是:
∴
当=2时,,
设点C()则点D()
∵CD=6 , ∴
∴
∴C、D两点的坐标分别为C(3,4),D(3,-2)或C(-1,0),D(-1,-6)
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