2019-2020学年江苏省无锡市高二上学期期末考试数学试题—附答案

2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则下列各不等式一定成立的是 (▲ ) A． B． C． D． 2．已知向量＝(0，1，1)，＝(1，－2，1)．若向量+与向量＝(m，2，n)平行，则实数n的值是（ ▲）
A．6 B．－6 C．4 D．－4 3.已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ▲ ）
A. B. C. D. 4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲ ）
A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿 C．三分鹿之二 D．三分鹿之一 5.已知等比数列为单调递增数列，设其前n项和为，若，，则的值为（ ▲ ）
A．16 B．32 C．8 D． 6.下列不等式或命题一定成立的是( ▲ ) ①lg(x2+)⩾lg x(x>0); ②sin x+⩾2(x≠kπ,k∈Z)；

③x2+1⩾2|x|(x∈R); ④ (x∈R)最小值为2. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 7．已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是( ▲ ) A. B. C. D. 8. 设为数列的前项和,满足，则（▲　　）
A．192 B．96 C．93 D．189 9.若正数a、b满足，设，则y的最大值是（ ▲ ）
A.12 B. -12 C. 16 D. -16 10．正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（ ▲ ）
A．-2 B．4 C．2 D．1 11．已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得，则该离心率e的取值范围是（ ▲ ）
A. B. C. D. 12．当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数。如，，，则（ ▲ ）
A. 342 B. 345 C. 341 D. 346 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．命题p：“，都有”的否定：
▲ . 14．不等式的解集是___▲_______． 15.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 ▲ 16．已知，那么的最小值为____▲ ______ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，且， . （1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和Tn. ▲▲▲ 18.（本题满分12分）
已知，函数. （1）若对恒成立，求实数a的取值范围。

（2）当a=1时，解不等式. ▲▲▲ 19.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1. (1)求曲线C的方程；

(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补. ▲▲▲ 20.（本题满分12分）
某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增． ⑴．设使用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；

⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)． ▲▲▲ 21.（本题满分12分）
如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O. 如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB. (1)证明：OD⊥平面PAQ；

(2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值。

▲▲▲ 22. （本小题满分12分）
已知椭圆C1：，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F． (1)求C1的标准方程；

(2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得S△OPQ=S△OMN？如果存在，求出直线的方程；
如果不存在，请说明理由． ▲▲▲ 2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、选择题 B D A B A C C D A D A A 二、填空题 13.使得 14. 15. 16. 10 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，且， . （1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和Tn. 17.（1）在等差数列中，，，解得,………………………………………………………………………….3分综上所述，数列的通项公式是……………………………………….5分（2）由(1)知：，又因为，……………………………………….7分 ………………………………………………………………..10分综上所述，数列的前n项和是.………………………………………..10分 18.（本题满分12分）
已知，函数. （1）若对恒成立，求实数a的取值范围。

（2）当a=1时，解不等式. 18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立， ∴a⩽+2x对x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分 ∵x>0∴+2x⩾2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，…………………….....4分 ∴a⩽2…………………………………………………………………………………….....6分 (2)当a=1时，f(x)=1−，∵f(x)⩾2x，∴1−⩾2x， ①若x>0，则1−⩾2x可化为：2x2−x+1⩽0，所以x∈∅；
………………………………...8分 ②若x<0，则1−⩾2x可化为：2x2−x−1⩾0，解得：x⩾1或x⩽−， ∵x<0，∴x⩽−，………………………………………………………………………….....10分由①②可得1−⩾2x的解集为：(−∞, −]………………………………..…………….....12分 19.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1. (1)求曲线C的方程；

(2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补. 19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1，所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x. …………..………………………………………….....4分 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0). ……………………………………6分 ∴△>0，, x1x2=4………………………………………………………8分 ∴直线FA与直线FB的斜率之和= = == 因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0， ……………………………………11分 ∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分 20.（本题满分12分）
【解】 ⑴．依题意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分＝14．40．1n(n＋1)0．9n ＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分) ⑵．设该车的年平均费用为S万元，则有 S＝f(n)＝(0．1n2＋n＋14．4)＝n＋14．4＋1………………………………………7分 ∵n是正整数，故n＋14．4＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分当且仅当n＝(14．4)，即n＝12时，等号成立．………………………………11分故汽车使用12年报废为宜．……………………………………………………………12分 21.（本题满分12分）
(1)解法一(几何法) 证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF; ∴PF∥OB， ∵AQ∥OB,∴PF∥AQ， ∴P、F. A. Q四点共面，又由图1可知OB⊥OO1， ∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1， ∴OB⊥平面ADO1O， ∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD⊂平面ADO1O， ∴PF⊥OD. ……………………………………………….. 2分在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1， ∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘， ∴AF⊥OD. ……………………………………………….. 4分 ∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ， ∴OD⊥平面PAQ. ……………………………………………….. 6分解法二(向量法) 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0). ∵点P为BC中点,∴P(0,,3)， ∴=(3,0,6), =(0,m,0) =(6,m−,−3)，………………………………………………………………………….. 2分 ∵·=0, ·=0 ∴⊥, ⊥且与不共线，……………………………… ……….4分 ∴OD⊥平面PAQ. …………………………………………………………………………... 6分 (2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3，则Q(6,3,0),∴ =(−6,3,0), =(0,−3,6). 设平面CBQ的法向量为 =(x,y,z)， ∵∴ 令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1)，…………………………………………………………….. 8分又显然,平面ABQ的法向量为=(0,0,1)，……………………………………..…………. 10分设二面角C−BQ−A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则cosθ==.…………………………………………………..…………………. 12分 22（本题满分12分）
(1) 依题意可知，即由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3，所以C1的标准方程为．……………………………………………….. 3分 (2) 依题意可知C2的方程为y2=−4x，………………………………………………..4分假设存在符合题意的直线，设直线方程为x=ky−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，联立方程组得(3k2+4)y2−6ky−9=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，则|y1−y2|==，……………………………………………...6分（写出PQ长度也可以）
联立方程组，得y2+4ky−4=0，由韦达定理得y3+y4=−4k，y3y4=−4，所以|y3−y4|==，………………………………………….... 8分（写出MN长度也可以）
若S△OPQ=S△OMN，则PQ=2MN，…………………………….………………………….. 10分则|y1−y2|=|y3−y4|，即=，解得k=，所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或x−y+1=0．…………………..... 12分