《二次函数》学案

 函数知识复习

 一、平面直角坐标系与函数的概念 【 考点链接】

 1. 坐标平面内的点与______________一一对应. 2. 写出各点的坐标:

 A________,B_______,C_______,D______ 3、 在图中描出下列各点:

  E(4,-2),F(–1,–3),G(0,3),H(–2,0)

 4. x 轴上的点_____坐标为 0,

 y 轴上的点 __坐标为 0. 5. P(x,y)关于 x 轴对称的点坐标为______,关于 y

 轴对称的点坐标为____,关于原点对称的点坐标为_____. 6、点 P(2,–3)关于 x 轴对称的点坐标是______,

 点 P(2,–3)关于 y 轴对称的点坐标是________, 点 P(2,–3)关于原点对称的点坐标是______ _, 【 中考演练 】

 7.已知点 P 在第二象限,且到 x 轴的距离是 2,到 y 轴的距离是 3,则点 P

 的坐标为

 8.点 P(-2,3)关于 x 轴的对称点的坐标是________. 9.在平面直角坐标系中,点 P(-4,2)的位置在 (

 )

 A.第一象限

 B.第二象限

  C.第三象限

 D.第四象限 10.点 A (—3,2)关于 y 轴对称的点的坐标是(

 )

 A.(-3,-2)

 B.(3,2)

  C.(3,-2)

 D.(2,-3)

 二、一次函数 点在函数图象上:

 点在函数的图象上,是指把点的坐标代入函数关系式中能使等式成立。

 如点 P(2,3)在函数 y=2x-1 的图象上,则当 x=

  时,y=

 1、 函数112y x  

 的图象必经过点(

 )

  (A) (0,0)

 (B) (0,1)

  (C) (0,--1)

  (D) (1,0)

 2、函数 y=x+b 的图象经过点(2,-3),也经过点( )

 (A)(-3,2)

 (B)(-3,-2)

 (C)(3,2)

 (D)(3,-2)

 5.如果点 M 在直线 1 y x   上,则 M 点的坐标可以是(

 )

 A.(-1,0)

 B.(0,1)

 C.(1,0)

  D.(1,-1)

 四、函数图象与坐标轴交点:

 1、函数 3 6 y x   与 x 轴、 y 轴的交点坐标。

 解:函数 3 6 y x   与 x 轴的交点坐标(x,0),, 即当 0  y ,x=

  ∴函数 3 6 y x   与 x 轴的交点坐标是

  函数 3 6 y x   与 y 轴的交点坐标(0,y)

 即当 0  x ,y=

 ∴函数 3 6 y x   与 y 轴的交点坐标是

  2、函数 2 4 y x   与 x 轴的交点坐标(

  ,

 ),与 y 轴的交点坐标(

  ,

  )。

 【 考点链接】

 1.正比例函数的一般形式是__________.一次函数的一般形式是________ 练习 A 组:

 1、直线 y=kx(k≠0)经过点(-2, -1),(即:当 x=-2 时,y=-1), 求出函数的关系式。

 解:∵直线 y=kx 经过点(-2, -1), (即把 x=-2 时,y=-1 代入 y=kx)

 得方程

  ∴k=

 ∴所求函数的关系式是

  。

 1.若正比例函数 kx y  ( k ≠ 0 )经过点( 1  , 2 ),则该正比例函数的解析式为 y ___________. 4.一次函数 y kx b   的图象与性质

 例1、 已知一次函数的关系式 y = kx + b (k≠0),当 x=1 时,y=3; 当 x =-1 时, y =7,求出函数的关系式。

 解:

 把 x =

 , y =

  ; 当 x =

  , y =

  , 代入 y = kx + b ,得方程组  解这个方程组,得 bk

  ∴所求函数的关系式是

  。

 2、已知一次函数 y = kx + b (k≠0)的图象经过点(-1,1)和点(1,-5), 求函数的关系式,并求当 x =5 时,函数 y 的值. 解:图象经过点(-1,1)和点(1,-5), 即:当 x =

