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  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读: 该​文​档​有​详​细​的​论​文​要​求​和​格​式​介​绍​,​相​关​的​例​文毕业论文字体字号格式要求摘编(要求依据:毕业论文指导手册和模版。

  要求条目按论文撰写顺序排列。

  )

 【论文字数:从“摘要”开始至“致谢”为止,不少于 10000 字。

  】一、封面 1、题目:小二号黑体加粗居中。

  2、各项内容:四号宋体居中。

  二、目录1、目录:二号黑体加粗居中。

  2、章节条目:五号宋体。

 3、行距:单倍行距。

 三、论文题目: 小一号黑体加粗居中。

  四、中文摘要 1、摘要:小二号黑体加粗居中。

 3-5 个, 每个词间空一格。

  2、摘要内容字体:小四号宋体。

  5、关键词: 四号宋体,加粗。

  词 3、字数:300 字左右。

  4、行距:28 磅

 五、英文摘要

 1、ABSTRACT:小二号 Times Nean.

 Nean.

 2、内容字体:小四号 Times

 3、单倍行距。

  4、Keyes Nean.

 词间空一格。

 六、绪论

 小二号黑体加粗居中。

 内容 500 字左右, 小四号宋体, 行距:28 磅

 七、章、节、一.二.三.四、五级标题序号字体格式章: 标题 小二号黑体 节: 标题 小三号黑体 一、 一级标题序号 标题四号黑体 加粗 加粗 加粗, 居中。

  居中。

  顶格。

  顶格。

  缩进二个字。

  缩进二个字。

  缩进二个字。

 (一) 二级标题序号 标题小四号宋体, 不加粗 1.

  标题序号 标题小四号宋体, 不加粗,

 (1) 四级标题序号 标题小四号宋体, 不加粗, ① 五级标题序号 标题小四号宋体, 不加粗, 小二号黑体加粗居中。

 八、结束语 十、 探索本科毕业论文标准格式及范文 导读:成后按格式要求进行。行距28磅设臵方法:设臵值→下面的方框中格式→段落→行距→(选中)固定值→输入28磅即可。9、论文初稿完成后,X上发送到指导教师邮箱,教师邮箱 另行通知。10、论文初稿完成后,保存在3.5寸磁盘上,用A4纸打印一份纸质稿件,并连同3.5寸磁盘一起交给指导教师。(U盘亦可,但要到论文结束 ) 、 e sN e a n 体 加

 粗 ) Ⅰ

 1

 引

 言

 (

 四

 号

 黑

 体

 不

 加

 粗)11 .

 1 ( 小 四 号 黑 体 不 加

 粗)1 1 .

 1 .

 1 ( 小 四 号 仿 宋 体 加

 粗)1

 2 广 3 广 4 广 5 例

 闭

 区

 间

 套

 定

 理

 在

 R1

 的推

  2

 闭 区 间 套 定 理 在 3 4 5 6 7 8 9

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读:mofstrictopennestedinterval,thetheoremofstrictopenandclosednestedintervalandthetheoremofclosednestedsetonordinaryandpopularmetricspace,ofnestedclosedintervalandthetheoremofclosednestedsetafterexten 一 般 度 量 空 间 上 的 推

 4

 闭

 区

 间

 套

 定

 理

 在

 Rn

 上

 的推

  5

 闭

 区

 间

 套

 定

 理

 的应

 用

 举

  6

 结束语8

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读: man 体加粗): theorem of nestedclosed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application (小四号 Times Nean 体不加粗,每个关键词开头字母均不大写,结尾处无标点符号)

 1 引言(一级标题四号黑体不加粗,段前断后空 0.5 行. ) 1.1 小四号黑体不加粗 (二级标题小四号黑体不加粗,段前断后不空行. ) 1.1.1 小四号仿宋体加粗 ( 标题小四号仿宋体加粗,段前断后不空行. ) 说明: (1)全文要求:行距:最小值 22 磅;页边距:上 2.2cm、左 2.5cm、 右 2.3cm、下 1.8cm、页眉 1.2cm、页脚 1.5cm;页眉中,若是论文就删去“设计”

