小升初专项练习题 数论 1.【★★★★★】称能表示成的形式的自然数为三角数。有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数。则＿。
【分析】依题有，即。因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数。又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数，（），而为四位数，有，即，又与相邻，有。当时，，相邻偶数为时，满足条件，这时，即；
当时，，相邻偶数为和都不满足条件；
当时，，相邻偶数为和都不满足条件。所以，。
2.【★★★★★】两数乘积为，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多。那么这两个数分别是___________、___________。
【分析】 ，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数。故这个数只能为、或。经检验，只有两数分别为和时符合条件，所以这两个数分别是和。
3.【★★★★★】七张卡片，分别写上。用它们分别排成没有重复数字的七位数和。问能不能做到使被整除，说明理由。
【分析】 假设被整除，整除所得的商只能是。
由于这个数任意排列都不能被和整除，所以得到的商不能是和，只能是、或者。
如果商是，则，是的倍数，那么的各位数字之和和的各位数字之和的和能被整除。但的各位数字之和和的各位数字之和的和为不能被整除，矛盾。这说明所得的商不能是。类似分析可知商为也不成立。
如果商是，则，。由于的各位数字之和与的各位数字之和相等，那么与的差除以的余数等于的各位数字之和与的各位数字之和的差除以的余数，为。即能被整除。那么能被整除，即能被整除。但不能被整除，矛盾。所以所得的商不能是。
综上分析，可知不能做到使被整除。
4.【★★★★★】用这六个数码组成两个三位数和，那么、、这三个数的最大公约数最大可能是___________。
【分析】 ，、、这三个数的最大公约数是的约数。的约数从大到小排列依次为：。由于和都不能被整除，所以都不是和的约数。由于和不能同时被整除，所以不是和的公约数。而当和分别是和时，、、这三个数的最大公约数为，所以、、这三个数的最大公约数最大可能是。
5.【★★★★★】各位数字和等于且能被整除的位数共有多少个? 【分析】数字组合有个， 数字组合有个， 数字组合有个， 共计个。
6.【★★★★★】所有的方幂以及互不相等的的方幂的和排成一个递增的数列：
求这列数的第项。
【分析】如果将这些数用三进制表达，那么这个数列是1，10，11，100，101，110，111，……，这列数和二进制数列1，10，11，100，101，1110，111，……，“表面形式”是一样的，二进制的序列是连续的整数序列其第100个数是1100100，所以三进制数列中第100个数的形式也是“1100100”但它化作十进制是，而不是100。所以这列数的第100项是981 7.【★★★★★】8是4的倍数，9是3的倍数，8与9是相邻的自然数；
15是3的倍数，16是4的倍数，15与16是相邻的自然数。如果将8，9或15，16看作一组，那么在1～100中共有 组相邻的自然数，一个是3的倍数，另一个是4的倍数。
【分析】3×4=12。在自然数序列中，具有此性质的情况每12个数重复一次。在1～12中有(3，4)(8，9)两组，100÷12=8……4。所以1～100中共有2×8+1=17(组)。
8.【★★★★★】某幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多6人，中班共27人，已有25筐苹果分给他们，每筐苹果数大约在50～60之间不等。已知苹果总数的个位数是7，若每人分19个，则苹果数不够；
若大班每人比中班每人多分1个，中班比小班每人多分1个，则苹果刚好分完。那么大班每人分 个苹果，小班有 人。
【分析】设大、中、小三班共有人，中班每人分个苹果。
因为大班每人个苹果，小班每人个苹果，且大班比小班多6人，所以如果减少6个苹果，大、小班平均每人个苹果。由此推知苹果总数为。因为“每人分19个苹果，则苹果数不够了”，所以。
因为小班人数最少，中班有27人，所以总人数 。
苹果总数在(50×25)与(60×25)之间，即 。
由，可得 由及是整数知，。， ≥≥， 由知，。
由的个位数是7，推知的个位数是1，由1×1=l，3×7=21，9×9=81及15≤y≤18推知，，的个位数是3，只能是73或83。
若，则苹果总数 ， 不合题意。
若，则苹果总数：
， 符合题意。大班每人分苹果个，小班有(83－27—6)÷2=25(人)。
9.【★★★★★】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______。
【分析】=。因为与同奇同偶， 所以“智慧数”是奇数或是4的倍数。
对于任何大于1的奇数()，当，时，都有 ==。
即任何大于1的奇数都是“智慧数”。
对于任何大于4的4的倍数()，当，时，都有 ==。
即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”。除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的偶数，反之亦然。也就是说，除了1和4以外，任何连续的4个正整数，都有3个“智慧数”和1个非“智慧数”。“智慧数”约占全部正整数的。2003÷号≈267l，因为2672÷=668。再加上1和4这两个非“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－670=2002(个)。所以第2003个“智慧数”是2673。
10.【★★★★★】如果2n－1能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？ 【分析】 31=11111 （n个0）
=（n个0）
2n－1能被31整除，那么n是5的倍数即可。
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