电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题 2 分) 1、设 x 定义域为(1,2),则 lg x 的定义域为()
A、(0,lg2)
B、(0,lg2
C、(10,100)
D、(1,2)
2、x=-1 是函数 x = 221x xx x的()
A、跳跃间断点
B、可去间断点
C、无穷间断点 D、不是间断点 3、试求02 4limxxx 等于()
A、 14
B、0
C、1
D、
4、若 1y xx y ,求 y 等于()
A、22x yy x
B、22y xy x
C、22y xx y
D、22x yx y 5、曲线221xyx的渐近线条数为()
A、0
B、1
C、2
D、3 6、下列函数中,那个不是映射()
A、2y x
( , ) x R y R
B、2 21 y x
C、2y x
D、 ln y x
( 0) x
二、填空题(每题 2 分)
1、211 x y= 的反函数为 __________ 2、、2( 1 )) l i m ()1xn xf x f xnx设 ( ,则 的间断点为 __________ 3、21lim 51xx bx ax 已知常数 a、b, ,则此函数的最大值为 __________ 4、26 3 y x k y x k 已知直线 是 的切线,则 __________ 5、 ln 2 1 11 x y y x 求曲线 ,在点(,)的法线方程是 __________ 三、判断题(每题 2 分)
1、221xyx函数 是有界函数
(
) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件
(
) 3、 lim 若 ,就说 是比 低阶的无穷小
(
) 4、 可导函数的极值点未必是它的驻点
(
) 5、 曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点
(
) 四、计算题(每题 6 分)
1、1sinxy x 求函数
的导数
2、21( ) arctan ln(12f x x x x dy 已知 ),求
3、2 32 6 x xy y y x y 已知 ,确定 是 的函数,求
4、20tan sinlimsinxx xx x求
5、31 )dxx x 计算( 6、210lim(cos ) xxx计算
五、应用题 1、设某企业在生产一种商品 x 件时的总收益为2) 100 R x x x ( ,总成本函数为2( ) 200 50 C x x x ,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8 分)
2、描绘函数21y xx 的图形(12 分)
六、证明题(每题 6 分)
1、用极限的定义证明:设01lim ( ) , lim ( )xxf x A f Ax 则
2、证明方程 1 0,1xxe 在区间( )内有且仅有一个实数
一、 选择题 1、C
2、C
3、A
4、B
5、D
6、B 二、填空题
1、 0 x
2、 6, 7 a b
3、18
4、3
5、 2 0 x y
三、判断题 1、 √
2、×
3、√
4、×
5、× 四、计算题 1、
1sin1sin1sin ln1sin ln22))1 1 1 1cos ( )ln sin1 1 1 1( cos ln sin )xxxxxxy xee xx x x xx xx x x x (( 2、 2 2( )1 1 2(arctan )1 21arctandy f x dxxx x dxx xxdx 3、 解:
2222)2)2 2 2 3 02 32 3(2 3 )(2 3 (2 2 )(2 6 )(2 3x y xy y yx yyx yy x y x y yyyx y 4、 解:
222 30 00 tan sin ,1 cos21tan (1 cos ) 12lim limsin 2x xxx x x x xx xx xx x x 当 时,原式= 5、 解:
6 652 3222226 6,61 )611 16116 (1 )16 6arctan6 6arctanx x tdx tt ttttttt t Cx x C 令t=原式( 6、 解:
2201lncos01lim lncos20200012lim1lim lncoslncoslim1( sin )coslim2tan 1lim2 2xxxxxxxxxxeexxxxxxxxxe 原式其中:原式
五、应用题 1、解:设每件商品征收的货物税为 a ,利润为 ( ) L x
2 22( ) ( ) ( )100 (200 50 )2 (50 ) 200( ) 4 5050( ) 0, , ( )4(50 )41(50 2 )410 25 0225L x R x C x axx x x x axx a xL x x aaL x x L xa aaxT aT a Ta 令 得 此时 取得最大值税收T=令 得当 时,T取得最大值 2、 解:
2330 0, 012102220 1D xy xxy xyxy x , 间断点为令 则令 则 x
( , 1)
1
( 1,0)
0 310,2 312 31( , )2
y
0
y
0
y
↘ 拐点 ↘ 无定义 ↘ 极值点 ↗
渐进线:
032limlim 0 01limxxxy yy x yy xyx x 无水平渐近线是 的铅直渐近线无斜渐近线
图象 六、证明题 1、 证明:
lim ( )0, 0( )1 1 101( )1lim ( )xxf x AMx M f x Ax MM M xf Axf Ax 当 时,有取 = ,则当0 时,有即
2、 证明:
( ) 1( ) 0,1(0) 1 0, (1) 1 00,1 ( ) 0, 1( ) ( 1) 0, (0,1)( ) 0,11 0,1xxxf x xef xf f ef ef x x e xf xxe 令在( )上连续由零点定理:至少存在一个 ( ),使得 即又则 在 上单调递增方程 在( )内有且仅有一个实根