 二字,若是设计就删去“论文”二字. (2)各级标题一律顶格,标题末尾不加标点符号. (3)正文中所引用的文献应加尾注,以文献在文中出现的先后顺序依次编 号为:[1],[2],,某种文献中的内容被多次引用时以第一次出现时的序号为 准,即一种文献只有一个序号,可以重复出现.添加尾注的格式如下: 爱因斯坦说:提出一个问题往往比解决一个问题更重要[1]. 爱因斯坦说: “提出一个问题往往比解决一个问题更重要”[1]. 爱因斯坦说: “提出一个问题往往比解决一个问题更重要. ”[1]

 (4)正文中出现的图象与表格以编号(依出现的先后顺序编号)的方式分 别加以命名. 图象:图 1,图 2, 表格:表一,表二, (5)行文要符合文法格式,每段开头应空两个汉字的位置.若一行中只有 符号表达式,则可以居中或居中偏左. (6)正文中所有的标点符号,一律用全角;句号用“. ” 闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定、有限覆盖定理、确 界原理、数列的单调有界定理和 Cauchy 收敛准则一样都反映了实数的完备性, 也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构 造性, 因此闭区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用,如证明闭区 间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续[1]、闭 区间的连续函数的介值性定理等.故闭区间套定理不仅有重要的理论价值,而且 具有很好的应用价值. 为了增大闭区间套定理的应用范围,从闭区间套定理的概 念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理. 首先,将闭区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格 半开半闭区间套定理, 增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量 空间的特性,即正定性、对称性、三角不等式性和完备性,把闭区间套定理在一 般完备度量空间上推广, 形成一般完备度量空间上的闭集套定理,从而把一维空 间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间, 使得区间 3 4 5 6 7 8 9

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读:必要先回顾一下闭区间套定理的内容.定义2.1设an,bn(n1,2,3,)是R中的闭区间列,如果满足:(1)an1,bn1an,bn,n1,2,3,;(2)lim(bnan)0;n则称an,bn为R中的一个闭区间套,或简称区间套.定理2.1(闭区间套定理)若an,bn是一个闭区间套,则存在惟一一点,使得an,bn( 套定理的应用范围更为 广泛,并且给出了常用度量空间 R n 上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说

 明闭区间套定理的应用, 比如证明闭区间上的连续函数必有界、 单调有界定理等, 通过构造满足题意的闭区间列, 再应用闭区间套定理证明存在满足题意的点.从 实际例题中还可以看出闭区间套定理反映了实数的稠密性, 所以闭区间套定理连 同其在一般完备度量空间上推广后的闭集套定理在证明与实数理论相关命题时 发挥着重要的作用.

 2 闭区间套定理在 R1 的推广康托给分析建立了严格的集合论基础.而在对实数连续性的描述中,闭区间 套定理是一个基本的定理. 因此,在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套 定理的内容. 定义 2.1 设 an , bn ( n 1, 2,3, )是 R 中的闭区间列,如果满足:

 (1) an1 , bn1 an , bn , n 1, 2,3,; (2) lim(bn an ) 0;n

 则称 an , bn 为 R 中的一个闭区间套,或简称区间套. 定理 2.1[2](闭区间套定理) 若 an , bn 是一个闭区间套,则存在惟一一点

  ,使得 an , bn ( n 1, 2,3, ),且lim an lim bn .n n

 推论 2.1[3]

 若 an , bn ( n 1, 2,3, )是区间套 an , bn 确定的点, 则对任

 意正数 ,存在自然数 N ,当 n N 时,总有

  an , bn U , .定义 2.2 设 an , bn ( n 1, 2,3, )是 R 中的开区间列,如果满足:

 (1) a1 a2 an bn bn1 b1 , n 1, 2,3,; (2) lim(bn an ) 0;n

 则称 an , bn 为 R 中的一个严格开区间套. 定理 2.2 (严格开区间套定理) 则存在惟一一点 ,使得 若 an , bn 是 R 中的一个严格开区间套,

  an , bn , n 1, 2,3, ,且lim an lim bn .n n

 证明 由定义 2.2 条件(1),an 是一个严格递增且有上界的数列.由单调有 界定理, an 有极限,不妨设lim an ,n

 且an , n 1, 2,3, .

