中考冲刺:代数综合问题(基础)
一、选择题
1. 如图所示,已知函数和y=kx(k≠0)的图象交于点P,则根据图象可得,关于的二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
2.(2016•河北模拟)如图,点A是x轴正半轴上的任意一点,过点A作EF∥y轴,分别交反比例函数和的图象于点E、F,且,连接OE、OF,有下列结论:①这两个函数的图象关于x轴对称;
②△EOF的面积为(k1﹣k2);
③;
④当∠EOF=90°时,,其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
3.下列说法中
①若式子有意义,则x>1.
②已知∠α=27°,则∠α的补角是153°.
③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根,则c 的值为8.
④在反比例函数中,若x>0 时,y 随x 的增大而增大,则k 的取值范围是k>2. 其中正确的命题 有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题
4.如图所示,是二次函数(a≠0)和一次函数(n≠0)的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围______________.
5.已知二次函数若此函数图象的顶点在直线y=-4上,则此函数解析式为______.
6. (2016•历下区二模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;
②4a+2b+c>0;
③b2﹣4ac<0;
④b>a+c;
⑤a+2b+c>0,其中正确的结论有______.
三、解答题
7.(北京校级期中)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+1)x+1=0
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程的两个实数根都是整数,求m的整数值;
(3)在(2)中开口向上的抛物线y=mx2﹣(m+1)x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=﹣x上有一个动点P.求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标,并求PA+PB的最小值.
8. 善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图1所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式;
(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式;
(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最大?
9. 已知P()和Q(1,)是抛物线上的两点.
(1)求的值;
(2)判断关于的一元二次方程=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;
若没有,请说明理由
(3)将抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位,使平移后的图象与轴无交点,求的最小值.
10. 已知:关于x的一元二次方程,其中.
(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示);
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),若点D的坐标为(0,-2),且AD·BD=10,求抛物线的解析式;
(3)已知点E(a,)、F(2a,y)、G(3a,y)都在(2)中的抛物线上,是否存在含有、y、y,且与a无关的等式?如果存在,试写出一个,并加以证明;
如果不存在,说明理由. 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】C;
【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系.
2.【答案】B;
【解析】①∵点E在反比例函数的图象上,
点F在反比例函数的图象上,且,
∴k1=OA•EA,k2=﹣OA•FA,
∴,
∴这两个函数的图象不关于x轴对称,即①错误;
②∵点E在反比例函数y1=的图象上,点F在反比例函数y2=的图象上,
∴S△OAE=k1,S△OAF=﹣k2,
∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=(k1﹣k2),即②正确;
③由①可知,∴③错误;
④设EA=5a,OA=b,则FA=3a,
由勾股定理可知:OE=,OF=.
∵∠EOF=90°,∴OE2+OF2=EF2,即25a2+b2+9a2+b2=64a2,∴b2=15a2,
∴=,④正确.
综上可知:正确的结论有②④.
3.【答案】B;
【解析】
若式子有意义,则x≥1,①错误;
由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°,②正确.
把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0,解得c=8,③正确;
反比例函数中,
若x>0 时,y 随x 的增大而增大,得:k-2<0,∴k<2,④错误.故选B.
二、填空题
4.【答案】-2≤x≤1;
【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系.
5.【答案】,;
【解析】
∵顶点在直线y=-4上,∴.,m=±1.
∴此函数解析式为:,.
6.【答案】①②④⑤;
【解析】∵抛物线开口朝下,∴a<0,
∵对称轴x=﹣=1,∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0,∴abc<0,故①正确;
根据图象知道当x=2时,y=4a+2b+c>0,故②正确;
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,故③错误;
根据图象知道当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,∴a+c<b,故④正确;
∵对称轴x=﹣=1,∴b=﹣2a,∴a+2b+c=﹣3a+c,
∵a<0,c>0,∴a+2b+c=﹣3a+c>0,故⑤正确.
故答案为:①②④⑤.
三、解答题
7.【答案与解析】
(1)证明:由题意得m≠0,
∵△=(m+1)2﹣4m×1=(m﹣1)2≥0,
∴此方程总有两个实数根;
(2)解:方程的两个实数根为x=,
∴x1=1,x2=,
∵方程的两个实数根都是整数,且m为整数,
∴m=±1;
(3)由(2)知,m=±1.
∵抛物线y=mx2﹣(m+1)x+1的开口向上,
∴m=1,
则该抛物线的解析式为:y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2.
易求得A(1,0),B(0,1).
如图,点B关于直线y=﹣x的对称点C的坐标为(﹣1,0),连接AC,与直线y=﹣x的交点即为符合条件的点P.此时点P与原点重合,则P(0,0).所以PA+PB=AC=2.
8.【答案与解析】
(1)设y=kx,当x=1时,y=2,解得k=2,∴y=2x(0≤x≤20).
(2)当0≤x<4时,设y=a(x-4)2+16.
由题意,∴a=-1,∴y=-(x-4)2+16,
即当0≤x<4时,.当4≤x≤10时,y=16.
(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟,学习收益总量为y,则她用于解题的时间为(20-x)分钟.
当0≤x<4时,.当x=3时,.
当4≤x≤10时,y=16+2(20-x)=56-2x.y随x的增大而减小,因此当x=4时,,
综上,当x=3时,,此时20-x=17.
答:小迪用于回顾反思的时间为3分钟,用于解题的时间为17分钟时,学习收益总量最大.
9.【答案与解析】
解:
(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同,所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.
所以抛物线对称轴,所以.
(2)由(1)可知,关于的一元二次方程为=0.
因为,=16-8=80.
所以,方程有两个不同的实数根,分别是
,.
(3)由(1)可知,抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位后的解析式
为.
若使抛物线的图象与轴无交点,只需无实数解即可.
由==<0,得
又是正整数,所以的最小值为2.
10.【答案与解析】
解:
(1)将原方程整理,得,
△=>0
∴ .
∴或.
(2)由(1)知,抛物线与轴的交点分别为(m,0)、(4,0),
∵A在B的左侧,.
∴A(m,0),B(4,0).
则,.
∵AD·BD=10,
∴AD2·BD2=100.
∴.
解得.
∵,
∴.
∴,.
∴抛物线的解析式为.
(3)答:存在含有、y、y,且与a无关的等式,
如:(答案不唯一).
证明:由题意可得,,
.
∵左边=.
右边=--4
=.
∴左边=右边.
∴成立.
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