  时, y =

 ; 当 x =

  时, y =

  , 代入 y = kx + b ,得方程组  解这个方程组,得bk

  ∴所求函数的关系式是

  。

 当 x =5 时,

 y =

 1、已知一次函数的图象如下图,求它的关系式. 解:图象经过点(

  ,

  )和点(

  ,

 ), 即:当 x =

 时, y =

 ;

 当 x =

  时, y =

  , 代入 y = kx + b ,得  解这个方程组,得 bk

  ∴所求函数的关系式是

  。

 2、已知一次函数 y=kx+b 的图象如图的示,求其函数解析式。

 分析:由图可知直线经过两点(

  ,

  )、(

  ,

  )

 解:

 三、反比例函数 1.反比例函数:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y=

 或

  (k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数. 2.已知反比例函数kyx 的图象经过点 ( 3 6) A   , ,则这个反比例函数的解析式是

 . 3.已知点 (1 2)  , 在反比例函数kyx 的图象上,则 k 

 . 作业

 1.一次函数中,当 1  x 时, 3  y ;当 1   x 时, 7  y ,求出相应的函数关系式。

 解:设所求一次函数为

  ,则依题意得 ∴解方程组得bk

  ∴所求一次函数为

 .

 2、已知一次函数的图象如下图,写出它的关系式。

 分析:由图可知直线经过两点(

  ,

  )、(

  ,

  )

 解:

  3、已知一次函数 y= kx+b 的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求 (1)函数的解析式

  (2)当 x=5 时,函数 y 的值。

  4(B 层)、已知一次函数的图象经过点 A(-3,-2)和点 B(1,6).

  ①求此一次函数的解析式,并画出图象; ②求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.

 (3)(C 层)求原点到直线的距离。

  小测

 1.下列函数中,正比例函数是

 .

 A. y=-8x

 B.y=-8x+1

  C.y=8x 2 +1

  D.y=x8

 2.下列函数中,反比例函数是

  . A. y=8x 2

 B.y=8x+1

 C.y=-8x

 D.y=-x8 3.下列函数:① y= 8 x 2 ;② y=8x+1;③ y=-8x;④

 y=-x8.

  其中一次函数有

 个 . A.1 个

 B.2 个

 C.3 个

  D.4 个 4. 若反比例函数 ) 0 (   kxky 的图象经过点(-1,2),则 k 的值为 A.-2

  B.21

 C.2

  D.21 5.若反比例函数的图象过点(-1,2),则它的解析式为__________. 6.已知点 P(-2,3),则点 P 关于 x 轴对称的点坐标是(

 )。

 7、已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求函数的解析式

  8、.已知一次函数的图象如下图,写出它的关系式。

 分析:由图可知直线经过两点(

  ,

  )、(

  ,

  )

 解:

 (附加题).甲、乙两个蓄水池蓄满水后的水量都为 120 m3 ,已知甲池有水 48 m 3 ,乙池装满了水,现甲开始进水,每小时进水 8 m3 ,同时,乙池每小时放水 10 m 3 .

  (1)甲池内的水量 y甲 (m3 )与进水时间 t(h)之间的函数关系式是什么?乙池内的水量 y乙(m3 )与放水时间 t(h)之间的函数关系式是什么?

  (2)经过多少时间,两个池内的水一样多?

 《二次函数》

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  学号:

 一:复习:

 1.函数的概念:设在某变化过程中有两个变量 x 、 y ,对于 x 的每一个值, y都有唯一的值与之对应,那么就说 x 是自变量, y 是因变量,此时,也称 y 是 x 的函数。

 2.一次函数 y kx b   ( 0 k  ),特别地,当 b=0 时,一次函数 y kx  也叫做正比例函数。图象为一条直线。

 3.反比例函数 ( 0)ky kx  ,它的图象是双曲线。

 二:讲授新课 若两个变量 x 、 y 间的关系式可以表示为2( , , , 0) y ax bx c a b c a     为常数 的形式,则称 y 是 x 的二次函数( x 为自变量, y 为因变量)。其中,自变量 x 的取值范围是全体实数。数 注意:二次项数 a ≠0 是解题关健。

 练习 1: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)

 02  x y

 (2)y=(x+3)

 2 -x 2

 (3)xx y12 

  (4)

 3 22   x x y

 2. 若函数2( 2) 3 y m x x    是二次函数,常数 m 须满足的条件是_________ 3.已知二次函数2 2( 1) 3 1 y m x x m      的图象经过坐标原点,则 m=________ 例 1. m 取哪些值时,函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是以 x 为自变量的二次函数?

 分析

  若函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02 m m .

 解:若函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是二次函数,则

  .即

  . 解得

 .因此,当

  ,函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是二次函数.

 回顾与反思

 形如 c bx ax y   2的函数只有在 0  a 的条件下才是二次函数. 练习 2:

 1.若  my m 2 x   是二次函数,求 m 的值。

 解:若函数

 是二次函数,则

 .即

 .

 解得

  .因此,当

 ,函数

 是二次函数.

 2.(C 层)当 k 为何值时,函数2k ky k 1x 1 ( )   为二次函数?(仿上题格式)

  3.(C 层) 若函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是以 x 为自变量的 一次函数,则 m取哪些值?

  例 2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. (1)写出正方体的表面积 S(cm 2 )与正方体棱长 a(cm)之间的函数关系;

 练习 3:

 1.已知正方形的面积为 ) (2cm y ,边长为 x(cm). (1)请写出 y 与 x 的函数关系式; (2)判断 y 是否为 x 的二次函数.

  2.(B 层).已知正方形的面积为 ) (2cm y ,周长为 x(cm). (1)请写出 y 与 x 的函数关系式; (2)判断 y 是否为 x 的二次函数.

 3.(C 层).正方形铁片边长为 15cm,在四个角上各剪去一个边长为 x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积 S(cm 2 )与小正方形边长 x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为 3cm 时,求盒子的表面积

  例 2. 已知二次函数2ax y  的图象经过点 P(3,18)。

 (1)求 a 的值; (2)判断点 A(1,2)、B(-2,4)是否在该函数的图象上; (3)若点 C(x,8)在该函数的图象上,求点 C 的坐标。

  三:练习与作业 1.已知函数 y=ax 2 +bx+c(其中 a,b,c 是常数),当 a

 时,是二次函数;当 a

 ,b

 时,是一次函数;当 a

 ,b

 ,c

 时,是正比例函数. 2.下列不是二次函数的是(

 )

 A.y=3x 2 +4

  B.y=-31x 2

 C.y=52 x

  D.y=(x+1)(x-2)

 3.函数 y=(m-n)x 2 +mx+n 是二次函数的条件是(

 )

 A.m、n 为常数,且 m≠0

 B.m、n 为常数,且 m≠n C.m、n 为常数,且 n≠0

 D.m、n 可以为任何常数 4.已知二次函数 y=x 2 +bx+1 的图象经过点 P(-1,2), (1)求 b 的值, 并写出此函数解析式。

 (2)判断点 A(1,2),是否在该函数的图象上; (3)若点 C(x,8)在该函数的图象上,求点 C 的坐标。

 5.已知二次函数2ax y  +k 的图象经过点 P(-1,2),Q(0,1)。

 (1)求 a 与 k 的值; (2)判断点 A(1,2)、B(-2,4)是否在该函数的图象上; (3)若点 C(x,8)在该函数的图象上,求点 C 的坐标。

 6.已知圆的面积为 ) (2cm y ,半径为 x(cm). (1)请写出 y 与 x 的函数关系式; (2)判断 y 是否为 x 的二次函数.

  7.(B 层)已知函数72) 3 ( mx m y 是二次函数,求 m 的值.

  8.(B 层)已知:如图菱形 ABCD 中,∠A=60°,边长为 a,求其面积 S 与边长 a的函数表达式.

 9.(C 层)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时,点 Q 从点 B 开始沿BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动.如果 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动,设运动开始后第 t 秒钟时,五边形 APQCD 的面积为 Scm 2 ,写出 S 与 t 的函数表达式。

 小测 (一)选择题 1.下列各点中,在第一象限内的点是………………………

 (

 )

 (A)(-5,-3)

  (B)(-5,3)

  (C)(5,-3)

  (D)(5,3)

 2.点 P(-3,4)关于原点对称的点的坐标是………………

  (

 )

 (A)(3,4)

  (B)(-3,-4)

  (C)(-4,3)

  (D)(3,-4)

 3.函数1   x y中,自变量 x 的取值范围是( )

 A. x <1

 B. x >1

  C. x ≥1

 D. x ≠1 4.若点 A(3,m)是抛物线 y=-x 2 上一点,则 m=

 . 5.正方形的面积为 ) (2cm y ,边长为 x(cm).则 y 与 x 的函数关系式

  ,是

  次函数。

 6.已知二次函数2ax y  的图象经过点 P(3,18)。

 那么这个函数解析式是_________. 7.已知二次函数2ax y  +k 的图象经过点 P(-1,3),Q(0,2)。

 (1)求 a 与 k 的值;

  (2)判断点 A(1,2)是否在该函数的图象上; (3)若点 C(x,6)在该函数的图象上,求点 C 的坐标。

 附加题:如图,在三角形 ABC 中,AC=12cm,BC=6cm.点 P 从点 A 开始沿 AC方向向点 C 以 1cm/s 的速度移动,同时,点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 2cm/s的速度移动.如果 P、Q 两点分别到达 C、B 两点停止移动,设运动开始后第 t秒钟时,三角形 CPQ 的面积为 Scm 2 。(1)写出 S 与 t 的函数表达式。(2)有没有可能三角形 CPQ 的面积是三角形 ABC 面积的一半,如有可能,是第几秒,如没可能,请说明理由。

 二次函数2y a x 的图象与性质

 姓名:

  学号: 一、复习 1.一次函数 1 2   x y 的图象是

  ,经过点( 0 ,

 )和(

 ,0 )。

 2.反比例函数xy3 的图象是经过第___

  象限双曲线。

 二、讲授新课 例 1.用描点法在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象。

 (1)22x y 

 (2)22x y  

 列表 x …

 … 22x y  

 …

 … 想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心? 当 x 取互为相反数的值时,y 的值如何? ①列表 ②描点,③ 连线 结合图象,可以知道:

 ①22x y  的图象开口向上,顶点是抛物线的最

 点,对称轴是

  轴或(

 ),在对称轴的左

  边,曲线自左向右

 ;在对称轴的右边,曲线自左向右

  。

 ②22x y   的图象开口向上,顶点是抛物线的最

 点,对称轴是

  轴或(

 ),在对称轴的左边, 曲线自左向右

 ;在对称轴的右边,曲线自左向右

  。

 回顾与反思

 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

 三、小结 函数2y ax  (a≠0)的图象是一条抛物线,顶点是

  ,对称轴

 是

 (或

  )。

 ① 当 a>0 时,抛物线的开口向______;且当 x≥0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而_______,当x≤0时,函数值y随自变量x的增大而_______;当x=______时,函数值y取得最小值,最小值是_____ ② 当 a<0 时,抛物线的开口向______;且当 x≥0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而_______,当x≤0时,函数值y随自变量x的增大而_______.当x=______时,函数值y取得最大值,最大值是_____ 四、练习 1.在同一坐标系内,画出下列函数的图象:(1)221x y  ; 2.解:列表:

 x …

 … 221x y 

 …

 … 根据图象填空:(1)抛物线221x y  的对称轴是

 (或

 ),顶点坐标是

 ,当 x

  时, y 随 x 的增大而增大,当 x

 时,y 随 x的增大...