 同理严格递减有下界的数列 bn 也有极限.由定义 2.2 条件(2)应有lim bn lim an ,n n

 且bn , n 1, 2,3, .

 从而存在 an , bn ( n 1, 2,3, ). 最后证明唯一性.假如另有 ,使得 an , bn , n 1, 2,3, ,那么有

  bn an , n 1, 2 3 4 5 6 7 8 9

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读: ,3, .在上述不等式两边取极限,有 ≤ lim bn an 0 .n

 即 . 故原命题成立. 定义 2.3[4][5] 足: (1) a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ bn bn1 b1 , n 1, 2,3,; 设 an , bn ( n 1, 2,3, )是 R 中的半闭半开区间列,如果满

 (2) lim(bn an ) 0;n

 则称 an , bn 为 R 中的一个严格半闭半开区间套. 注:类似可以定义严格半开半闭区间套 an , bn . 定理 2.3 (严格半开半闭区间套定理) 开半闭区间套,则存在惟一一点 ,使得 如果 an , bn 是 R 中的一个严格半

  an , bn , n 1, 2,3, ,且lim an lim bn .n n

 仿定理 2.2 的证明即可.

 2

 闭区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列,

 指的是该序列除了满足一般度量空间的要求,还应在该空间上收敛.这样闭区间 套定理就可以在一般度量空间上进行推广. 定义 3.1 设 H 是一个非空集合,在 H 上定义一个双变量的实值函数

  x, y ,对任意的 x, y, z H ,有:(1)(正定性) x, y ≥0,并且 x, y 0 当且仅当 x y 成立; (2)(对称性) x, y y, x ; (3)(三角不等式) x, y ≤ x, z z , y ; 则称 H 为一个度量空间. 定义 3.2 当 设 F 是度量空间 H 中的一个子集, 对于 F 中的任意点列 xn , 若

  ( xn x0 ) 0 n ,有 x0 F ,则称 F 为闭集.

 定义 3.3

 [6]

 设 X , 是一度量空间. X 中的一个序列 xi iz ,若对任意的

 实数 0 ,存在整数 N 0 ,使得当 i, j N 时,有 ( xi , x j ) ,则称 xi iz 为 一个 Cauchy 序列. 定义 3.4[7] 如果对度量空间 X , 中 X 的每一个 Cauchy 序列都收敛,则

 称 X , 是一个完备度量空间. 定理 3.1[7] 设 Fn 是完备度量空间 H 上的闭集列,如果满足:

 (1) Fn Fn1 ( n 1, 2,3, ); (2) lim d ( Fn ) 0 (d ( Fn ) sup ( , ));n

  , Fn

 则在 H 中存在唯一一点 ,使得

  Fn , n 1, 2,3, .证明 任意取 Fn 中的点列 xn ,当 m n 时,有 Fm Fn ,所以xn , xm Fn , xn , 3 4 5 6 7 8 9

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读:1,2,3,.4闭区间套定理的应用举例闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套,从而找到属于每一个区间的公共点.下面就举几个例子说明这一思路.例1分析123456789 xm ≤ d ( Fn ) 0(n ).

 即 对于任意给定的实数 0 ,存在整数 N 0 ,使得当 i, j N 时,有

  ( xi , x j ) ,所以 xn 是 Cauchy 序列.又因为 Fn 是闭集列,故 xn 收敛于一点

  ,且有

  Fn , n 1, 2,3, .现证唯一性.如果另有一点 ,使得 Fn , n 1, 2,3 .则由定义 3.1 条 件(3),有

  ( , ) ≤ , xn ( xn , ) ≤ 2d ( Fn ) 0(n ) ,从而 . 故在 H 中存在唯一一点 ,使得 Fn , n 1, 2,3, .

 3

 闭区间套定理在 Rn 上的推广进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间—实数空间 R n 上推广. 为此,

 先给出一个有用的概念. 定义 4.1,xn , y y1 , y2 , , yn R n ,令 对于任意的 x x1 ,x2 ,

  x, y 则称 为 R n 空间上的距离.

 x y i 1 i i

 n

 2

 ,

 下面验证对于如上定义的 , R n 做成完备的度量空间. 证 明,xn , y y1 , y2 , , yn , 对 于 任 意 的 x x1 ,x2 ,

 z z1 , z2 ,, zn R n .

 (1)

 zi 1

 n

 i

  xi 0 ,并且 x, y =0 当且仅当 xi2

  y ( i 1, 2, ) ,即i

 x y.(2) x, y

  x y i 1 i i

 n

 2

  y x i 1 i i

 n

 2

  ( y, x) .

 (3)令 ui yi xi 和 vi zi yi 由 Sch d ( Fn ) 0 ( d ( Fn ) sup ( , ) );n

  , Fn

 则在 R n 中存在唯一一点 ,使得 Fn , n 1, 2,3, .

 4

 闭区间套定理的应用举例闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套, 从而找到属于

 每一个区间的公共点.下面就举几个例子说明这一思路. 例1 分析 3 4 5 6 7 8 9

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读:,且1b1a1(ba).2再将等分为两个区间,同样其中至少有一个子区间上f(x)无界,记为,且11,b2a2(b1a1)2(ba).22无限次重复上述步骤,便得到一个闭区间列,其中每一个区间

 有如下特性:bnan1(ba)2n,且n0(及f(x)在)上无界.由区间套定理,存在一点 证明:闭区间上连续函数必有界. 这个命题如果从正面入手利用闭区间套定理证明比较困难,但是如

 果从反面着手,即假设 f ( x) 在 a, b 上无界,即对任意 M 0,存在 x0 a, b , 有 f ( x0 ) M .则等分区间后至少有一个子区间上 f ( x) 无界,记为性质 P .继 续等分那个无界的区间, 可得到如上的性质 P .无限次重复上述步骤可构造一个 满足题意的闭区间套,由闭区间套定理可以推出 f ( x ) M ,这与假设矛盾,从 而证明原命题成立. 证明 我们用反证法.设函数 f ( x) 在 a, b 上连续,假设 f ( x) 在闭区间 a, b 上无界.将区间二等分,即取 a, b 的中点ab a b a b , b 中至少 ,则 a, 和 2 2 2

 有一个区间使得 f ( x) 在其上无界.(若两个都使 f ( x) 无界,则任取其中一个), 记为 [a1 , b1 ] ,且1 b1 a1 (b a ) . 2

 再将 [a1 , b1 ] 等分为两个区间,同样其中至少有一个子区间上 f ( x) 无界,记为[a2 , b2 ] ,且

 1 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ] , b2 a2 (b1 a1 ) 2 (b a) . 2 2

 无限次重复上述步骤, 便得到一个闭区间列 [an , bn ] , 其中每一个区间 [an , bn ]

 有 如 下 特 性 :bn an 1 (b a ) 2n

 [a, b] [a1 , b1 ] [an , bn ] [an1 , bn1 ]

 , 且

 n 0 ( 及 f ( x) 在 ) [an , bn ] 上无界.

 由区间套定理,存在一点 an , bn ( n 1, 2,3, ) ,且lim an lim bn .n n

 又 f ( x) 在 连续,则对任意的 0 ,存在 0 ,当 x ( , ) 时,有f ( x) f ( ) ,

 即f ( ) f ( x) f ( ) .

 令 M max f ( ) , f ( ) ,则f ( x) M .

 由推论 1,取 n 充分大可使 an , bn , ,上述不等式与 f ( x) 在闭 区间 [an , bn ] 上无界矛盾.故 f ( x) 在闭区间 a, b 上有界. 以下内容省略

 结束语通过对闭区间套定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运 用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了闭区间套定理的实际应用. 首先将闭区间套定理在 R 推广, 即在一维空间上将条件 an1 , bn1 an , bn 减 弱为 an 1 , bn 3 4 5 6 7 8 9

  探索本科毕业论文标准格式及范文 导读:,2003,第3版.常进荣,王林.闭区间套定理的推广及应用.石家庄职业技术学院学报,2003,15(6):16-17.钱吉林.数学分析题解精粹.武汉:崇文书局,2003.(注: